Строительная механика

R5

I ' R4 - N

Для стержневого конечного элемента с шарниром на конце (рис. 25.13) матрица мгновенной жесткости может быть получена из матрицы (25.23) путем исключения реактивного момента на кон­ це стержня. Эта матрица будет иметь размеры 5 х 5 :

741

Для стержневого конечного элемента с шарниром в начале стержня (рис. 25.i4) из матрицы (25.23) потребуется исключить ре­ активный момент в начале стержня. Матрица мгновенной жестко­ сти стержня с шарниром в начале также будет пятого порядка и в локальной системе координат примет вид:

Сжатый стержневой конечный элемент с шарнирами на обоих кон­ цах (рис. 25Л5,а) имеет особенность, которая состоит в том, что от по­ перечного сдвига в его опорах появляются отрицательные поперечные реактивные силы (рис. 25.!5,б).

Рис. 25.i5

742

Матрица мгновенной жесткости такого элемента будет четвертого порядка. В местной системе координат, связанной со стержнем, она примет вид:

В данном разделе под N понимается модуль сжимающей про­ дольной силы.

25.6. Понятие о расчете сооружений по деформированному состоянию

Итак, равновесие сооружения в деформированном состоянии ус­ тойчиво, если матрица мгновенной жесткости сооружения в этом состоянии, вычисляемая, допустим, по формуле (25.10) или иным способом, положительно определена. Чтобы подчеркнуть, что эле­ менты этой матрицы зависят не только от геометрии деформируе­ мой системы, но и от продольных усилий деформированного со­ стояния, будем обозначать ее следующим образом:

743

Однородные уравнения равновесия в перемещениях

[R(X ,N )]Z = 0

с положительно определенной матрицей мгновенной жесткости в устойчивом деформированном состоянии будут иметь единственное, нулевое решение. Для нас важно, что это решение единственно.

Следовательно, устойчивая в деформированном состоянии стержневая система может быть нагружена дополнительной нагруз­

кой AF . Перемещения Z , вызванные дополнительной нагрузкой, будут единственным решением уравнений метода перемещений с матрицей мгновенной жесткости деформированного состояния:

(25.28)

Приращения усилий AS от дополнительной нагрузки могут быть выражены через найденные перемещения по формуле вида:

(25.29)

Новые координаты и полные усилия нового деформированного со­ стояния равновесия, полученные путем элементарного суммирования, могут быть приняты за параметры нового исходного состояния:

Новое исходное состояние, если оно окажется устойчивым, может быть подвергнуто следующему нагружению. Остается только отнести вычисленные усилия к новой хорде деформированного стержня. Изги­ бающие моменты не изменятся, а продольные и сдвигающие силы должны быть перевычислены по следующим формулам:

744

где слева от знака присваивания стоят вычисленные полные усилия, отнесенные к хорде стержня в исходном состоя­ нии равновесия, а справа - усилия, отнесенные к новой хорде деформированного стержня;

a- угол поворота (перекоса) хорды стержня в новом состоянии по отношению к исходному состоянию:

Au

(25.32)

Таким образом, на основании зависимостей (25.28)-(25.32) мож­ но построить шаговый процесс многоступенчатого нагружения для расчета геометрически нелинейных систем. Указанный шаго­ вый процесс эквивалентен применению метода Эйлера к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым методом непрерывного продолжения может быть сведена задача расчета геометрически нелинейной деформи­ руемой системы.

Относительно любого устойчивого состояния равновесия де­ формированная система может совершать малые колебания, кото­ рые будут описываться линейными дифференциальными уравне­ ниями движения вида:

(25.33)

При этом собственные частоты и собственные формы свободных колебаний будут зависеть как от размеров поперечных сечений и свойств материала его элементов, так и от геометрии сооружения в достигнутом деформированном состоянии равновесия, и от значе­ ний и расположения текущих (а не полных) масс сооружения, зави­ сящих от уровня нагрузки. Но в основном они будут зависеть от уровня внутренних сил в нагруженных элементах сооружения. То есть, динамические характеристики сооружения в процессе его на-

745

гружения зависят от значений мгновенных масс и мгновенной же­ сткости сооружения и относятся к конкретному мгновенному де­ формированному состоянию равновесия.

746

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Строительная механика. Стержневые системы: учебник для вузов / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников. - М.: Стройиздат, 1981. - 512 с.

2.Александров, А.В. Строительная механика. Тонкостенные и пространственные системы: учебник для вузов / А.В. Александ­ ров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников; под ред. А.Ф. Смир­ нова. - М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

3.Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: учебник для вузов / А.Ф. Смирнов, А.В Александров, Б.Я. Лаще­ ников, Н.Н. Шапошников. - М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

4.Дарков, А.В. Строительная механика: учебник для строит. спец. вузов / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. - М.: Высшая школа, 1986. - 607 с.

5.Киселев, В.А. Строительная механика: учебник для вузов / В.А. Киселев. - М.: Стройиздат, 1976. - 511 с.

6.Киселев, В.А. Строительная механика. Специальный курс (ди­ намика и устойчивость сооружений) / В.А. Киселев. - М.: Строй­ издат, 1969. - 432 с.

7.Леонтьев, Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем: учебник / Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. - М.: Изд-во АСВ, 1996. - 541 с.

8.Строительная механика: учебник для вузов / Ю.И. Бутенко [и др.]. - Киев: Высшая школа, 1989. - 479 с.

747

3.3.Кинематический метод построения линий влияния усилий.. 74

3.4.Определение усилий по линиям влияния

748

749

750