|
|
|
40 |
|
n=2 |
ImR |
n=1 |
ImR |
n=4 |
|
|
|
ReR |
ReR |
n=3
n=4
а) |
б) |
Рис. 14. Примеры годографов Михайлова для устойчивых (а) и неустойчивых (б) систем
3.8. Переходные процессы САР
Переходные процессы представляют собой изменение во времени выходной координаты (регулируемой величины) при некотором изменении входной координаты. Наиболее часто ищут реакцию системы на ступенчатое воздействие вида x=A 1(t). Такую характеристику называют переходной функцией или просто переходным процессом, рис. 15.
x |
а) |
|
y |
б) |
|
|
A |
|
|
0 |
|
t |
0 |
t |
Рис. 15. Переходные процессы в САР
а) воздействие; б) реакция САР
41
Для линейных систем переходная функция достаточно просто находится по передаточной функции САР:
W(s) = |
y(s) |
= c |
(s −r1)(s −r2 )...(s −rm ) |
, |
(51) |
||||
x(s) |
|
||||||||
|
|
(s −s )(s −s |
2 |
)...(s −s |
n |
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
где r и si – полюсы системы (корни числителя и знаменателя).
Примем в качестве входной координаты ступенчатое воздействие x = 1(t). Его изображение равно x(s) = 1/s. Тогда изображение выходной координаты при нулевых начальных условиях
y(s) = x(s) W(s) = |
1 |
W(s) = |
G(s) |
. |
(52) |
||
|
s |
|
|
||||
|
|
|
sR(s) |
|
|||
На основании формулы разложения Хевисайда
|
G(o) |
n −2m |
G(si )esi t |
m |
α |
|
t |
|
|
|
y(t) = |
|
+ ∑ |
|
+ 2 ∑Ake |
|
k |
|
cos(ωk t + ϕk ) . (53) |
||
R(o) |
siR'(si ) |
|
|
|||||||
|
i=1 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
||
Здесь индекс i относится к вещественным, а k – к комплексно |
||||||||||
сопряженным корням sk = αk ± jωk . Первое слагаемое |
|
G(o) |
равно коэф- |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(o) |
|
фициенту передачи системы. Остальные слагаемые определяют переходные (свободные) составляющие процесса: вещественные корни – апериодические, а комплексно сопряженные – колебательные.
Производная от характеристического полинома R'(si ) равна
42
n
R'(si ) = ∏ (si − s j ), j≠i . (54)
j=1
Например, для САР 4-го порядка с корнями s1, s2, s3 и s4
R'(s ) = (s |
−s |
2 |
)(s |
|
−s |
3 |
)(s |
|
−s |
4 |
) ; |
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
R'(s |
2 |
) = (s |
2 |
− s |
)(s |
2 |
− s |
3 |
)(s |
2 |
− s |
4 |
) ; … |
(55) |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Амплитуды Ak и ϕk колебательных составляющих находятся из выражения
|
G(sk ) |
|
= βk |
+ jγk = Ake |
jϕ |
k |
. |
|
|
(56) |
||||
|
sk R'(sk ) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
γ |
k |
|
|
|
|
Ak = β |
k +γ |
k ; |
|
|
|
|
|
|
(57) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ϕk = arctg |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βk |
|
||
Ниже в качестве примера для САР 1-го, 2-го и 3-го порядков приведены передаточные функции W(s) и соответствующие им переходные процессы у(t) при единичном входном воздействии x=1(t).
САР 1-ГО ПОРЯДКА.
W(s) = |
y(s) |
|
= |
b |
|
; |
|
|
(58) |
||
x(s) |
a0s + a1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
|
s t |
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
y(t) = |
|
(1−e 1 |
) , |
где s |
= − |
|
. |
(59) |
|||
|
|
||||||||||
|
a1 |
|
|
|
|
1 |
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
43
САР 2-ГО ПОРЯДКА.
|
W(s) = |
y(s) |
= |
|
b |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a0s2 + a1s +a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если корни характеристического уравнения |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
s2 |
+ a s + a |
2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вещественные: s |
= − |
1 |
; |
s |
2 |
= − |
1 |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
s t |
|
|
|
|
|
e |
s |
2 |
t |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y(t) = |
|
|
|
1 |
+s1s2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
a |
2 |
|
s |
(s |
−s |
2 |
) |
s |
2 |
(s |
2 |
−s |
) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для комплексно сопряженных корней |
|
s1,2 |
= α ± jω |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
y(t) = |
b |
|
|
|
αt |
1+ τ |
2 |
|
|
|
|
, |
|||
|
|
a2 |
1−e |
|
|
|
cos(cot + ϕ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
φ = arctg(τ) ; |
τ = |
α /ω . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
САР 3-ГО ПОРЯДКА. |
|
||||||||||||
|
|
|
W(s) = |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
a |
0 |
s3 |
+ a s2 |
+ a |
2 |
s + a |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
(60)
(61)
(62)
(63)
Характеристическое уравнение a 0s3 +a1s2 +a 2s +a 3 =0 может иметь все три вещественных корня или один вещественный, а два других – комплексно сопряженных корня.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вещественных корней |
s1 |
|
= - 1/T1; |
s2 = |
- 1/T2; |
s3 = |
- 1/T3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
es1t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
es2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
(s |
|
|
−s |
|
)(s |
|
−s |
|
) |
s |
|
(s |
|
−s )(s |
|
−s |
|
|
||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
2 |
2 |
3) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y(t) = |
1−s s |
s |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(64) |
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a3 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
es3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
3 |
(s |
3 |
−s )(s |
3 |
−s |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 2e T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
T22e |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
b |
|
|
|
(T1 − T2 )(T1 − T3 ) |
|
|
|
(T1 |
− T2 )(T2 − T3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
y(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(65) |
||||
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
T3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
T3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(T |
− T )(T |
|
− T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если же один корень, например, s1, вещественный, а два дру- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гие комплексно сопряженные |
|
|
s2,3 = α ± jω, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α2 + ω2 |
y(t) = |
b |
− |
|||
|
|
1 |
s |
||
a |
3 |
||||
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1(s1 − 2α) |
cos(ωt) − |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
s t |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− |
|
123 |
|
|
|
|
|
|
e |
αt |
, (66) |
|||
e 1 |
|
|
s1(ω |
2 |
−α |
2 |
+s1α) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
− |
|
|
sin(ωt) |
|
|
|||||||
|
|
|
ωs |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
|||
где s123 = (s1 − α)2 + ω2 .
Для расчета переходного процесса, как следует из приведенных выше формул, нужно найти корни характеристического уравнения. Для САР 1-го и 2-го порядка это не представляет никаких трудностей.
Корни характеристического уравнения САР 3-го порядка целесообразно находить, начиная с вещественного корня, с помощью од-