Теоретическая механика. Статика

Если пары лежат в одной плоскости, то они имеют параллельные век­ торные моменты, и векторная сумма перейдет в алгебраическую.

Любое количество пар сил в пространстве в общем случае можно за­ менить одной эквивалентной (результирующей) парой, применяя после­ довательное сложение векторных моментов исходных пар сил:

Пример 18.

Определить модуль момента эквивалентной пары сил, если известны

момента, направленных противоположно: МА = Мз - М2= 4 - 16 = -12 Н-м.

Сложим моменты, действующие в перпенди­

У С Л О В И Я РА ВН О ВЕС И Я П АР

Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы момент эквивалентной (результирующей) пары был бы равен нулю:

M = Z M k = 0 . (5) Проектируя (5) на декартовы координатные оси, получаем три ска­

лярных выражения:

31

Из (3) следует, чтобы уравновесить систему, состоящую из пар сил, необходимо приложить уравновешивающую пару, т. е. пару сил можно уравновесить другой парой сил с равными модулями и противоположно направленными моментами.

Пару сил невозможно уравновесить одной силой или какой-либо сис­ темой сил, отличной от пары сил.

M 1 - M 2 + M (R A , R B ) —0,

M (R A , R B ) —M 2 - M 1 —40 - 1 4 —26 Н • м.

Так как дана длина балки, то можно найти силы, образующие резуль­

Величина результирующего момента получилась с плюсом. Это озна­ чает, что направление реакций в точках А и В выбрано правильно.

32

5. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

П риведение силы к заданном у центру

Чтобы привести силу, приложенную в какой-либо точке твердого те­ ла, к заданному центру необходимо (рис. 1, а, б):

1.Перенести силу параллельно самой себе в заданный центр, не изменяя модуля силы.

2.В заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно нового центра. Эту пару сил называют присоединенной парой.

Рис. 1

Образование новой системы, состоящей из переносимой силы и пары сил, называют приведением силы к заданному центру.

Следовательно, действие силы на твердое тело не изменяется при пе­ реносе ее параллельно самой себе в другую точку твердого тела, если до­ бавить пару сил.

В точке А твердого тела приложена сила F а (рис. 1, а). Приложим в

ным моментом, равным Г х FА. Таким образом, сила FА эквивалентна

силе FB и паре сил (FА, FB).

Пример 19.

Перенести силу F 1 = 10 H, приложенную в точке А, в новый центр на расстоянии 0,2 м от точки А (рис. 2, а).

34

Решение. Согласно теореме о приведении силы к заданному центру, приложим в точке В силу F2 —F1 —10 H .

Рис. 2

В точке В приложим пару сил, которая образована силами (F1, F2) , и определим векторный момент присоединенной пары (рис. 2, б):

M (F1, F2) —г X F1.

Модуль момента пары равен:

M (F1, F2) —tF1 sin (Т, F1) , r —AB —0,2 м,

zT, F1 —90 ° , M (F1, F2) —TF1 —0 ,2 • 10 —2 H • м .

Векторный момент перпендикулярен плоскости векторов Г и F1 и

направлен в сторону читателя в соответствии с правилом знаков (рис. 2, в).

П риведение произвольной системы сил к силе и паре сил. (О сновная теорем а статики. Теорем а П уансо)

Произвольную систему сил, приложенную к твердому телу, можно за­ менить одной силой — главным вектором и одной парой сил — глав­ ным моментом, не нарушая при этом состояние твердого тела.

Приведем произвольную систему сил (F1, F2, ..., Fn) (рис. 3, а) к цен­ тру О. Для этого используем предыдущую теорему и переносим каждую силу параллельно самой себе в центр О, добавляя пару сил (рис. 3, б):

F1 □ (F 1, (F 1, F"))^ F2 □ (F2, (F2, F2 ) ), Fn □ (Fn, (Fn, Fn)).

Получим из исходной системы сил новую систему сил, состоящую из 3п сил, или систему из n сил, приложенных в точке О и образующих систему сходящихся сил, и n присоединенных пар:

35

Система сил(F1, F2,..., F^) , приложенная в точке О, является систе­

мой сходящихся сил, которая приводится к равнодействующей:

R0 = Z Fl, .

Так как F1 = F 1, F2 = F1, , Fn = Fn, то получим

M n = M (F n , F n ) = M 0 (F n ) = r„ х F n .

По теореме о сложении пар сил все присоединенные пары сил можно

Вектор M 0 для заданной системы сил, приведенной к центру О, являет­

ся главным моментом, которым называют векторную сумму моментов всех заданных сил относительно точки О.

Подставив (2) и (3) в (1), получим доказательство теоремы.

36

Формулы для определения главного вектора и главного

момента в декартовой системе координат

(Rx, Rg, Rz — проекции главного вектора на соответствующие оси коор­ динат).

Угл^1, образованные главным вектором с соответствующей осью ко­ ординат.

(Мох, M0y, M0z — проекции главного момента относительно точки О на координатные оси).

Если заданы проекции сил на оси и координаты точек их приложения, то выражения (9) имеют вид

M 0x = Z (ykFkz - zkFky) ,

M 0z = Z (x kFky - y kFkx) .

37

Углы, образованные главным моментом с соответствующими осями координат:

Пример 20.

Найти главный вектор и главный момент системы сил, приложенных к кубу. Известно, что

F 1= 20 H, F2= 6 H, F3= 12 H, F4= 4 H, F5= 10 H. Ребро куба а = 0,5 м (рис. 4).

Рис. 4

Решение.

R0 = -yjRx + Ry + R 2 — модуль главного вектора.

Находим проекции главного вектора на оси координат:

38

Модуль главного момента

M 0 ^ M 02x + M 02y + M 02z .

Находим проекции главного момента на оси координат:

M 0x —I M x(Fk) —F1a + F2a —20 • 0,5 + 6 • 0,5 —13 H • м,

M 0y —I M y (Fk) —- F 3a —-1 2 • 0,5 —- 6 Н • м,

M 0z —I M z (Fk) —F3a —12 • 0,5 —6 Н • м,

M 0 ^ 1 3 2 + (- 6) 2 + 6 2 —15,52 Н • м.

Углы, образованные главным вектором и главным моментом с осями координат:

cos(x? R0) ——— —1 —-0,7619, Zx, R0 —139,63°, R0 15,75

О твет. Ro —15,75 H, M 0 —15,52 H • м.

Зависимость главного момента от вы бора центра приведения

Главный момент относительно нового центра приведения равен сумме главного момента относительно старого центра приведения и вектор­ ного произведения радиуса-вектора, соединяющего эти центры на главный вектор:

39

Вектор 0 10 х R 0 будет перпендикулярен плоскости ZOY и направлен

на читателя согласно принятому правилу знаков для моментов.

40