Из (4.1), в частности, следует, что проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую точки, равны между собой, т.е.
|
|
|
|
|
(4.3) |
npAB (VB ) = npAB (VA ) . |
|||||
Во втором способе движение фигуры в данный момент рассматривается как вращательное вокруг мгновенного центра скоростей (МЦС). В этом случае скорость любой точки В определяется по формуле
VB = ωL , |
(4.4) |
где ω – угловая скорость фигуры вокруг МЦС; L – расстояние от точки до МЦС.
Чтобы найти МЦС плоской фигуры, необходимо найти направления скоростей двух произвольных точек одной и той же фигуры и восстановить в точках перпендикуляры к скоростям, МЦС находится на пересечении перпендикуляров. (4.5)
Ускорение любой точки плоской фигуры определяется по формуле
aB = aA + aBAn + aBAτ , |
(4.6) |
где aA – ускорение произвольной точки (полюса) той же фигуры; aBAn |
– цен- |
тростремительное ускорение точки В при вращении ее с фигурой вокруг полюса, направлено от В к А ; aBAτ – вращательное ускорение точки В при вращении ее с фигурой вокруг полюса, направлено перпендикулярно ВА (при ускоренном вращении совпадает с VBA , при замедленном направлено обратно VBA ).
По модулю эти ускорения равны
|
|
|
aBAn = ω2 AB. aBAτ = ε AB . |
(4.7) |
|
где ω и ε – угловая скорость и угловое ускорение фигуры. |
|
||||
Примечание. Если точки А и В совершают криволинейное движение, то |
|||||
вместо (4.6) пользуются формулой |
|
||||
|
|
|
aBn + aBτ = aAn + aAτ + aBAn + aBAτ |
(4.8) |
|
rn |
rn |
rτ |
rτ |
||
|
|||||
где aB , |
aA , |
aB , |
aA нормальные и касательные ускорения точек В и А соответ- |
||
ственно.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЦС
ω
С
VС
P
а) Колесо катится без скольжения. МЦС находится в точке P соприкосновения колеса с неподвижной поверхностью (рис. 4.1).
ω= |
Vc |
(4.9) |
|
CP |
|||
|
|
Рис.4.1
|
V |
|
V B |
A |
A |
B |
|
|
ω 
P
Рис.4.2
б) Известны скорости двух точек или величина и направление скорости одной
точки (VA ) и направление другой. Для нахождения МЦС проводим перпендикуляры к векторам скоростей в точках А и В. Точка P пересечения перпендикуляров будет МЦС (рис. 4.2).
щ= |
VA |
= |
VB |
|
|
|
|
. |
(4.10) |
||
AP |
BP |
||||
VB |
B |
|
в) Известны угловые |
скорости кривошипа |
|
ОВ ( ωОВ ) и колеса 1 ( ω1 ) (рис. 4.3). |
|||
VA |
|
|||
A |
2 |
|||
ω2 |
P |
|
VB = щOB (r1 + r2 ), VA = щ1r1. |
|
|
Считаем, что |
|
||
ωΟΒ Oω1 |
|
|||
VB >VA , |
VA || VB . |
|||
|
МЦС находится на пересечении двух пря- |
1 |
мых, одна из которых проведена через точки |
|
|
|
А и В, вторая – через концы векторов скоро- |
Рис.4.3 |
стей. Колесо 1 и кривошип ОА вращаются |
вокруг точки О. Колесо 2 совершает плоское движение. Тогда
|
|
|
щ = |
VB |
= |
VA |
, |
ВР = АР+ r |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
BP |
|
|
|
AP |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
VB AP =VA BP =VA(AP + r2 ), |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
AP(V |
−V |
A |
)=V |
r , |
AP = |
VAr2 |
. |
|
|||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
A 2 |
|
|
|
VB −VA |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Откладываем на прямой ВА отрезок АР и получаем точку Р (МЦС). |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
щ = VA = VA (VB −VA ) |
= VB −VA . |
(4.11) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
AP |
VA r2 |
|
|
|
r2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Направление угловой скорости колеса 2 ( ω2 ) определяется направлениями |
||||||||||||||||||
вращения векторов скоростей точек А и В относительно МЦС. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
г) Известны угловые скорости кривошипа |
||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
ОВ (ωOB ) |
и колеса 1 (ω1 ) (рис. 4.4). Счи- |
|||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ωOB 
O
ω1 
A
1
Рис.4.4
ω2
B 
P
2
таем, что:
VA >VB , VA || VB .
VA = щ1 r1 , VB = щOA (r1 + r2 ).
МЦС находится в точке пересечения прямой, проведенной через точки А и В, и прямой, проведенной через концы векторов скоростей точек А и В (рис.4.4).
Колесо 1 и кривошип ОА вращаются вокруг точки О. Колесо 2 совершает |
||||||||||||||||||
плоское движение. Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
щ = VB |
= VA , |
AP = BP +r . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
BP |
|
|
AP |
|
|
2 |
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(BP + r ) BP = VBr2 . |
|
|||||||
|
|
V |
А |
ВP =V |
В |
АP =V |
B |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
VA −VB |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откладываем на прямой АВ отрезок ВР и получаем точку Р (МЦС). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
щ |
|
= |
VB = VB (VA −VB ) |
= VA −VB . |
(4.12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
BP |
V B r2 |
|
r2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Направление угловой скорости колеса 2 (ω2 ) определяется направлениями |
||||||||||||||||||
вращения векторов скоростей точек А и В относительно МЦС . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
V B |
|
|
|
|
|
|
|
д) Известны угловые скорости кривоши- |
||||||
ω1 |
ωOB |
ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
па ОВ ( ωОВ ) |
и колеса 1( ω1 ), |
которые |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлены противоположно (рис.4.5). |
||||||
O |
|
P |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VA = щ1r1, |
VB = щOВ(r2 +r1). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
V A |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Колесо 1 и кривошип ОА вращаются во- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
круг точки О. Колесо 2 совершает плос- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Рис.4.5 |
|
|
|
|
|
|
|
кое движение. МЦС находится в точке |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересечения прямой, соединяющей |
|||||||||
концы векторов скоростей точек А и В, и прямой АВ (рис.4.5). |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
щ = VB |
|
= VA , |
BP = r − AP |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
BP |
|
AP |
|
2 |
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
VB AP =VA BP =VA (r2 − AP). |
|
||||||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VA r2 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
AP = V |
+V |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
щ = VA |
= VA (VB +VA )= VB +VA |
(4.13) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
AP |
|
|
VA r2 |
|
r2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Направление угловой скорости колеса 2 ( ω2 ) определяется направлениями |
||||||||||||||||||
вращения векторов скоростей точек А и В относительно МЦС (рис.4.5). |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
V B |
B |
|
|
|
е) Четырехзвенник ОАВО1 занимает поло- |
|||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жение, показанное на рис. 4.6. OA || O1B. |
||||||||
V A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим скорость точки А: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ωΟΑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VA = щOA OA . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор скорости VA |
перпендикулярен AO |
||||||||
O |
|
|
|
|
O |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
и направлен в соответствии с угловой ско- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ростью. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рис. 4.6 |
|
|
|
|
|
|
Скорость точки В также перпендикулярна |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВО1, так как звенья ОА и О1В совершают |
||||||||
вращательное движение. Стержень АВ совершает плоское движение. Строим МЦС стержня АВ. Перпендикуляры к скоростям точек А и В будут параллельны. Поэтому МЦС находится в бесконечности. Стержень АВ совершает мгновенное поступательное движение, и скорости всех точек стержня будут одинаковы по величине и направлению. В данный момент угловая скорость стержня АВ равна нулю (ωAB = 0) .
Вопросы и задачи
4.1.Что следует понимать под плоской фигурой?
4.2.Какую особенность следует иметь в виду при решении задач на плос- ко-параллельное движение?
4.3.Почему скорости точек плоской фигуры чаще определяют вторым спо-
собом?
4.4.Обязательно ли МЦС должен находиться в пределах фигуры?
4.5.Если механизм состоит из нескольких тел (звеньев), то как можно найти МЦС?
4.6.При нахождении МЦС можно ли брать скорость двух точек, принадлежащих разным телам (звеньям)?
4.7.Как найти угловую скорость плоской фигуры?
4.8.Если угловая скорость определяется с помощью (4.2), зависит ли ее значение от выбора полюса?
4.9.В чем отличие векторов aBn и aBτ от aBAn и aBAτ (см 4.8)?
4.10.Как найти угловое ускорение плоской фигуры?
4.11.
Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и D, соединенных друг с другом и с неподвижной опорой шарнирами. Точки С и К находятся в серединах, соответствующих стержней. Длины стержней соответственно равны L1, L2 , L3 в м., угловая скорость стержня 1
равна ω1 рад/с.
Для заданного положения механизма ответить на вопросы: 1. Какое движение совершает стержень ОА?
Определить VA . 2. Показать на рис. VB . Найти положение МЦС стержня АВ.
3.Определить угловую скорость звена 2. Какое движение совершает стержень АВ? Чему равны VB и VC ?
4.Показать на рис. VD . Найти положение МЦС стержня СD. Чему равна VD ?
5.Определить угловую скорость стержня CD иVK .
6.Найти модуль и направление aA .
7.Показать на рис. aB . Записать векторное равенства для определения aB . Обосновать выбор полюса.
8.Показать на рис. aBAn и aBAτ вычислить aBAn .
9.Вычислить aB и aBAτ .
10.Определить угловое ускорение эвена 2.
11.Записать формулу для определения aC . Показать на рис. и определить aCAn
и aCAτ . В какой последовательности следует выполнять вычисления, чтобы определить модуль и направление aC ?
4.12.
Кривошип О1А, вращаясь вокруг неподвижной оси O1 , приводит в движение звенья 2, 3 и
4 соединенные между собой шарнирно.
Дано: |
L1 = 0,2 м, |
L2 = 0,4 м, |
L3 = 0,3 м, |
L4 = 0,4 м, |
O2B = 0,3 |
м, BK = 0,2 |
м, ω1 =10 |
рад/с., ε1 =10 рад/с2, α = 30o, β = 60o. Ответить на вопросы и найти величины
указанные ниже: 1. Какое движение совершают звенья 1 и 4? Показать на рис. VA и
VB .Определить VA .
2. Какое движение совершает звено 2? Определить VB с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела. Найти МЦС звена 2.
3.Определить ω2 и ω4 .
4.Показать на рис. VD , VE и VK . Найти VD и VE .
5.Записать формулу для определения aB . Определить и показать на рис. aBn , aAn . Вычислить aB .
4.13.
Блок 3 удерживается на двух параллельных тросах, навернутых на барабаны 1 и 2, вра-
щающиеся вокруг осей по законам ϕ1 = et−1 рад и ϕ2 =1 − 4t рад соответственно. Дано:
R1 = R3 = 0,2 м, r = 0,5R1, t =1с.
1.Определить ω1 и ω2 , VE и VD .
2.Чему равны VA и VB ? Какое движение со-
вершает теле 3? Определить положение МЦС тела 3.
3. Определить ω3 и VC .
4. Определить ε1 и ε2 . Зная векторное равенство для определения VC опреде-
лить aC .
4.14. Ползуны 1 и 4, соединенные двумя стержнями АВ = 0,4 м и ВС=1 м, движутся по прямолинейным взаимноперпендикулярным направляющим соот-
ветственна по законам SA = 0,1t2 м, SC = 0,2 ln t м, (t – в секундах).
В момент времени t = 1 с. механизм занимает положение, показанное на рисунке. Для этого момента времени ответить на следующие вопросы:
1.Определить VA и VC
2.Какое движение совершают звенья 2 и 3. Записать векторные равенства для опреде-
ления VB . Показать на рис. VBA и VBC .
3.Определить VB .
4.Определить ω3 . Какое движение совершает тело 3?
5.Найти МЦС тела АВ и ω2 .
6.Определить aA и aC и показать их на рисунке.
7.Записать векторные равенства для определения aB . Показать на рис. и опре-
делить aBAn , aBnС . Найти aBВС . 8. Определить aB . 9. Определить VB в момент
t = 2 с при том же положении механизма.
4.15.
Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2 соединены нерастяжимой нитью. Груз К, прикрепленный к концу этой нити, опускается вертикально вниз по
закону x = 2t2 м. Определить ускорение точки D, лежащей на ободе подвижного блока 1, в момент t = 0,5 с. Радиус подвижного блока 1 равен 0,2 м.
Ответить на вопросы и найти указанные величины.
1.Какое движение совершает блок 1?
2.В какой точке находится МЦС блока 1?
3.Определить угловую скорость и угловое ускорение блока 1.
4.Запишите векторную формулу для определения ускорения точки D.
5.Показать на рис. и определить aDAn , aDOτ .
6.Определить величину ускорения точки D.
4.16.Груз К, связанный посредством нерастяжимой нити с катушкой L,
опускается вертикально вниз по закону x = t 2 м. При этом катушка L катится без скольжения по неподвижному горизонтальному рельсу. Определить ускорение точки В лежащей на ободе катушки, ее угловую скорость и угловое уско-