23
3.3. Статические характеристики САР
Под статической характеристикой понимают зависимость установившихся значений выходной координаты y от установившихся значений входной координаты x. Таким образом, статическую характеристику звена или системы можно получить из дифференциального уравнения, приравняв нулю все производные. Например, статические характеристики звеньев (см. работу № 1) соответственно равны
y |
= |
D |
x |
; |
y |
2 |
= |
С |
x |
2 |
; |
y |
3 |
= |
D x |
3 |
. |
(1) |
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
С 1 |
|
|
|
F |
2 |
|
|
|
A |
|
|
|||||
Статическая характеристика системы зависит от вида соединений входящих в нее звеньев. Задача состоит в замене всех звеньев одним эквивалентным звеном. Различают три основных вида соединений звеньев: параллельное, последовательное и соединение с обратной связью.
При параллельном соединении (рис. 10а) все звенья имеют общий вход:
x = x1 = x2 = … = xn , |
(2) |
а их выходные координаты суммируются: |
|
y = y1 + y2 + … + yn. |
(3) |
Таким образом, если y1 = f(x1); y2 = f2(x2); …; |
yn = fn(xn), то |
24
n
y = ∑yi i=1
n |
|
= ∑fi (x) . |
(4) |
i=1
Графический способ нахождения статической характеристики для трех параллельно соединенных звеньев показан на рис. 11 а.
a) |
x1 |
1 |
y1 |
в) |
|
|
|
|
|
|
x |
- |
ε |
|
1 |
y |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
y |
|
|
||||
x |
2 |
y |
|
|
|
|
|
||
2 |
2 + |
|
|
z |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
n |
yn |
|
|
|
|
|
|
б) |
x=x |
|
y =x |
|
y |
x |
n |
|
y =y |
|
1 |
1 |
1 2 |
2 |
2 |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10. Виды соединения звеньев
а) параллельное; б) последовательное; в) с обратной связью
y |
|
yi |
y |
|
y3 |
|
y2 |
0 |
y1 |
x |
Рис. 11а. Нахождение статической характеристики системы с параллельным соединением звеньев
25
Если все звенья линейные, то есть y1 = k1x1; y2 = k2x2,…, yn = knxn, то статическая характеристика соединения также линейна:
|
n |
|
y = k x = ∑ki x . |
(5) |
|
|
i=1 |
|
x2 |
y1 |
|
y2 |
|
x1 |
x3 |
|
x |
y3 |
y |
|
Рис. 11 б. Нахождение статической характеристики системы с последовательным соединением звеньев
y |
z |
ε |
y |
0 |
|
|
x,z,ε |
Рис. 11 в. Нахождение статической характеристики системы с отрицательной обратной связью
|
|
26 |
|
y |
y |
z |
ε |
0 |
|
|
x,z,ε |
Рис. 11 г. Нахождение статической характеристики системы
сотрицательной обратной связью
Утакого соединения коэффициент передачи к равен сумме коэффициентов передач отдельных звеньев.
При последовательном соединении (рис. 10 б) выходная координата предыдущего звена является входной в последующее звено: yi
=xi+1.
Графический способ нахождения статической характеристики последовательного соединения на примере трех звеньев показан на рис. 11 б.
Для n линейных последовательно соединенных звеньев коэффициент передачи равен произведению коэффициентов передач отдельных звеньев:
n
k = k1 k2 … kn = ∏ki . (6)
i=1
При соединении с обратной связью (рис. 10 в) выходная координата y звена 1 подается на вход через звено 2, образующее обратную связь. Условие замкнутости системы ε = x ± z, где " + " соответствует положительной, а " - " – отрицательной обратной связи.
27
Если статические характеристики звеньев 1 и 2 соответствен-
но равны
y = f(ε) и |
z = ϕ(y), |
то статическая характеристика системы равна
y = f(ε) = f(x ± z)) = f[x ± ϕ(y)]. |
(7) |
Ее нахождение удобнее вести в обратном порядке, задаваясь y и находя x. Для этого введем обратную статическую характеристику звена 1: ε = Ψ(y).
Тогда
x = ε ± z = ψ(y) ± ϕ(y). |
(8) |
Здесь знак " + " соответствует отрицательной, а знак " - " – положительной обратной связи.
Отсюда вытекает графический способ построения статической характеристики системы с обратной связью, рис. 11 в, г.
Для линейных звеньев y = k1ε; z = k2y имеем y = k1(x ± k2y).
Отсюда
y = kx = |
k1 |
y , |
(9) |
1± k1k 2 |
где коэффициент передачи системы
k = |
k1 |
|
1 ± k1k 2 . |
(10) |
Для нахождения статической характеристики САР, содержащей несколько видов соединений звеньев, она последовательно разби-
28
вается на рассмотренные выше виды соединений, каждое из которых заменяется одним эквивалентным звеном, как это показано на рис. 12.
Сначала параллельно соединенные звенья 1 и 2 и звено 3 с единичной обратной связью заменяется соответственно на эквивалентные звенья 12 и 30 (рис. 3 б,в). Затем эти последовательно соединенные звенья заменяются одним звеном 123 (рис. 3 г). В результате получается САР с обратной связью, которая заменяется одним звеном 1-4 (рис. 3 д).
|
x |
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
- |
+ |
- |
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
- |
|
3 |
|
30 |
|
|
+ |
|
12 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
30 |
|
123 |
x |
- |
123 |
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
1-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
д)
г)
Рис. 12. Преобразование САР