Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика. Кинематика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Рис. 6

a âð
a âð	r sin		,		r	h ,
						1


где h1		r sin	,	r		— рас-

стояние от точки до вектора. Вектор a âð направлен в соответствии с направлением векторного

произведения ( r ) (рис. 6). Слагаемое V a oc —

вектор осестремительного ускорения, который направлен в соответствии с векторным произведени-

ем, т. е. по направлению перпендикуляра h, опущенного из точки на мгновенную ось вращения. Величина осестремительного ускорения равна:

aoc V 2h.						(8)
Ускорение точки в сферическом движении равно геометрической
сумме вращательного и осестремительного ускорений:

			âð		oc.	(9)
	a	a		a
Так как вращательное и осестремительное ускорения не перпендику-
лярны друг другу, то величина ускорения точки равна:

	a âð 2	aoc 2
a	a âð 2	aoc 2	2a âðaoc cos	a	âð,	a	oc .	(10)

Пример 2.

Используя условие примера 1, найти ускорение точки А.

Решение. Определим угловое ускорение конуса. При качении конуса по горизонтальной поверхности вектор угловой скорости будет вращаться вокруг вертикальной оси ОZ. Так как модуль вектора угловой скорости постоянен, то конец вектора описывает окружность постоянного радиуса, равного модулю вектора угловой скорости в горизонтальной плоскости. Угловую скорость вращения вектора вокруг оси ОZ определяем, как угловую скорость вращения оси конуса вокруг оси ОZ:

1 CDVc ,

Рис. 7

где CD OC cos30 BC tg60 cos30 203 3 23 303 см,

1 30903 10 3 рад/с.

Вектор 1 будет направлен противоположно положительному направлению оси Z.

Вектор углового ускорения геометрически равен скорости конца вектора угловой скорости . Ее можно определить, как вращательную

скорость точки, радиус вращения которой равен модулю угловой скорости

1 10 3 3 30 3 рад/с2.

Вектор углового ускорения будет находиться в плоскости ОXY, приложен в неподвижной точке и направлен в сторону положительного направления оси ОХ.

Ускорение точки в сферическом движении равно:

aA aAâð aAoc .

По формулам (7), (8) находим aAâð и aAoc :

aAâð h1 ,

где h1 AO 2r — отрезок перпендикуляра, опущенного из точки А на вектор углового ускорения;

aAâð 303 2 203 3600 см/с2.

Вектор aAâð , перпендикулярный отрезку АО, находится в плоскости ZОY и направлен в соответствии с угловым ускорением, т. е. если смотреть с конца вектора , то вектор aAâð должен вращаться против хода часовой стрелки.

aAoc 2h ,

где h AE 2r cos30 ;

aAoc 2 2r cos30 32 2 203 23 540 см/с2.

Вектор a oc	направлен по АЕ к мгновенной оси вращения:
A

		2
		2
aA	aAâð		aAoc 2	2 aAâð aAoc cos	a	Aâð ,	a	Aoc	,

a âð, aAoc 120 ,

aA 36002 5402 2 3600 540 cos120 3362, 68 см/с2.

Ответ. aA =3362,68 см/с2.

Вопросы для повторения

1.По каким траекториям движутся точки твердого тела, закрепленного в неподвижной точке?

2.Запишите уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки.

3.Как формулируется теорема Эйлера—Даламбера о перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку?

4.Как определить угловую скорость и как направлен вектор угловой скорости?

5.Как определить угловое ускорение тела, имеющего одну неподвижную точку?

6.Как направлен вектор углового ускорения?

7.Как определить скорость точки твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, если известна мгновенная ось вращения?

8.Как определить вращательное и осестремительное ускорения точки твердого тела, имеющего одну неподвижную точку?

9.Как направлено осестремительное ускорение?

10.Как направлено вращательное ускорение?

7. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Движение свободного твердого тела разложим на поступательное вместе с полюсом относительно неподвижной системы координат О1Х1Y1Z1 и

вращательное вокруг	полюса.
В полюсе О введем две по-
движные системы координат.
Система ОХ2Y2Z2 имеет с телом
одну неподвижную точки (по-
люс О) и движется по-
ступательно, а движение второй
системы ОХYZ описывается уг-
лами Эйлера (рис. 1).
Уравнениями	движения
свободного твердого тела будут:

1. X 0 f1 t .

2. Y

0 f 2 t .

3. Z 0

f 3 t .

Рис. 1

4. t .

5. t .

6. t .

(1)

Скорость точки

Дифференцируем

по времени:

dr0

где VM

— скорость точки;

dr0

— скорость полюса О;

— скорость точки М во вращательном движении тела во-

круг полюса О;

M V0

(2)

Скорость любой точки твердого тела равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки во вращательном движении тела вокруг полюса.

Ускорение точки

Дифференцируем (2) по времени

dVM

dV0

где

dVM

— ускорение точки;

a0 dVdt0 — ускорение начала подвижной системы координат

ОХ2Y2Z2;

ddt — угловое ускорение тела в подвижной системе координат;

V drdt — скорость точки.

Получим

	M		0			.
					V
a		a		r	V		(3)

Ускорение точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее движении вокруг полюса.

Вопросы для повторения

1.На какие составляющие можно разложить движение свободного твердого тела?

2.Запишите уравнения движения свободного твердого тела.

3.Как определить скорость точек свободного твердого тела?

4.Как определить ускорение точек свободного твердого тела?

8. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Движение твердого тела называют сложным, если тело одновременно участвует как минимум в двух движениях. Относительным движением твердого тела называют его движение относительно подвижной системы координат. Переносным движением твердого тела называют его движение вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной.

Сложение поступательных движений твердого тела

При сложении двух поступательных движений твердого тела получаем поступательное движение со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составляющих поступательных движений:


V		V1 V2 .					(1)

Пример 1.

По платформе движется тележка со скоростью V2 = 2 м/с. Платформа движется в ту же сторону со скоростью V1 = 1 м/с. Найти скорость тележки

(рис. 1).

Решение. Скорости тележки и

платформы

направлены

в одну сторону. Применим фор-

мулу (1) в скалярном виде и полу-

чим абсолютную скорость тележ-

Рис. 1

ки:

V V1 V2 2 1 3ì / ñ.

Ответ. V 3 м/с.

Сложение вращательных движений твердого тела. Сложения вращений вокруг пересекающихся осей

При сложении вращений вокруг пересекающихся осей получаем вращательное движение, происходящее вокруг мгновенной оси вращения, с абсолютной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращений:

1 2 .

(2)

Пример 2.

Найти абсолютную угловую скорость подвижного конуса, равномерно катящегося без скольжения по неподвижному конусу, оси которых взаимно перпендикулярны (рис. 2). Известно, что ОА = 60 см, скорость точки

Рис. 2

А, лежащей на оси конуса, VА = 120 см/с и направлена перпендикулярно плоскости чертежа на читателя.

Решение. Точка О при вращении конуса остается неподвижной. Скорость точки В при качении без скольжения

равна нулю. Мгновенная ось вращения проходит по прямой ОВ. Абсолютная угловая скорость вращения будет направлена по мгновенной оси вращения ОВ. Угловая скорость вращения конуса вокруг оси ОА равна:

	V A	120	3 2		3, 46 ðàä/ ñ,
				3

1	AB	60

ÀÂ Î À tg30° 603 .

Вектор 1 будет направлен по ОА от точки О к точке А. Угловая скорость вращения конуса вокруг оси ОZ равна:

2 OAV A 12060 2 ðàä/ ñ.

Вектор 2 будет направлен по оси OZ вниз от точки О к точке L. Так как 1 2 , то абсолютная угловая скорость равна:

1 2 3, 462 22 16 4 ðàä/ ñ.

Вектор абсолютной угловой скорости направлен по ОВ от точки О к точке В (рис. 2).

Ответ. = 4 рад/с.

Сложение вращений вокруг параллельных осей

1. Вращения имеют одинаковые направления

Сложение двух одинаково направленных вращений вокруг параллельных осей приводит к одному вращению вокруг параллельной мгновенной оси вращения с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось проходит через точку, которая делит внутренним образом расстояние между осями на части, обратно пропорциональные угловым скоростям составляющих вращений. Абсолютное угловое ускорение направлено по мгновенной оси вращения.

Пример 3.
Кривошип ОА вращается с постоян-			II
ной скоростью	OA =	2 рад/с

и приводит в движение колесо II (рис. 3).
Определить	положение	мгновенной	II
оси вращения и абсолютную угловую ско-
рость, если ОА = 40 см, rII = 10 см, OA = 2			Рис. 3
рад/с, II = 6 рад/с.

Решение. Так как угловые скорости
имеют одинаковое направление, то абсо-

лютная угловая скорость равна сумме угловых скоростей кривошипа и колеса II:

OA I I 2 6 8 ðàä/ ñ.

Для определения положения мгновенной оси вращения составим пропорцию:


OA		AP	,	AP AO OP,

I I	OP
OAOP I I AP I I (AO OP) ,
( OA I I )OP I I AO ,
OP	I I AO			6 40 30 ñì .
	OA I I
				2 6

Следовательно, мгновенная ось вращения будет проходить через точку соприкосновения подвижного I и неподвижного II колес (рис. 3).

Ответ. = 8 рад/с, ОР = 30 см.

2.Вращения имеют противоположные направления

снеравными угловыми скоростями

Сложение двух противоположно направленных вращений с неравными угловыми скоростями приводит к одному вращению вокруг параллельной мгновенной оси вращения с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось вращения проходит через точку, которая делит внешним образом расстояние между осями на части, обратно пропорциональные угловым скоростям составляющих вращений, и находится за осью вращения с большей угловой скоростью. Абсолютная угловая скорость направлена в сторону большей угловой скорости.

Пример 4.

Кривошип ОА длины l = 60 см вращается с угловой скоростью 1 = 4

рад/с и приводит во вращение колесо радиуса r = 20 см (рис. 4). Угловая
	скорость колеса вокруг оси, прохо-
	дящей через точку А, равна 2 = 16
+	рад/с. Определить абсолютную уг-
+
	ловую скорость.
	Решение. Так как угловые
	скорости вращений колеса вокруг
	оси, проходящей через точку А, и
	кривошипа вокруг оси, проходящей
	в точке О, направлены в разные сто-
	роны, то

1 2 12 ðàä/ ñ.

Рис. 4

Абсолютная угловая скорость направлена в сторону большей угловой скорости и находится за осью, проходящей через точку А:

OP OA AP,

1OP 2AP,

1(OA AP) 2AP,

AP( 2 1) 1OA ,

1AO

4 60

20 ñì .

16 4

Мгновенная ось

вращения

находится

на

расстоянии 20 см,

т. е. в точке Р, которая является мгновенным центром скоростей в плоском движении колеса (рис. 4).

Ответ. = 12 рад/с, АР = 20 см.

3.Пара вращений (вращения имеют противоположные направления

сравными угловыми скоростями)

Парой вращений называют совокупность двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей с равными и противоположно направленными угловыми скоростями. Абсолютное движение твердого тела будет мгновенно поступательным, т. е. скорости всех точек будут одинаковы, пер-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20251.99 Mб0Температурная зависимость сопротивления полупроводников и металлов.pdf
#
29.11.2025983.38 Кб0Тенденции развития архитектурного дизайна на современном этапе.pdf
#
29.11.20251.51 Mб0Теодолитная съемка.pdf
#
29.11.20252.21 Mб0Теоретическая механика в вопросах и ответах. Кинематика. Часть II.pdf
#
29.11.20251.85 Mб0Теоретическая механика в вопросах и ответах. Ч.1. Статика.pdf
#
29.11.20251.64 Mб0Теоретическая механика. Кинематика.pdf
#
29.11.20251.44 Mб0Теоретическая механика. Статика.pdf
#
29.11.202515.24 Mб0Теоретические основы построения спортивной техники.pdf
#
29.11.20252.56 Mб0Теоретические основы сушки.pdf
#
29.11.202579.31 Mб1Теоретические основы теплотехники.pdf
#
29.11.20251.54 Mб0Теоретические основы электротехники. В 2 ч. Ч. 1. Линейные электрические цепи.pdf