Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика в вопросах и ответах. Ч.1. Статика.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

3.4. Равновесие произвольной пространственной системы сил

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на три оси и суммы моментов сил относительно этих осей равнялись нулю, т.е.


Fix 0;			Fiy 0; Fiz 0;					(20)
mx		0; my			0; mz		0.
	Fi			Fi		Fi

Вопросы и задачи

3.4.1 Две однородные плиты весом Р1 и Р2, сваренные под прямым углом друг к другу, крепятся и нагружаются так, как изображено на рисунке. В точке А – сферический шарнир. Нагрузка распределена по линейному закону, действующему в плоскости хАу.

		z
Q		А		В
		А
		а	30°
	45°		30°	qmax



x	d		М	С
Е			b	D

1.Заменить распределенную

нагрузку равнодействующей.

2.Указать объект равновесия.

3.Изобразить на рисунке все силы, приложенные к объекту равновесия.

4.Составить уравнение равновесия для определения

	реакции невесомого стержня T .
5.	Составить уравнение равновесия для определения zB .
	3.4.2 Прямоугольная дверь АВЕС, имеющая вертикальную ось вращения АВ,
открыта на угол DAC =60° и удерживается в этом положении двумя веревками
EF и CD.
	Дано: вес двери Q=54кН; Р=40кН; АС=AD=1,6м; АВ =2,2 м.
				1.	Указать объект равновесия.
	А	D		2.	Указать связи и показать все си-
					лы, приложенные к выбранному
				3.	объекту.
		С	Р	3.	Определить	вид системы	сил,
		С	Р		приложенный кобъекту.
				4.	приложенный кобъекту.
	В			4.	Составить уравнение равновесия,
	В	у			позволяющее	рассчитать	натя-
		у			жение веревки EF.
				5.	жение веревки EF.
х		60°		5.	Определить момент силы Р1 от-
х	F	Е			носительно BX P1 P .
	F	Е		6.	носительно BX P1 P .
				6.	Определить	вертикальную	со-
					ставляющую подпятника zB.
							26

3.4.3
	Q Т
30°		45°
		45°
R		t
		t
с	В	r
с

b		Р
а	А
х		у
х

Вал АВ, закрепленный подпятником А и цилин-

дрическим подшипником В, находится в равновесии под действием нагрузок, как показано на рисунке.

T 2t; t || Ay; T Az4 P || Ay .

1.Назвать реакции подпятника А и цилиндрического подшипника В.

2.Какая система сил действует на вал АВ?

3.Записать аналитическое условие равновесия си-

стемы сил, под действием которой находится вал

АВ.

4.Составить уравнения Fix 0 и Fiy 0 .

5.Какое уравнение равновесия позволит определить хВ? Запишите его.

3.4.4 Две однородные прямоугольные плиты, сваренные под прямым углом друг к другу, крепиться и нагружаются так, как показано на рисунке.

Рассмотреть равновесие конструкции иответить на вопросы.

1.	Назвать реакции сферического под-
	шипника А, цилиндрического под-
2.	шипника В и стержня CD.
	Какая система сил действует на кон-
	струкцию? Записать	аналитическое
	условие равновесия	этой системы
3.	сил.
	Составить уравнения Fiy 0 и
4.	Fiz 0 .
	Какое уравнение позволит опреде-
	лить реакцию стержня CD? Составь-
5.	те его.
	Составить уравнение,	позволяющее
6.	определить yB .
	Определить момент силы Р относи-
	тельно оси Ау.

3.4.5. Две прямоугольные плиты, сваренные под прямым углом друг кдругу, крепятся и нагружаются так, как показано на рисунке. Рассмотреть равновесие конструкции иответить на вопросы.

/2 а

	1.	Назвать виды связей для кон-
	q	струкции.
	2.	Показать на рисунке все ак-
		тивные и реактивные силы,
	B	приложенные к конструкции.
	B	Записать для полученной си-
		Записать для полученной си-
	c	стемы сил уравнения равнове-
	c	сия.
b	3.	Какое уравнение позволит
	А	определить усилие в невесо-
	А	мом стержне CD? Составить
	у	мом стержне CD? Составить
	у	его.
x	4.	Составить уравнение равнове-
		сия для определения xB .

5.Составить уравнение равновесия для определения zA .

3.4.6 Рама удерживается в горизонтальном положении так, как показано на рисунке.

Дано: G=5 кН; Q=10кН;а =5 м; b =2м; с =4м; CD BX ; Q BZ .
1. Указать объект равновесия и виды связей.					2.
		b		с		Изобразить на рисунке все си-
						лы, приложенные к объекту
D	а		В	у	3.	равновесия.
						Определить вид системы сил,
				А
						приложенной к объекту рав-
				Q
60°						новесия. Записать аналитиче-
				45°
						ское уравнение равновесия для
С	х	G	Е
						этой системы сил.

4.Какое уравнение позволит рассчитать реакцию невесомого стержня CD? Составить его.

4.ЦЕНТРТЯЖЕСТИ ТЕЛ

Координаты центра тяжести тела определяются по формулам

xC	xi Gi	; yC	yi Gi	; zC	zi Gi	(21)
	G		G		G

где G – общий вес тела; xi , yi ,	zi – координаты точек приложения сил тяже-
сти элементарных частей, на которые разбито тело; Gi		– вес элементарной ча-
сти тела.
Если вес любой элементарной части выразить		для объемного	тела
Gi Vi , для площади – Gi	Si , для линии Gi li , где ,		и –

соответственно вес единицы объема, площади, длины линии, то получим общие формулы для определения координат центров тяжести однородных объемов

xC xi Vi ; yC				yi Vi ; zC			zi Vi ;			(22)
V				V			V
однородной площади	xi Si ;				yi Si ; zC			zi Si
xC				yC						(23)
	S				S			S
и однородной линии	xi li				yi li			zi li
xC		;	yC			; zC			.	(24)

	l				l			l
В этих формулах V Vi ;				S Si ; l li – соответственно объем

тела, площадь фигуры и длина линии.

Определение координат центров тяжести однородных тел по формулам (22–24) сводится к вычислению определенных интегралов по всему объему, площади или линии. Таким способом получены формулы для определения ко-

ординат центров тяжести полушара (на расстоянии 83 R от основания), конуса

(на расстоянии	1	Н от основания), кругового сектора (на расстоянии	2	R	sin
	4		3

от центра круга) и дуги окружности (на расстоянии R sin от центра окружно-

сти). Для всех этих объектов центр тяжести расположен на оси симметрии. Если объемное тело, плоская фигура или линия имеют сложную геометри-

ческую форму, то для определения координат центров тяжести применяются метод разбиения, метод дополнения или метод отрицательных объемов, площадей. В этом случае в формулах (16–18) под Vi , Si и li следует понимать

соответственно объем, площадь или длину линии отдельных элементов простой геометрической формы (полушар, цилиндр, сектор, треугольник и т.д.), на ко-

торые разбита сложная фигура; xi , yi и zi			– координаты центров тяжести этих
элементов в выбранной системе координат.
Координаты центра тяжести плоских фигур (пластин) можно определять
также п о формулам
xC	S y	; yC	Sx	,	(25)

где S y xi Si ; Sx yi Si	F		F
	– статические моменты площади относитель-
но осей координат.					29

	Вопросы и задачи
4.1		Однородное тело, состоящее из ци-
R	линдра высотой Н =28 см,		радиусом
	R	=40 см и полушара такого же радиуса,
	поставлено на горизонтальную		плоскость
Н	цилиндрической частью.
		Определить:
	1.
		Расстояние от плоскости до центра тя-
		жести полушара.

2.Расстояние от плоскости до центра тяжести всего тела.

3.Будет ли оставаться тело в устойчивом положении равновесия, если его поставить на плоскость сферической частью?

4.2От прямоугольной пластины размером 25 ×50 см отсечены треугольник и четверть круга. При указанных размерах для оставшейся части определить:

	32			1. Каким методом следует поль-
	32				зоваться для определения ко-
					ординат центров тяжести пла-
					стины и на какие простейшие
			25		фигуры при этом ее следует
12		R=		2.	разбить?
12		R=		2.	Координаты	центра	тяжести
			12		отсеченного треугольника.
	50			х	отсеченного треугольника.
	50			х
3. Координаты центра тяжести отсеченного сектора.
4.	Координаты центра тяжести всей пластины.
	4.3

	70			Для изображения на чертеже по-
	70		перечного сечения сварной балки из
5	25		однородных материалов определить:
			1.	Статический момент площади от-
20			2.	носительно оси Oх.
20	5		2.	Статический момент площади от-
5			3.	носительно оси Оу.
	5	х	3.	Координаты центра тяжести всего
		30	4.	сечения.
		30		Чему равны статические моменты
				Чему равны статические моменты
				площади относительно осей, нача-
	15	5		ло которых выбрано в центра тя-
				жести сечения?
Все размеры даны в сантиметрах.
				30

4.4
	1	3		4
		3
R		R	20	5
R	2	R
20	2	20
	30		20	х
Из однородной проволоки, поперечным размером которой можно прене-
бречь, изготовлено крепление. В выбранной системе координат определить:

1.Координаты центра тяжести первого участка (полуокружности).

2.Координаты центра тяжести третьего участка (четверти окружности).

3.Координаты центра тяжести всего контура.

Размеры даны в сантиметрах.

5. РАСЧЕТПЛОСКИХ ФЕРМ

Понятиео ферме

Фермой называется конструкция, со-

стоящая из стержней, которые образуют геометрически неизменяемую систему.

Места соединения двух или более стержней фермы называют узлами. В приближенных расчетах можно допустить, что в узлах фермы находятся шарниры.

Простейшей плоской фермой является

стержневой треугольник, содержащий три узла.

Простая плоская ферма получается из простейшей путем последовательного присоединения к ней каждого нового узла при помощи двух новых стержней.

Обозначим число стержней n, а число узлов – m. Тогда количество стержней, добавленных к простейшей ферме, равно n – 3, а число добавленных узлов m– 3. В соответствии с определением простой плоской фермы первое значение в два раза больше второго, следовательно, n–3 = 2∙(т– 3)

n 2m 3.

Полученное выражение, отражающее связь между числом стержней и узлов,

называют формулой простой плоской фермы.

Допущения, применяемыепри расчетеферм

При расчете сил, действующих на узлы ферм, обычно исходят из следующих упрощающих предположений:

–внешние силы приложены только кузлам фермы;

–веса стержней пренебрежимо малы (их можно учесть, разнося по узлам соответствующих стержней);

–трение в шарнирах отсутствует.

При таких допущениях силы, действующие на узлы фермы со стороны стержней, всегда направлены вдоль линий, проходящих через концы стержней. Если стержни фермы прямолинейные, то они при этом либо растягиваются, либо сжимаются.

Для каждого из узлов плоской фермы, поскольку на них действуют системы сходящихся сил, могут быть составлены два уравнения равновесия. Поэтому их общее число 2m. В свою очередь в простой плоской ферме неизвестными являются n реакций стержней и три реакции внешних связей. Таким образом, при числе стержней n =2m– 3 расчет сил может быть полностью выполнен методами статики.

При n<2m– 3 конструкция становится геометрически изменяемой.

Если n >2m– 3, ферма статически неопределима.

Расчет ферм включает две задачи: определение реакций внешних связей и вычисление сил реакций стержней. Как правило, вначале вычисляются реакции внешних связей. К основным методамрасчета внутренних сил относятся способы вырезания узлов и сечений.

Определениевнутренних силфермыспособом вырезания узлов

Ферма может быть представлена как система тел – узлов, соединенных между собой связями – стержнями. Поэтому для ее расчета справедливы правила, изложенные в разделе равновесие систем тел. Поскольку на каждыйузел действует система сходящихся сил, то для него могут быть составлены только два независимых уравнения равновесия, из которых можно найти только две неизвестные силы. В связи с этим расчет следует начинать с того узла, к которому приложены только две неизвестные внутренние силы.

Рассматривая узлы в таком порядке, чтобы в каждом последующем было не более двух неизвестных сил, выполняем расчет всех реакций внутренних связей. Причем, следует учитывать, что в соответствии с аксиомой о действии и противодействии силы, которыми стержень действует на взаимодействующие с ним уз-

лы, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Для удобства будем обозначать их Si и Si .

Замечание. Для вычисления всех реакций стержней нет необходимости рассматривать все узлы. Последний узел может быть использован для проверки правильности решения.

Достоинство метода: он легко поддается программированию на ЭВМ. Недостаток: накопленная погрешность и ошибка на начальной стадии рас-

чета ведет к необходимости повторного полного перерасчета.

Расчет простых плоскихферм способом сечений

В качестве отдельного тела, составляющего ферму, может быть принята часть конструкции, включающая два узла и более. В этом случае внутренние силы, действующие между частями системы тел, уже не будут сходиться в одной точке. Для такой системы сил можно составить три независимых уравнения равновесия, из которых будут определены три неизвестные силы.

Причем, для получения уравнения с одной неизвестной силой составляют суммы моментов относительно точек пересечения линий действия двух других неизвестных реакций стержней. Если линии действия каких-либо двух сил параллельны, то составляется сумма проекций сил на ось, перпендикулярную указанным линиям действия.

Достоинство метода: можно определить силу реакции конкретного стержня, не рассчитывая другие внутренние силы.

Графическийметодопределения внутренних сил в стержнях простойплоскойфермы(метод Максвелла-Кремоны)

Выше представлены аналитические способы расчета реакций стержней фермы. Однако при расчете ферм с большим количеством стержней их применение требует значительно больших затрат, чем использование графического метода, заключающегося в построении диаграммы Максвелла-Кремоны. Этот способ является графическим вариантом рассмотренного ранее способа вырезания узлов и состоит в построении замкнутых силовых многоугольников для каждого узла фермы. Его особенностью является метод обозначения сил. Он состоит в следующем. Место, занимаемое фермой, разбивается стержнями фермы и приложенными к ней внешними силами на области (зоны). Каждая сила тогда находится на границе зон и обозначается буквами, соответствующими названиям пограничных областей.

Построение диаграммы выполняется в следующем порядке.

1.Изображается в масштабе ферма, показываются все внешние силы (в том числе и определенные ранее реакции связей) с учетом их действительных направлений так, чтобы их векторы выходили за контур фермы.

2.Буквами обозначаются области, ограниченные линиями действия внешних сил и стержнями контура фермы.

3.Буквами обозначаются внутренние области, ограниченные стержнями фермы.

4.Строится силовой многоугольник внешних сил, приложенных к ферме. Записывается уравнение равновесия фермы в векторной форме: первое слагаемое соответствует одной из внешних сил, последующие получаются при обходе наружного контура фермы, например, по ходу часовой стрелки. В масштабе изображаются все векторы сил. Их начала и концы обозначаются буквами, соответствующими наименованиям зон. При правильном построении силовой многоугольник внешних сил должен быть замкнутым.

5.Выбирается узел, в котором имеется не более двух стержней, реакции которых неизвестны. Составляется уравнение его равновесия в векторной форме. Порядок следования векторов соответствует обходу узла в принятом ранее направлении. В соответствии с условием равновесия достраиваются недос- тающие стороны силового многоугольника.

6.Выполняются построения, описанные в пункте 5, до того момента, пока не будут определены все искомые силы. Полученная в результате построения фигура носит название диаграммы Максвелла-Кремоны.

Правильность ее построения проверяется по совпадению направлений линии действия последней определяемой внутренней силы и соответствующего стержня при рассмотрении предпоследнего узла.

7. Величины сил реакций стержней определяются путем измерения соответствующих отрезков на диаграмме иумножения на масштабный коэффициент.

Чтобы определить, сжат либо растянут рассматриваемый стержень, необходимо проверить, куда направлен соответствующий вектор силы. Если сила, действующая на узел, направлена от узла фермы – стержень растянут; иначе – сжат.

				Вопросы и задачи
5.1 Плоская ферма нагружена и закреплена так, как изображено на рисунке.
							Дано:	P 6 кН,	P 10 кН,
								1	2
			I	Р1		а =3м, b =4м.
А	6	С	5	D 4	В	1.	Назвать вид системы сил, при-
А	6	С	5	D 4	В		ложенной к ферме.
						2.	ложенной к ферме.
					30°	2.	Назвать типы связей в опорах А
а	1	7	8	9		3.	и В.
	I		8	3		3.	Для сечения I–I определить точ-
	I	K Р				4.	ки Риттера.
		K Р	2	Е		4.	Методом	сечения	вычислить
	а	2		а			значение усилия в 5 стержне.
	а		b	а		5.	Методом вырезания узлов вы-
						5.	Методом вырезания узлов вы-
							числить усилие во 2 стержне.
									34

5.2 Плоская ферма нагружена и закреплена так, как изображено на рисунке.

Дано: P 20 кН,

Р1

P2 40 кН, а =1м.

D 5

Назвать типы связей в А и В.

Показать на чертеже реакции

связей.

Определить является ли фер-

ма статически определимой?

Определить

точки

Риттера

Н 3

45°

для сечения I–I.

Р2

Методом сечения вычислить

значение

усилия

во

стержне.

Методом вырезания узлов вычислить усилие в 9 стержне.

5.3

P 20

кН,

P 60 кН,

Дано:

Р1

Р2

а =2м.

1. Назвать типы связей в А и В. Пока-

45°

зать на чертеже реакции связей.

2. Найдите соотношения между коли-

чествомузлов и стержней.

3. Какие допущения принимают при

расчет фермы.

4. Для сечения I–I укажите точки Рит-

тера.

Определите усилие в 4 стержне ис-

пользуя между сечений.

ОТВЕТЫ НАВОПРОСЫ ЗАДАЧ

Пример2.2.1

1.F sin sin 45 a 1386 Н∙ см.

2.F sin sin 45 a .

3.F cos a 2 / 2 980 Н∙ см.

Пример2.2.2

F1 F1 sin a 429 Н∙ см;

F cos a F sin

803 Н∙ см.

F1 sin

F1 cos a 429

Н∙ см; my

F2 0 .

F1 F1 cos a 215 Н∙ см;

F2 0 .

Пример2.2.3

По формулам(1)–(8):

b F cos .

a F cos .

a F cos b F cos .

Пример2.2.4

F1 sin AD F3 cos45 AA1 803 Н∙ см.

F3 cos45 AA1 636 Н∙ см.

3.F1 cos AD F3 cos45 AD 535 Н∙ см.

4.F1 cos F2 cos F3 cos45 16 Н.

5.F3 cos45 21 Н.

6.F1 sin F2 sin 8 Н.

	Пример2.2.5
1.	Клюбому.
2.	Нет.
							2				2
3.	Главный вектор	R			;		2	;			2	;			.
3.	Главный вектор				;		2	;			2	;			.
			F	2		cos R ; i			cos R ;	j			cos R ; k	0

4. Главныймомент M A 3a F ; cos M A, i 23 ; cos M A, j 13 ; cos M A, k 23 .

5.MC aF 5 .

6.Нет, т.к. главныйвектор ≠ 0.

Пример2.2.6

;

Главный вектор

200

Н;

cos

; i

cos

; k

M x mx

0 ;

M z mz

F1 cos45 a 28,3 Н ∙ м.

3.M A 28,3 Н∙ м, направлен вдоль оси z в сторону отрицательных значений.

4.Да, т.к. Rx M x Ry M y Rz M z 0 (см. приложение к2.2).

Пример2.2.7

1.Главный вектор R 40 Н, направленот АкС.

2.M А mA Fi F3 AD m 620 Н∙ м; направлен по ходу стрелкичасов.

3.Силыможно заменить равнодействующей, т.к. главный вектор R 0 .

Пример3.1.1

1.	Узел D. Реакция вдоль невесомых стержней (см. 1.4.4). Их принято направлять
2.	от узла.
2.	Пространственная система сходящихся сил.
3.	Fix 0 ,		RA cos RB cos 0 ;			Fiy	0 , 2 RAsin cos RC cos 0 ;
	Fiz 0 ,		2RA sin cos Q RC sin 0 . При проектировании реакций
	RA , RB на оси Оу и Oz необходимо вначале спроецировать их на плоскость
	zOy, а затем– на соответствующую ось.
4.		2RA sin cos					Q
4.	RC		cos	; RA RB 2sin sin cos tg .
	Знак (–) указывает на то, что реакции RA и RB направлены кузлу.
	Пример3.1.2					1.	А – шарнирно-неподвижная опора,
	у RA					1.	А – шарнирно-неподвижная опора,
	у RA			RВ		2.	В – шарнирно-подвижная опора.
	А		Р	В	х	2.	Теоремыо трех силах.
	А		Р	В	х	3. Плоская система сходящихся сил
						3. Плоская система сходящихся сил
							Fix 0 , Fiy 0 .

							37

P sin

2 кН.

sin

Fix 0 ;

RA sin RB sin 0;

Fiy 0;

RA cos P RB cos 0 ;

RB 4 2 кН.

Пример3.2.2

Т-образную балку АВЕ.

Равнодействующая F

2 qmax 3 3

кН.

1м

Прикладывается на расстоянии

от qmax .

3 BE

Плоская произвольная система сил. Аналитическим

ХА

условиемравновесия является:

Fix 0; Fiy 0 ; mA Fi 0 .

М YА

4. mA Fi 0 .

M A 6 кН ∙ м.

Q 1 P sin 4 M F 1 M A 0,

Пример3.2.3

ХА

Раму.

d a b ;

yA 0 .

YА

Q q a b , т.к. все силы.

Плоская система параллельных сил. Для определе-

ния X A и RB необходимо составить два уравнения

равновесия.

mA Fi

0 .

RВ

a b

P a RB a b c 0 .

С В

Q a b 2Pa

2 a b c .

Знак “–” указывает на то, что реакция RB направлена в противоположном

направлении, показанном на рисунке.

Пример3.2.4

А – шарнирно-неподвижная опора; С– шарнирно-подвижная опора.

Алгебраическиммоментом пары сил: М=М(Р, Р) =– Р. А=–

60Н∙ м.

Плоская произвольная система сил.

mA Fi Q AB

G1 cos AB cos

90°

Р1

G1 sin AB sin Pa YC ABcos 0 .

YА

YС

ХА

G .

Пример3.2.5

1. Расчленение на части.

Для стержня CD:

0 ;

RD 2a 2 M 0 ;

YС

M .

ХС

YС

Для части АСВ

XС

F cos60

;

F sin 60

;

Fi 0 ;

4a F sin 60 2a Q 1,75a Y

1,75

2,5

60°

B где Q q 2,5a .

mD F1 F cos60 4,5a F1 sin 60 2a (см. 1.3).

Пример3.2.6

А – жесткая заделка.

RВ

В – шарнирно-подвижная

ХА

опора.

YС

RВ

YА

ХС

ХА

На АС:

МА

На СВ:

Fix 0 ,

X A Q XC 0 ;

mC Fi 0,

Fiy 0,

YA YC 0 ;

8q 4 RB 8 cos 0 ;

mA Fi 0 ,

8q cos

;

0,5

;

8q sin

4. Из mA

0 RB

8 кН.

Из уравнения mA Fi

0 , составленного для конструкции в целом. При этом

внутренние силы в узле С не учитываются.

M A 0,5P Q 2 8q4 cos2 8q sin 3 4sin RB 8cos 0 .

M A 36

3 кН∙ м.

1.	Пример3.2.7
1.	А	RА			XВ	YВ	Q	6qmax 3qmax .
		М			XВ	В		2
		М	а				a	1 CK 2 м.
			а	Q				3
							В точке А– гладкая плоскость;
				D RD			в точке D– невесомый стержень;
		С		D RD		K в точке В– шарнирно-неподвижная
							опора.
2.	А	RА			Следует расчленить систему тел по шарниру С и
	А	RА			приложить к стержню АС силы так, как показано на
					приложить к стержню АС силы так, как показано на
		М			рисунке. На стержень действует плоская произволь-
		М			ная система сил:
					ная система сил:
					mC Fi RA 4 M 0;
		ХС	С		Fix RA XC 0 ;
		ХС	С		Fiy YC 0 .
					Fiy YC 0 .

3. Следует рассмотреть равновесие всей конструкции
	mC Fi 0;			RA 2 M Q 4 RD 4 0.
1.	Пример3.2.8
1.	Внешние и внутренние, активные и реактивные.
2.				Q	М			Р
				Q				Р
								1
		2м			С	D		В
		2м			С	D
					Е	R ED
	МА	YА	ХА
	МА

3.	Необходимо расчленить конструкцию по шарнируС. Для стержня ВС
4	mC Fi 0;			M RED sin 3 P1 6 0.
4		YС						Следует рассмотреть равновесие
				М		Р		стержня ВС.
	ХС			М		1		стержня ВС.
	ХС						х	mD Fi YC 3	M P	3	0
								mD Fi YC 3	M P	3	0
	С				D	В		Fix XC RED cos 0 .
		Е			R ED

Для всей конструкции mA Fi 0 ;

M A Q 2 M RED sin 7 RED cos 4 P 10 0 .

Пример3.2.9

А – шарнирно-неподвижнаяАопора;

С– скользящая заделка.

3м

хВ

4м

хА

30°

МС

6м В

6м

хА

yА

yВ

С6м

4м

3м

4м

RС

хВ

30°

6м В

yВ

6м

МС

хА

Q q b 3

4 12

кН.

yВ

6м

4м

RС

6м МС

3.Fix 0, P cos30 xB xA 0 ;

Fiy 0, P sin 30 yB yA 0 ;

MC Fix 0, P sin 30 9 P cos30 4 yB 6 xB 4 M 0 ;

Fix 0, xB Q 0;

Fiy 0, yB RC 0 ;

MC Fix 0, xB 6 yB 4 Q 2 MC 0.

4.Находимусилие в промежуточномшарнире В хВ = 12 кН; уВ =17,77 кН.

=3,58 кН; уА =– 8,77 кН;

=17,77 кН; МС =– 154,64кН∙ м.

Пример3.3.1

1.RB плоскости стены.

2.Из уравнения mA Fi RBl sin G 2l cos 0

RB Gctg .
2
	RВ	3. Дополнительно к предыдущему уравне-
			нию составим
			Fix N A G 0 N A G ;
			Fiy RB Fсцmax 0 RB Fсцmax fG
NА	G	или
NА			G ctg fG ctg 2 f arcctg2 f .
	max		G ctg fG ctg 2 f arcctg2 f .
	F сц	4.	2
у		4.	Невозможно, т.к. в этом случае в т. А
у

будет только составляющая N A и RB 0 . Поэтому две силы N A и G не могут уравновесить друг друга, т.к. не лежат на одной прямой.

Пример3.3.2

1.Fiy N P sin G cos 0 N G cos P sin .

2.Fсц fN f G cos P sin .

3.При Pmax наибольшая сила трения покоя направлена вниз. Из уравнения равновесия Fix Pmax cos Fсц G sin 0 или

Pmax cos f G cos Pmax sin G sin 0 Pmax G sin f cos . cos f sin

4. При Pmin наибольшая сила трения покоя направлена вверх. Тогда из

Fix Pmin cos Fсц G sin 0 Pmin G sin f cos . cos f sin

Пример3.3.3

RВ		1.	RB AB (см. 1.4.1).
		2.	На основании теоремы о равнове-
	90°
			сии 3-х сил	RА проходит через
RА
			точку пересечения сил G и RB .
NА	В	3.	Из уравнения mВ Fi 0 ;
			N A 3 l cos45 N A f 3 l sin 45

			4	4
	G		1	G
А Fсц			G 4 l sin 45	0 N A 3 1 f .

4.Угол сцепления сц – это угол между N A и RА в предельном положении покоя. Тогда сц 45 , где – угол между RА и стержнем.

tg KB / AB

18 24 ; f A tg сц tg26 36 0,5 .

Пример3.3.4

Равновесие рычага ОА.

mВ

Fi 0.

P a b cos

N a

P cos

, где

–

реакция шкива, направ-

ленная вверх, ОА. Сила

равна по величине

и направлена ей противо-

положно.

Для определения Pmin составим сумму моментов приложенных к барабану

сил относительно оси вращения

a b cos

max

R G r 0;

max

fNmin

Fсц

min

	Gra
Тогда Pmin		.
	fR a b cos

Пример 3.3.5
	NВ				1. Сила трения направлена в противопо-
	NВ		y		ложную сторону движения ползуна,
			y		которое	определяется	направлением
					вращения стрежня под действием сил
			О		Q и G . Для определения этого соста-
			О		вим сумму моментов этих сил относи-
					вим сумму моментов этих сил относи-
		G	NА		тельно точки пересечения нормальных
60°		G		Fсц	реакций.
60°				Fсц	mО Fi	G l sin 30 Q l 1
					mО Fi	G l sin 30 Q l 1
						2	2 cos30
Gl	Ql	0 вращение – по часовой стрелке, а движение ползуна – вле-
4	3

во.

2.mА Fi G 2l sin 30 NBl sin 30 Ql cos30 0 NB 14,6 Н.

3.Fiy N A Q cos30 NB sin 30 0 N A 15,4 Н.

sin 30 Fсц

0 .

2 cos30

Fсц 2,7 Н;

Fсц

0,18 .

N A

Пример 3.3.6

Для определения N1 и N2

рассмотрим рав-

новесие крайнего кубика:

Fix

F1сц G cos45 0 ;

F2сц

Fiy

N1 F2сц G cos45 0 ;

F1сц fN1 ;

F2сц fN2 . Тогда

N2 fN1

G cos45 0;

(1)

N1 fN2

G cos45 0 .

(2)

Решив совместно (1) и (2), получим:

N1 G cos45

1 f

;

1 f 2

N2 G cos45

1 f

1 f 2

N2 Р N1

F1сц	F
	2сц

3.N1 1,5 .

4.Давление кубика на плоскости в момент подъема

отсутствует, т.е. между кубиком и плоскостями нет никаких сил. Из уравнения Fiy 0

P G 2N2 cos45 2N2 f cos45 0

P 261 f f 2 .

1 f 2


Пример 3.3.7
Значение сил			и		найдем из решения уравнений равновесия катка
		P		N
Fiy P cos30 r N 0;					mK			P cos30 r N 0 .
							Fi
1. P	G				500	1093 Н.
	r cos30 sin 30
				0,458

2.N G P sin 30 10000 1093 0,5 9453,5 Н.

3.Fсцmax fN 0,2 9453,5 1891 Н.

4.Так как P cos30 1093 0,866 Fсцmax , то скольжение будет отсутствовать.

Пример 3.4.1

	zА		у	zВ
	zА	А	у	В
	хА	А	А	В
Q	хА		Т	у
45°	30°		Т	хВ
45°	30°		Р	a/3 F
	М		Р	a/3 F
	М
х		Р2
		Р2

1.F 12 qmax BC 12 qa.

2.Конструкция из двух плит.

3.См. рисунок.

4.my Fi 0 ;

Q sin 45 a T sin 30 a

P1	a	P2 a 0 .
	2

5. my		0 ;	zB b P1	b	P2	b	T sin 30	b	M 0 .
	Fi
						2
			2				2

Пример 3.4.2
	А yА			1.	Дверь.
	А yА		D	2.	Подпятник В, подшипник А, веревка EF.
				3.	P1 – вдоль CD. P1 P .
	хА		Р1	3.	Пространственная	система	произвольно
	хА				расположенных сил.
					расположенных сил.
		yВ	С	4.	mz Fi 0 ;
		yВ	Q		P1 AC cos30 T BE cos30 0 ; T P .
					P1 AC cos30 T BE cos30 0 ; T P .
х	В		у	5.	mx P1 P1 cos60 AB 44 кН ∙ м.
В			у	6.	zi 0 , zB Q 0 ,
В
х		zВ
		zВ
			T
Пример 3.4.3

1.Реакция подпятника имеет три составляющие: xA, yA и zA . Реакция цилиндрического подшипника раскладывается на две составляющие: xB и yB .

2.Под действием пространственной произвольной системы сил.

3.Fix Fi 0;

Fiy ; my Fi 0 ;

Fiz Fi 0 ;0 ; mx00 ; mz

4.Fix 0 ; xA xB T cos30 0 ;

Fiy 0; yA P yB t T cos60 0 .

5.my Fi 0 ; xB a b T cos30 a b c QR sin 45 0 .

Пример 3.4.4

1.Опорная реакция в сферическом подшипнике разлагается на три составляю-

щие по осям координат: xA, yA и zA . Реакция цилиндрического подшипника раскладывается на две составляющие: xB и yB . Реакция невесомого стержня направлена по стержню RCD .

2.Пространственная произвольная система сил.

;0; 0 ;Fix Fiy Fiz0

mx		0; my		0 ;	mz		0 .
	Fi		Fi			Fi

3.Fiy 0; yB yA P cos q a RCD cos 0 ;Fiz 0 ; zB zA G Pcos RCD sin 0 .

4. mx Fi 0; RCD cos b sin c q a b Pcos b 0 .

5.	mz Fi 0 ;		yB a q a2	M P cos a 0 .
			2
6.	M y P P cos b P sin a .
	Пример 3.4.5
1. В – цилиндрический шарнир; А – подпятник; DC – невесомый стержень.
			G				2. G q B ; P1 P ;
				y			Fix 0 ;
				В			Fiy 0 ;
		Р1		B			Fiy 0 ;
		Р1		B			Fiz 0 ;
				хВ			Fiz 0 ;
							mx Fi	0 ;
	RС	М		z	х		my Fi	0 ;
				z	А
				А			mz Fi 0 ;
				А	yА	у	mz Fi 0 ;
				А	yА	у	R a P a		Q sin a
			x				C	1 2
		Q					Q cos b 0.
		Q

0 ; xB c M 0 ; xB

Составляющая хВ имеет направление, противоположное показанному на чер-

теже.

Fix 0 ; zA G 0 ; zA G .

Пример 3.4.6

Рама AECF. Связями являются: петля в т. В, сферический шарнир в т. А и

невесомый стержень CD.

Пространственная система

произвольно расположенных

сил.

0 ;

Fix 0 ;

Fiy 0 ;

0 ;

Fiz 0 ;

0 ;

0 ; G

RCD sin 60 a 0 ;

RCD

5 3

кН.

	Пример4.1
					1. z1 H 3 R 43 см.
					2.	8
					2.	Разобьем все тело на полушар (1) и
						цилиндр (2):
					z2	zC ziVi z1V1 z2V2 ;
Н					z2	Vi	V1 V2
Н						z2 H ; V2 R2H ;		V1 2 R3 .
					z	z2 H ; V2 R2H ;		V1 2 R3 .
				0	1	2		3
				0		2		3
		R			у	После подстановки и преобразований
		R				получим
z		6H 2	8HR 3R2		28,14 см.
z	C	12H		8R	28,14 см.
	C

3.Будет, т.к. центр тяжести всего тела лежит внутри полушара zC H . В этом случае нормальная реакция плоскости, проходящая через центр основания полушара, и сила тяжести тела будут возвращать тело, если его вывести из вертикального положения, в это положение.

Пример 4.2

1.Методом разбиения в сочетании с методом дополнения. Первый способ: дополним фигуру четвертью круга (3) и треугольником (2), считая дополненные площади отрицательными. Тогда фигуру можно представить состоящей

из прямоугольника (1) и указанных отрицательных площадей.

y Второй способ: дополним фигуру

			32
С2		(а)	а
(с)		С1
		С1
	b	(b)	С3
		(b)	(d)
О			(d)
О		x3
		x3
		50
3. x3 50	2 R sin cos45 50			2	12
	3			3

только четвертью круга и разобьем на два прямоугольника (а) и

(b), треугольник (с) и четверть круга (d).

2.Центр тяжести отсеченного треугольника (2) находится на пересечении медиан

хx2 13 18 6 см;

y2 12 23 13 20,67 см.

sin
sin	4	2	44,9	см;
		2	44,9	см;
		2
4

			sin				sin
y	2	R	sin	cos45	2	12	sin	4	2	5,1 см.
y		R		cos45		12				5,1 см.
3	3			3					2
	3			3					2

4. Воспользуемся первымописанным способом:

			x F x				F	x	F	25 25 50 6 13 9 44,9						3,14 122
x			x F x			2	F	x	F	25 25 50 6 13 9 44,9					4
		1 1				2	2	3	3						4
						F2 F3
C				F1								1		3,14 122
				F1							25 50	1	18 13	3,14 122
											25 50	2	18 13		4
												2			4
	25475			24,97 см;
	1020			24,97 см;
	1020
y			y1F1 y2 F2 y3 F3								12,5 1250 20,67 117 5,1 113						12,38 см.
y																	12,38 см.
C				F1	F2 F3						1250 117 113
				F1	F2 F3						1250 117 113

Пример 4.3

			Разобьем фигуру на пять прямо-
			угольников, как указано на рисунке
5			1.
5			1.
5	5		S x yi Fi y1 F1 y2 F2
О	5	х	y3 F3 y4 F4 y5 F5
	5		y3 F3 y4 F4 y5 F5
	5		17,5 5 15 7,5 5 70
			17,5 5 15 7,5 5 70

2,5 5 20 17,5 5 25 875 см3 .

2. S y xi Fi x1F1 x2 F2 x3

x5F5 2,5 5 15 15 5 30

x4F4

35 5 70 60 5 20 67,5 5 25 29125 см3 .

S y

29125

36,4 см; yC

875

1,09 см.

800

Статические моменты при таком выборе осей координат равны нулю.

Пример 4.4

1. x1 R 20 см;

	sin 1		sin
y R	sin 1	20	sin	2	12,74 см.
y R		20			12,74 см.
1	1
	1
		2

	x3 90 R sin 3 cos45			90 20 sin
2.	x3 90 R sin 3 cos45			90 20 sin		4 2 77,26 см;
			3			2
					4
	y R sin 3 cos45 20 sin
	y R sin 3 cos45 20 sin				4 2 12,74 см.
	3	3			2
		3			2
		xili		4
3.	xC	xili	x1l1 x2l2 x3l3 x4l4 x5l5 ;
		li	l1 l2 l3 l4 l5
	yC	yili	y1l1 y2l2 y3l3 y4l4 y5l5 .
		li	l1 l2 l3 l4 l5			х3 =77,26см; х4 =100см;	х5 =110 см;
	Подставим х1 =20см;			х2 =55 см;		х3 =77,26см; х4 =100см;	х5 =110 см;
	у1 =12,74 см; у2 =0; у3 =12,74см;					у4 =20 см; у5 =10 см;
	l1 R 3,14 20 62,8 см;				l2 =30 см; l3 1 R 31,4 см; l4 =20 см;
	l5 =20 см.					2
	l5 =20 см.
	Получим: хС =58,05 см;			уС =10,96 см.
	Пример 5.1
1.	Плоская произвольная система сил.
2.		А	RВ		А – шарнирно-неподвижная опора
		А			В – шарнирно-подвижная опора.
	А				В – шарнирно-подвижная опора.
	А
3.	А, С, K.		х	60°
3.	А, С, K.
4.	mK Fi 0 ; S5 3 P1 4 RB cos60 7 RB sin 60 3 0 ; S5						32,5 кН.
5.	S2 10 кН.
	Пример 5.2
1.		А	RВ		А – шарнирно-неподвижная опора
		А			В – шарнирно-подвижная опора.
	А				В – шарнирно-подвижная опора.
	А
			х	45°
2.	S 2n 3;		13 2 8 3.	Статически определимая. Узлов – 8. Стержней – 13

3.L, D.

4.S2 0 .

5.S9 47,14 кН.

1.	Пример 5.3			А – шарнирно-неподвижная опора
	А
		RВ	В	В – невесомый шарнирно-закрепленный
	А
				стержень.
	х

2.S 2n 3; 9 2 6 3 . Узлов – 6. Стержней – 9.

3.Стержни невесомые, шарнирно закрепленные. Силы прикладывают к узлам.

4.Е, L, K.

5.Fi 0; S4 a P2 a 0 ; S4 P2 60 кН.mЕ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20253.03 Mб0Тексты на английском языке для чтения и перевода. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
29.11.20251.99 Mб0Температурная зависимость сопротивления полупроводников и металлов.pdf
#
29.11.2025983.38 Кб1Тенденции развития архитектурного дизайна на современном этапе.pdf
#
29.11.20251.51 Mб1Теодолитная съемка.pdf
#
29.11.20252.21 Mб0Теоретическая механика в вопросах и ответах. Кинематика. Часть II.pdf
#
29.11.20251.85 Mб0Теоретическая механика в вопросах и ответах. Ч.1. Статика.pdf
#
29.11.20251.64 Mб0Теоретическая механика. Кинематика.pdf
#
29.11.20251.44 Mб0Теоретическая механика. Статика.pdf
#
29.11.202515.24 Mб0Теоретические основы построения спортивной техники.pdf
#
29.11.20252.56 Mб0Теоретические основы сушки.pdf
#
29.11.202579.31 Mб5Теоретические основы теплотехники.pdf