|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
2 ; |
ωD |
|
|
|
|
A(ω) = |
2 |
+ ω |
2 |
D |
ϕ(ω) = −arctg С . |
(36) |
||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
||
|
Графики КЧХ, АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 13. |
|
|||||||||
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
A(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω=8 |
ReW |
ω=0 |
|
Re |
|
|
|
|
|
|
ImW |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
0 |
|
ω б) |
|
0 |
|
|
|
|
|
ω |
|
Рис. 13. Частотные характери- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стики |
|
|
- π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
САР |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) комплексная(КЧХ); |
|
|
-π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) амплитудная (АЧХ); |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- 3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) фазовая (ФЧХ) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. Устойчивость САР |
|
||||||
|
Под устойчивостью понимают способность системы |
поддер- |
|||||||||
живать |
заданный режим работы с определенной точностью и восста- |
||||||||||
навливать его при изменении внешнего возмущения. |
|
||||||||||
36
Регулируемая величина зависит как от свойств САР, так и от внешнего возмущения:
y(t) = yc(t) + yв(t), |
(37) |
где yc(t) - свободная (переходная) составляющая, определяемая начальными условиями и свойствами САР; yв(t) – вынужденная составляющая, определяемая внешним возмущением и свойствами САР.
Для того, чтобы САР была устойчивой, свободная состав-
ляющая с течением времени должна стремиться к нулю: |
|
lim yc(t)=0. |
(38) |
t→0 |
|
Таким образом, устойчивость является свойством, не зависящим от внешнего возмущения.
Система регулирования в общем случае описывается уравнениями движения, которые могут быть сведены к одному уравнению n- го порядка. Для свободной составляющей:
(n) |
|
(n −1) |
|
& |
|
a0yc |
+a1yc |
|
|
(39) |
|
|
+... +a n −1yc +a n yc = 0, |
||||
где a0, a1, …an – коэффициенты, определяемые параметрами САР. |
|
||||
Решение этого уравнения имеет вид: |
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
yc (t) = ∑Aiesi t , |
|
(40) |
||
i=1
где Ai – постоянные интегрирования, определяемые параметрами САР и начальными условиями; si – корни характеристического уравнения:
37
a |
0 |
sn + a sn −1 |
+... + a |
s + a |
n |
= 0 . |
(41) |
|
1 |
|
n −1 |
|
|
Отсюда следует, что для устойчивой системы все слагаемые yc(t) с течением времени должны стремиться к нулю. Это возможно в том случае, если вещественные корни характеристического уравнения будут отрицательными si = - αi, а комплексно сопряженные – иметь отрицательную вещественную часть: si,i+1
Таким образом, для определения устойчивости САР достаточно убедиться в отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения (считая чисто вещественные корни комплексными с нулевыми мнимыми частями: ωi =0).
Признаки, по которым можно в этом убедиться без нахождения значений корней, называют критериями устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости. Ниже рассмотрен алгебраический критерий Гурвица и частотный критерий Михайлова.
Предварительно сформулируем необходимое условие устойчивости: для устойчивой системы все коэффициенты характеристического уравнения должны иметь один знак (быть положительными).
Алгебраические критерии устойчивости позволяют оценить устойчивость САР по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения.
Критерий устойчивости Гурвица: при положительных коэффициентах характеристического уравнения САР будет устойчивой, если главный определитель и все его диагональные миноры будут больше нуля. Главный определитель составляется следующим образом. По главной диагонали выписываются коэффициенты в возрастающем порядке, начиная с a1 до an. От каждого коэффициента главной диагонали вверх записываются коэффициенты в возрастающем, а вниз – в убывающем порядке. Оставшиеся пустыми места в определителе заполня-
38
ются нулями.
Для характеристического уравнения n-го порядка главный определитель имеет следующий вид:
|
a1 a3 a5 a7 ... 0 |
|
|||||
|
a0 a2 a4 a6 ... 0 |
|
|||||
∆ = |
0 |
a1 |
a3 |
a5 |
... 0 |
> 0. |
|
0 |
a0 a2 |
a4 ... 0 |
|||||
|
|
||||||
|
........................... |
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
an |
|
|
Его диагональные миноры:
∆1 = |
|
a1 |
|
> 0 ; |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
∆2 |
= |
|
|
a1 |
a3 |
|
> 0 ; |
||
|
|
|
|||||||
|
|
a |
a2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
a1 a3 a5
∆3 = a0 a2 a4 > 0 и т. д.
0 a1 a3
(42)
(43)
(44)
(45)
Для САР 1-го и 2-го порядков необходимое условие устойчивости является достаточным. Такие системы при положительных коэффициентах всегда являются устойчивыми. САР 3-го порядка является устойчивой при соблюдении неравенства: a1a 2 − a0a3 >0. Ее можно оце-
нить запасом устойчивости:
39 |
|
|
|
K y = |
a1a 2 |
>1. |
(46) |
|
|||
|
a0a3 |
|
|
Частотные критерии устойчивости основаны на рассмотрении частотных характеристик САР.
Частотный критерий Михайлова дает возможность судить об устойчивости САР по виду кривой (годографу Михайлова), описываемой концом характеристического вектора R(jω), полученного в результате замены в характеристическом уравнении R(s) оператора s на jω:
R(s) = a |
0 |
sn + a sn −1 |
+... + a |
n |
s + a |
n |
; |
(47) |
|
1 |
|
−1 |
|
|
|||
R( jω) = a 0 ( jω)n + a1(jω)n −1 |
+... + a n −1(jω)+ a n |
(48) |
||||||
Разделив R(jω) на вещественную и мнимую составляющие,
получим |
|
R(jω) = ReR + j ImR, |
(49) |
где |
|
Re R = a n −a n −2ω2 + a n −4ω4 −.... |
(50 а) |
ImR = ω (a n-1 – a n-3 ω2 +…). |
(50 б) |
На рис. 14 показаны годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САР. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: САР устойчива, если характеристический вектор R(jω) при из-
менении ω от 0 до + ∞ проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов комплексной плоскости, начиная движение от положительной вещественной оси, и нигде не обращается в нуль.