Строительная механика

Рис. 25.10

Следовательно, матрица коэффициентов (матрица равновесия) размером 4*8 примет вид:

Из уравнений равновесия, подчеркнем это, усилия сдвига не ис­ ключены.

Готовим данные для вычисления матриц внутренней жесткости вида (25.14) для стержней 1 и 2. Вычисляем ii = 300000/12 = 25000;

/'2 = 600000/15 = 40000. Затем при значениях параметров устойчивости

V1 = 0, V2 = 0 (статический расчет) и единичных значениях всех спе­

циальных функций формируем по формулам (25.14) матрицы внутрен­ ней жесткости четвертого порядка для стержней. Матрица внутренней жесткости системы буде квазидиагональной восьмого порядка:

G = G1

G 2

где

731

732

откуда выбираем сжимающие продольные силы:

N 1 = -1500 кН;N 2 = -755,3 кН.

Для дальнейшего расчета на устойчивость придется формиро­ вать для стержней с учетом специальных трансцендентных функ­ ций матрицы внутренней жесткости вида:

Вычисляем безразмерные параметры, соответствующие найден­ ному уровню продольных сил:

Вычисляем значения соответствующих специальных трансцен­ дентных функций:

733

После прямого хода по Гауссу на главной диагонали треуголь­ ной матрицы находятся положительные элементы. Следовательно, при заданном уровне нагрузок никакие симметричные малые воз­ мущения не могут вызвать потерю устойчивости равновесия.

Проверяем устойчивость рамы при кососимметричных возмуще­ ниях. Составляем уравнения равновесия для полурамы, модели­ рующей кососимметричные деформации (рис. 25.9). Вырезаем узлы (рис. 25.11) и получаем пять уравнений равновесия по направлени­ ям возможных упругих перемещений. Три уравнения, как и раньше, для узла 2 и два уравнения для узла 3:

N2

Рис. 25.11

Матрица равновесия при кососимметричных деформациях примет вид:

735

Выполнив построение матрицы внешней жесткости второй полурамы по прежней формуле:

R = A G A T

и, приведя ее прямым ходом по Гауссу к треугольному виду, получим:

И при кососимметричных возмущениях равновесие рамы при за­ данном уровне нагрузок остается устойчивым.

Чтобы определить критическую нагрузку, необходимо выпол­ нить ее поиск, допустим, методом половинного деления или мето­ дом подбора.

Определим приближенное значение критической продольной силы в стойках по формуле Эйлера, предположив, что ригель явля­ ется для стоек «плавающим» защемлением:

Njp = п 2E I1 / L2 = 3.14162 • 300000/122 = 20561 кН.

Таким образом, заведомо завышенное критическое сжимающее усилие в стойке более чем в к = 20561/1500« 13 раз превосходит (по модулю) номинальное усилие.

736

Повторяем расчет на устойчивость при 10-кратных продольных силах (к = 10):

N 1 = -1 5 0 0 -10 = -15000 кН,

N 2 = -755.3 -10 = -7553 кН.

При таких продольных силах рама неустойчива, так как при ко­ сосимметричных деформациях на главной диагонали матрицы внешней жесткости, приведенной к треугольному виду, появился отрицательный элемент.

Уменьшаем продольные силы, приняв к = 8, и еще раз выполня­ ем расчет на устойчивость. Отрицательных чисел на главной диаго­ нали треугольного сомножителя нет. Рама устойчива при восьми­ кратном превышении заданной нагрузки.

Применяя методику половинного деления, последовательно на­ ходим критическое значение коэффициента ксг = 9,10.

Подобным образом можно найти критическую нагрузку с заданной точностью, изменяя не только значения продольных внутренних сил, но и значения и расположение внешних нагрузок. В последнем случае придется при каждой попытке проводить и статический расчет.

Как следует из вышеизложенного, трудоемкость и точность оп­ ределения критических нагрузок зависит от конкретного про­ граммного обеспечения и умения пользователя использовать пре­ имущества компьютерных технологий на основе численных мето­ дов и существующего прикладного программного обеспечения.

25.4. Матрица внутренней жесткости растянутого стержня

Выше отмечалось, что растягивающие продольные усилия в эле­ ментах деформируемой системы повышают ее мгновенную жесткость. Во многих случаях этим повышением пренебрегают, что идет в запас жесткости и устойчивости. При необходимости влияние растягиваю­ щих сил на деформации изгиба и общую жесткость сооружения также может быть учтено, особенно при компьютерной реализации вычисле­

737

ний. Для этого достаточно ввести специальные функции для растяну­ тых стержней, которые будут использованы при формировании мат­ риц внутренней жесткости растянутых стержней.

Основное отличие формального учета растягивающих внутрен­ них сил от соответствующего учета сжимающих внутренних сил состоит в том, что безразмерный параметр v (25.13) для растянуто­ го стержня становится мнимой величиной. Поэтому введем новое обозначение соответствующего безразмерного параметра для рас­ тянутых стержней:

На основании (25.19) и (25.13) будем иметь следующие соотно­ шения (здесь i - мнимая единица):

v = iy; v2 = - у 2; sin(i'Y) = ish(y); tg(iy) = ith(y) . (25.20)

Учитывая соотношения (25.20), вместо специальных безразмер­ ных функций безразмерного параметра v для сжатых стержней легко получить соответствующие безразмерные функции безраз­ мерного параметра у уже для растянутых стержней:

738

Полученные в предыдущем разделе формулы для вычисления “единичных” реакций и построения матриц внутренней жесткости для сжатых стержней полностью применимы и для построения мат­ риц внутренней жесткости растянутых стержней, при условии за­ мены параметра v (25.13) на параметр у (25.19) и специальных

функций (25.2) на специальные функции (25.21). При компьютер­ ной реализации учет влияния растягивающих усилий на жесткость стержневой системы в деформированном состоянии ничуть не сложнее учета сжимающих усилий. Вычислительные затраты при­ мерно одинаковы.

25.5. Матрица внешней жесткости сжатого стержня как конечного элемента

При компьютерной реализации расчетов деформируемых систем на устойчивость построение требуемой матрицы мгно­ венной жесткости сооружения в исследуемом состоянии равно­ весия может быть выполнено с помощью метода конечных эле­ ментов. Для построения общей матрицы мгновенной жесткости всего сооружения достаточно уметь построить в местных сис­ темах координат матрицы мгновенной жесткости отдельных ко­ нечных элементов. Разумеется, компоненты соответствующих матриц мгновенной жесткости должны учитывать наличие, по крайней мере, внутренних сжимающих сил в элементах соору­ жения. Это легко выполняется с помощью таблиц реакций сжа­ тых стержней (табл. 25.1) и таблиц специальных трансцендент­ ных функций (табл. 25.2), рассмотренных ранее.

Рассмотрим сжатый стержневой конечный элемент с жесткими узлами (рис. 25.12), отнесенный к местной системе координат.

739

Вектор приращений узловых реакций R шестого порядка связан

с соответствующим вектором узловых перемещений Z с помощью матрицы мгновенной жесткости K также шестого порядка:

Матрица мгновенной жесткости К является матрицей внешней же­ сткости рассматриваемого сжатого стержневого конечного элемента в местной системе координат. Ее компоненты, единичные реакции в опорных связях, вызванные поочередным единичным смещением ка­ ждой опорной связи, зависят также от сжимающей продольной силы в элементе. Значения единичных реакций легко определяются с помо­ щью табл. 25.1 по методике, примененной в разделах 25.3. В соответ­ ствии с направлением узловых реакций (рис. 25.12), определяющих также и направление узловых перемещений, матрица мгновенной же­ сткости рассматриваемого стержневого конечного элемента в местной системе координат примет вид:

где, как обычно, введены обозначения:

Аналогично могут быть получены матрицы мгновенной жестко­ сти для стержневых конечных элементов с другими опорными за­ креплениями (рис. 25.13, 25.14).

740