2.12. Скорость движения точки по некоторой траектории задана уравнени-

ем V = 5πcos π2 t см/с.

Определите в момент времени t =1c :

1.Скорость точки.

2.Касательное ускорение.

3.Значение дуговой координаты при S0 = 0 .

4.Пройденный путь за время t=4 с.

2.13.Поезд, двигаясь равноускоренно на закруглении радиуса 500 м с некоторой начальной скоростью, за 2 мин. прошел расстояние S=1500 м и развил скорость 72 км/час.

Определите: 1. Начальную скорость поезда.

2.Касательное, нормальное и полное ускорения поезда в начале участка.

3.Касательное, нормальное и полное ускорения поезда в конце 2-ой минуты.

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

В кинематике тела изучаются законы его движения и определяются кинематические характеристики. Особенность ее состоит в том, что наряду с изучением движения всего тела рассматривается также движение его точек. Различают следующие виды движения твердого тела: поступательное, вращательное, плоскопараллельное, сферическое и общий случай движения свободного тела. Простейшими являются поступательное и вращательное движения. Все другие движения можно свести либо к совокупности поступательного и вращательного движений, либо к одному из них.

При, поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые по величине и направлению скорости и ускорения.

3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

3.1.Кинематические характеристики движения тела

Кним относятся угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение. Изменение угла поворота с течением времени, т.е.

представляет закон вращательного движения тела.

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени, определяется по формуле

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, равна

При равномерном вращении тела ( ω= const ) и равнопеременном вращении (ε = const) уравнения вращения имеют вид:

3.2. Кинематические характеристики движения точек тела

Движение любой точки тела целесообразно задавать естественным способом – (известны их траекторий).

Модуль скорости любой точки тела

V = ωR , (3.6)

где R – расстояние от точки до оси вращения.

Нормальное и касательное ускорения определяются по формулам

Полное ускорение определяется по формуле

Вопросы и задачи

3.1.Когда вращательное движение тела называют равномерным, когда равнопеременным?

3.2.Как направлено полное ускорение точки при равномерном вращении

тела?

3.3.Как направлен вектор линейное скорости точки тела при вращательном движений?

3.4.Как направлен вектор угловой скорости тела при вращательном дви-

жении?

В кривошипно-шатунном механизме кривошип ОА длиной 20 см шарнирно соединен с осью вращения О и движется в плоскости хОу так, что его угол поворота изменяется

по закону ϕ = t 2 −3t рад. Определите: 1. Траекторию точки А.

2.Угловую скорость кривошипа при t = 1 с.

3.Угловое ускорение кривошипа.

4.Характер движения кривошипа при t = 1 с.

5.Модуль и направление вектора скорости точки А в этот момент.

6.Модуль и направление касательного (вращательного), нормального (центростремительного) и полного ускорений точки при t = 1 с.

3.6.

Диску радиусом R=30 см, вращающемуся

вокруг вертикальной, оси O1O2 , перпенди-

кулярной плоскости диска и отстоящей от его центра на расстоянии ОС=R/2, в начальный момент сообщили угловую скорость n =300 об/мин.

Вследствие трения в опорах O1 и O2 через

10 с. угловая скорость диска уменьшилась

до ω= 2πрад/с.

Считая движение равнопеременным, определите в конце десятой секунды:

1.Линейные скорости точек M1 и M 2 (модуль и направление).

2.Угловое ускорение диска.

3.Число оборотов диска вокруг оси.

4.Полные ускорения точек M1 и M 2 .

3.7.

При пуске в ход электромотора шкив А радиусом r1 = 25 см вращается с посто-

янным угловым ускорением ε1 = 0,4π

рад/с2. Через некоторое время шкив В радиусом r2 = 50 см станка приобрета-

ет угловую скорость n2 = 600 об/мин.

Пренебрегая скольжением ремня по шкивам, определите: 1. Угловую скорость шкива В.

2. Угловую скорость шкива А.

3. Линейную скорость точек M1 и M 2 .

4.Время разгона шкива В.

5.Нормальное, тангенциальное и полное ускорение точки M2 .

3.8.

Груз А с помощью лебедки поднимается по наклонной плоскости. Известны радиусы зубчатых колес r1=15 см, R1 = 20 см, r2 =30 см и за-

кон движения груза S = 50 t2 см. Пренебрегая растяжением троса, определите в момент времени t = 1 с: 1. Скорость груза А.

2. Ускорение груза А.

3. Угловую скорость и угловое ускорение рукоятки лебедки.

4.Скорость точки М.

5.Ускорение точки М.

3.9.

В изображенном редукторе известны число зубьев колес z1, z2 , z3, z4 , и угловая

скорость вала 1 ω1 .

Определите: 1. Угловую скорость вала II.

2.Передаточное число редуктора.

4.ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

(ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ)

Плоским или плоскопараллельным называют такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Решая задачи на эту тему, необходимо уметь находить скорость и ускорение любой точки, а также угловую скорость и угловое ускорение тела (фигуры) в плоскопараллельном движении.

Скорость любой точки плоской фигуры можно найти двумя способами.

В первом способе движение фигуры мысленно раскладывается на поступательное и вращательное. В этом случае скорость любой точки В определяется по формуле

где VA – скорость любой точки (полюса) той же фигуры; VBA скорость точки B

при вращении ее с фигурой вокруг полюса, направлена перпендикулярна ВА, а по модулю равна