Теоретические основы построения спортивной техники

(рисунок 8.5). Ïри рàботе с тренировочным устройством инерционное звено нàиболее ярко проявляет себя, когдà приложенным усилием спортсмен или его звенья выводятся из состояния покоя или переходят в состояние покоя после движения.

Ôорсирующее звено. Ôорсирующим нàзывàется звено, в котором нà вход подàется двà сигнàлà. Îдин из них является непостредственно входным сигнàлом, à другой – в виде пропорционàльной производной этого сигнàлà:

где Ò – постоянное число, имеющее рàзмерность времени, в дàльнейшем, по àнàлогии с предыдущими примерàми, следует нàзывàть его – постоянной времени звенà.

Ïредыдущее урàвнение, зàписàнное в оперàторной форме имеет вид:

откудà передàточнàя функция форсирующего звенà:

Ýто знàчение является обрàтным по срàвнению с передàточной функцией инерционного звенà. Ïоэтому, если форсирующее звено применять совместно с инерционным, то при рàвенстве их постоянных времени (Ò),

влияние инерционного звенà будет полностью скомпенсировàно и системà стàнет безынерционной. Ýто обстоятельство широко используется для улучшения рàботы систем регулировàния. Ñледует иметь в виду, что в чистом виде получить форсирующее звено невозможно, по той же причине, по которой нельзя получить идеàльного дифференцировàния. Îднàко форсирующими свойствàми могут облàдàть некоторые более сложные звенья. Îдним их элементàрных форсирующих звеньев можно считàть мàссивный мàховик, рàскручивàемый мускульными усилиями спортсменà. Ïостояннàя времени Ò хàрàктеризует время приложения усилий спортсменà, нàпрàвленных нà достижение мàховиком мàксимàльной угловой скорости (оборотов). Ïодобное явление отмечàется и у электродвигàтелей, когдà с моментà их подключения к источникàм питàния до нàборà якорем мàксимàльных оборотов проходит зàметный промежуток времени. Â силу того, что в природе не существует безынерционных мехàнических и электрических звеньев, можно считàть форсирующие звенья нàиболее рàспрострàненными в большинстве конструкций спортивных тренàжеров.

Êолебàтельное звено. Êолебàтельными нàзывàются звенья, в которых в процессе рàботы может происходить обмен энергией между отдельными элементàми звенà. Òàк, нàпример, кинетическàя энергия может преврàщàться

© 2015 ÁÍÒÓ

142Òеоретические основы построения спортивной техники

впотенциàльную или в энергию упругой деформàции сжàтой пружины, энергия электрического поля – в энергию мàгнитного поля и т.п. Ýти преврàщения носят колебàтельный хàрàктер и обычно сопровождàются потерями энергии – зàтухàнием. Â зàвисимости от величины потерь зàтухàние происходит быстрее или медленнее, à при очень больших потерях процесс может стàть àпериодическим.

Âкàчестве примерà колебàтельного звенà следует рàссмотреть

электрический колебàтельный контур, выходное нàпряжение которого

снимàется с емкости (рисунок 8.6 À) .

Ðисунок 8.6 Êолебàтельное звено

À – схемà электрического колебàтельного звенà; Á – переходные хàрàктеристики звенà

Àнàлогом тàкого контурà может быть свободнàя мехàническàя системà со сжàтой пружиной.

Ïередàточнàя функция тàкого звенà:

Ñобственнàя чàстотà ωо контурà, покàзàнного нà рисунке 8.6 À рàвнà:

Îбрàтную величину ωо можно нàзвàть постоянной времени звенà.

Ýтà величинà хàрàктеризует скорость протекàния процессов в звене (ее не следует путàть с периодом колебàний).

Îтношение àктивного сопротивления R к волновому сопротивлению контурà:

© 2015 ÁÍÒÓ

нàзывàется зàтухàнием звенà и обознàчàется через вырàжение:

×ем больше знàчение этого вырàжения, тем большие будут потери в контуре, тем быстрее будет происходить зàтухàние колебàний. Åсли воспользовàться приведенными вырàжениями, то передàточнàя функция колебàтельного звенà примет вид:

Òàкие же обознàчения можно ввести и в колебàтельных звеньях другого типà. Èз общей теории колебàтельных контуров известно, что хàрàктер переходных процессов в них зàвисит от величины зàтухàния. Ïри ξ< 1 колебàния в контуре носят зàтухàющий хàрàктер, приξ> 1 – àпериодический. Ñлучàй, когдà ξ = 1, является критическим.

Íà рисунке 8.6 Á покàзàны грàфики переходных процессов (переходные хàрàктеристики) в колебàтельном звене при рàзличных знàчениях зàтухàния. Âходной сигнàл Uвх = x(t) имеет вид единичного перепàдà. Ãрàфик 1 соответствует знàчению ξ> 1, грàфик 2 – знàчению ξ< 1 и грàфик 3 – критическому зàтухàнию.

Åсли в контуре àктивное сопротивление отсутствует (R = 0) и нет потерь, то рàвно нулю и зàтухàние звенà. Òàкое звено нàзывàется идеàльным. Åго передàточнàя хàрàктеристикà рàвнà:

Õотя колебàтельный контур тàкого типà нельзя сделàть идеàльным, в некоторых колебàтельных звеньях других типов возможен случàй полного отсутствия зàтухàния. Ýто связàно с восполнением потерь энергии зà счет кàкого-либо постороннего источникà. Êолебàния стàновятся незàтухàющими (грàфик 4, рисунок 8.6 Á). Åсли пополнение энергии происходит быстрее, чем ее потери, то àмплитудà колебàний будет нàрàстàть, что соответствует отрицàтельному знàчению зàтухàния.

Åсли входной сигнàл колебàтельного звенà является гàрмоническим сигнàлом, à в сàмом звене нет потерь, то в этом звене возникàют собственные колебàтельные процессы. Òогдà в непрàвильно функционирующем звене собственные колебàния могут нàклàдывàться нà входной сигнàл и при

© 2015 ÁÍÒÓ

передàче сигнàлà могут возникàть сщественные искàжения в виде резонàнсных явлений, биений, модуляций.

ßвление резонàнсà. Ñàмо явление резонàнсà, если оно не предусмотрено требовàниями к конструкции спортивного тренàжерà или тренировочного устройствà – явление негàтивное, знàчительно ухудшàющее эксплуàтàционные свойствà тренàжерà.

Íà примере мехàнического колебàтельного звенà, имеющего мàссивное тело, жестко связàнное с упругим элементом в виде пружины, резонàнсное явление проявляется, когдà входной сигнàл Uвx = Àsinpt, где p некоторое усилие нà пружину À. Àмплитудное знàчение р, приближàется по своей чàстоте, к чàстоте собственных колебàний ωо, и кàк результàт, нàклàдывàются один нà другой. Â этом случàе в звене возникàют колебàния с àмплитудой рàвной:

Çдесь, величинà p/c хàрàктеризует упругое перемещение пружины при условии, что усилие нà входе звенà действует стàтически (пружинà нàходится в «поджàтом» состоянии). Ïри действии этого усилия по гàрмоническому зàкону, величинà p/c умножàется нà коэффициент усиления рàвный:

изàвисящий от отношения чàстоты вынуждàющей входной величины p

ксобственной чàстоте ωо звенà.

Èз этой формулы видно, что с приближением знàчений р к знàчению

ω, àмплитудà À неогрàниченно рàстет, если отсутствуют демпфирующие силы, вызывàющие зàтухàние колебàтельных процессов (трение, вязкость среды, электрическое сопротивление, потери энергии). Ýто ознàчàет, что если необходимо избежàть нежелàтельных резонàнсных явлений в конструкции тренàжерà, то необходимо вводить в тàкую конструкцию дополнительные элементы, демпфирующие колебàтельные процессы, возникàющие в отдельных узлàх тренàжеров. Ñледует отдельно отметить, что в зàвисимости от внешних и внутренних фàкторов, колебàтельным звеном может стàть любое динàмическое звено конструкции тренàжерà, вне зàвисимости от особенностей его конструкции. Âеличинà Uвx = Àsinpt может возникнуть нà любом упругом элементе динàмического звенà и по цепи пàрàзитной обрàтной связи передàться нà его вход. Òогдà, нàпример, инерционное звено может преврàтиться в колебàтельное т. е. – сàмовозбудиться.

Ïри исследовàнии функционировàния систем àвтомàтического регулировàния необходимо нàходить передàточные функции рàзличных

© 2015 ÁÍÒÓ

соединений звеньев. Ïри нàхождении передàточных функций тàких

соединений необходимо руководствовàться следующими прàвилàми, – все

звенья нàпрàвленные и незàвисимые. Ýто ознàчàет:

–сигнàлы в звеньях могут проходить только в одном нàпрàвлении – от входà к выходу;

–подключение последующих звеньев не влияет нà хàрàктер процессов в предыдущих.

Ñвойствà нàпрàвленности и незàвисимости можно покàзàть нà примере электронного усилителя. Ïри подàче переменного нàпряжения нà бàзу трàнзисторà появляется усиленное переменное нàпряжение нà его коллекторе. Òо же переменное нàпряжение подàнное нà коллектор трàнзисторà не вызовет исходных колебàний нà бàзе, т. е. сигнàл проходит только от входà (бàзà трàнзисторà) к выходу (нàгрузочное сопротивление коллекторà трàнзисторà). Ïодключение следующего кàскàдà может повлиять нà процессы в дàнном кàскàде (звене), нàпример изменить коэффициент усиления. Ýтого не произойдет, если входное сопротивление последующего кàскàдà (звенà) будет нàмного больше выходного сопротивления предыдущего.

8.3 Ñоединения звеньев систем регулировàния в спортивных

тренàжерàх

 àвтомàтических системàх регулировàния используются следующие типы соединений: последовàтельное, пàрàллельное и соединение обрàтной связью.

Ïоследовàтельное соединение звеньев. Ïри последовàтельном соединении звеньев (рисунок 8.7) выходной сигнàл предыдущего звенà является входным последующего.

Ðисунок 8.7 Ïоследовàтельное соединение звеньев

Îпределим передàточные функции последовàтельной цепочки звеньев, если известны передàточные функции отдельных звеньев:

Äля произведения всех передàточных функций:

© 2015 ÁÍÒÓ

Òàк кàк выходной сигнàл предыдущего звенà является входным сигнàлом для последующего, то

что позволяет произвести сокрàщения в прàвой чàсти рàвенствà. Â результàте получàется:

Ýто изобрàжение общего выходного сигнàлà к изобрàжению входного и есть передàточнàя функция всей системы.

Òàким обрàзом, передàточнàя функция системы, состоящей из нескольких нàпрàвленных элементов (звеньев), рàвнà произведению их передàточных функций:

Ïри пàрàллельном соединении нà вход всех звеньев с передàточной функцией K1(p), K2(p), …, Kn(p) подàется общий сигнàл K(p), à выходной сигнàлY(p) является суммой выходных сигнàлов отдельных звеньев (рисунок

8.8)

Ðисунок 8.8 Ïàрàллельное соединение звеньев

Òàк кàк

© 2015 ÁÍÒÓ

Ïередàточнàя функция соединений:

тогдà передàточнàя функция соединения звеньев:

Ýто ознàчàет, что передàточнàя функция пàрàллельного соединения звеньев рàвнà сумме передàточных функций отдельных звеньев.

Ñоединение обрàтной связью. Ïри тàком соединении сигнàл, поступàющий нà дàнное звено K(p), обрàзуется в результàте сложения или вычитàния входного и выходного сигнàлов звенà (рисунок 8.9)

Ðисунок 8.9 Ñоединение обрàтной связи

À – схемà соединения; Á – эквивàлентнàя схемà

Åсли обознàчить через Z(p) сигнàл поступàющий нà звено K(р ), то при соединении обрàтной связи

или

© 2015 ÁÍÒÓ

148Òеоретические основы построения спортивной техники

Âпервом случàе связь нàзывàется положительной, во втором – отрицàтельной. Â системàх àвтомàтического регулировàния почти всегдà применяется отрицàтельнàя обрàтнàя связь. Ñоединение отрицàтельной обрàтной связи можно зàменить одним динàмическим звеном Kо(p) с

сигнàлом нà входе X(p) и выходным сигнàлом Y(p) (рисунок 8.9, Á). Èз рисункà 8.9, À следует, что сигнàл Y(p) можно нàйти, умножив сигнàл Z(p) нà передàточную функцию звенà K(p):

Åсли нàйти соотношение междуKо(p) и K(р ), то из рисункà 8.9, À следует, что сигнàл Y(p) можно нàйти, умножив сигнàл Z(p) нà передàточную функцию звенà K(р ):

Ïодстàвив в это вырàжение, знàчение Z(p) из формулы (8.3), получим

Ïолученнàя формулà вырàжàет вàжнейшее соотношение, используемое

вàвтомàтическом регулировàнии.

Âзàключении следует рàссмотреть некоторое обобщение формулы

(8.5). Ïусть имеется системà, состоящàя из двух звеньев K1(р ) и K2(р ),

охвàченных отрицàтельной обрàтной связью (рисунок 8.10 À). Òребуется

нàйти зàвисимость между величиной F(p) нà выходе звенà K1(р ) и входным

воздействием K(p), подàнным нà систему.

© 2015 ÁÍÒÓ

Ðисунок 8.10. Îбобщеннàя схемà соединения обрàтной связью

À - при нàличии отрицàтельной обрàтной связи; Á - для безынерционного усилителя

Íà основàнии формулы (8.5)

Ïоскольку сигнàл F(p) является входным для звенà Ê2(р), то

Ïодстàвляя знàчение Y(p)из предыдущего урàвнения и учитывàя, что соглàсно формуле (8.1) K(p) = K1(p) K2(p), получим:

Ïоследняя формулà позволяет нàйти сигнàл в промежуточной точке системы. Ñледует обрàтить внимàние нà то, кàк построенà полученнàя формулà. Åе числитель включàет произведение входного сигнàлà нà передàточную функцию звенà, рàсположенную между входом системы и точкой искомого возмущения. Çнàменàтель является суммой единицы и произведения K(p) = K1(p) K2(p) всех звеньев системы.

Ïроизведение K(p) нàзывàется передàточной функцией рàзомкнутой системы. Îнà рàвнà отношению изобрàжений входного сигнàлà к упрàвляющему:

© 2015 ÁÍÒÓ

Åсли звено K2(p) предстàвляет собой безынерционный усилитель с коэффициентом β (рисунок 8.10 Á), то формулà (8.4) приобретàет вид:

K1( p )

F( p ) X ( p )

1 K1( p )

 тàком виде этà формулà хорошо известнà из теории усилителей с обрàтной связью.

8.4 Êолебàтельные системы и электромехàнические àнàлоги

Ìногие отличные по своей физической природе явления окàзывàются весьмà схожими блàгодàря подобию связàнных с ними процессов. Ýти сходствà или подобия, являющиеся одной из иллюстрàций единствà природы в целом, приводят к тому, что двà существенно рàзличных между собой процессà при сопостàвлении, окàзывàются схожими в своем протекàнии во времени. Ïри нàдлежàщем подборе количественных знàчений учàствующих в них физических величин, они кàк бы воспроизводят друг другà. Åсли один из процессов нà прàктике трудно осуществим, à другой легко и сходство или подобие их строго устàновлено, то достàточно изучить второй процесс. Â тàкого родà ситуàциях применяется принцип построения àнàлогий.

 мехàнике, и вообще в физике, существует множество àнàлогий. Àнàлогия двух подобных процессов может быть проведенà нà основàнии хàрàктерà изменения во времени величин учàствующих в том и другом процессе.  конечном счете это сводится к àнàлогии в мàтемàтическом описàнии этих процессов, поскольку мàтемàтическое описàние дàет простейшее и нàиболее точное вырàжение явления или процессà, тàк кàк оно отрàжàет и количественное соотношение. Ýто ознàчàет, что àнàлогия в определенных случàях устàнàвливàет полную тождественность между урàвнениями и формулàми для одного и другого процессà.

Ê числу известных àнàлогий принàдлежит, нàпример, электромехàническàя àнàлогия колебàний.

Íàряду с мехàническими колебàниями существуют колебàния в электрических цепях. Òе и другие описывàются и теми же дифференциàльными урàвнениями.

Íà рисунке 8.11, À изобрàженà мехàническàя колебàтельнàя системà с одной степенью свободы. Äифференциàльное урàвнение колебàний этой системы для скорости движения телà мàссой m имеет вид:

© 2015 ÁÍÒÓ