Строительная механика

Если растянутый (сжатый) стержень выполняет в раме роль за­ тяжки (распорки) или является стержнем фермы (оба узла шарнир­

ты: удлинение стержня AL и перекос стержня Au .

На последнее обстоятельство следует обратить особое внимание, так как при статическом расчете для стержней, имеющих шарниры на обоих концах, в соответствующих векторах обычно оставляют по одной компоненте. Отметим, что и при статическом расчете уси­ лия сдвига и деформации сдвига также можно было бы не исклю­ чать из числа независимых искомых параметров.

Следовательно, и при расчете на устойчивость размерность век­ торов усилий и деформаций для отдельных стержней зависит от условий прикрепления этих стержней к узлам системы.

Из векторов усилий ASj и векторов деформаций Л j отдельных

стержней составляются в соответствии с нумераций стержней об­

где k - количество стержней (элементов) деформируемой системы.

Второе основное отличие расчета стержневых систем на устойчи­ вость от их статического расчета по недеформированной расчетной схеме состоит в построении матрицы внутренней жесткости G j пря­

молинейного деформированного стержня, связывающей векторы приращений усилий и приращений деформаций:

721

(25.8)

Матрица внутренней жесткости стержня G j строится с учетом

продольного усилия в этом стержне на основе общего решения дифференциального продольно-поперечного уравнения изгиба стержня. Соответствующие формулы будут даны ниже.

Блочная матрица внутренней жесткости стержневой системы в ис­ ходном деформированном состоянии составляется обычным путем из соответствующих матриц внутренней жесткости отдельных стержней:

G

Gm

Матрица мгновенной внешней жесткости всей стержневой сис­ темы, необходимая для исследования устойчивости ее исходного деформированного состояния, также строится по обычной матрич­ ной формуле:

где A = A( X ) - обычная матрица уравнений равновесия отно­

сительно приращений усилий в исходном состоянии.

Уравнения равновесия в исходном состоянии составляются с учетом деформированной геометрии, если влияние статических пе­ ремещений значительно, но с прямолинейными стержнями. Внеш­ ние узловые силы исходного состояния и вызванные ими начальные внутренние продольные силы в уравнения равновесия не включа­ ются. В уравнения равновесия входят только соответствующие

приращения усилий AN ,M n,M k , Q . При этом усилия поперечного

сдвига из уравнений равновесия не исключаются. Начальные про­ дольные силы исходного деформированного состояния в уравнения

722

ного (бесконечно малого) удлинения сжатого стержня AL = 1. Уд­ линение прямолинейного сжатого стержня не вызывает его изгиба. Поэтому побочные элементы первого столбца (и первой строки) матрицы (25.11) равны нулю.

Первый элемент главной диагонали матрицы внутренней жест­ кости (25.11) при соблюдении гипотезы о малости деформаций оп­ ределяется обычным путем по закону Гука как приращение про­ дольных реакций сжатого стержня от единичного удлинения:

(25.12)

Второй столбец матрицы внутренней жесткости рассматривае­ мого сжатого стержня составляют приращения реакций, вызванные поворотом узла в начале стержня по часовой стрелке на единичный

угол Pn = 1

Третий столбец составляют приращения реакций, вызванные по­ воротом узла на конце стержня против часовой стрелки на единич­

ный угол Pk = 1 .

Четвертый столбец - это приращения реакций от взаимного единич­ ного поперечного сдвига концевыхузлов стержня Au = 1 (рис. 25.6).

Все реакции определяются с помощью общего решения диффе­ ренциального уравнения изгиба сжатого стержня при соответст­ вующих граничных условиях (табл. 25.1).

В соответствии с таблицей реакций сжато-изогнутых стержней (табл. 25.1) и принятым правилом знаков (рис. 25.5) при единичных деформациях (рис. 25.6) и получены формулы для вычисления элементов матрицы внутренней жесткости в прямолинейном сжатом стержне с двумя жесткими узлами по концам. В этих формулах исполь­

724

где под N подразумевается отрицательное, сжимающее усилие исходного состояния.

В общем виде матрица внутренней жесткости сжатого стержня с двумя жесткими узлами по концам имеет вид:

Формула (25.8) для сжатого стержня с шарнирным узлом в начале (отсутствует реактивный момент M n и исключен угол поворота рп) и жестким узлом на конце в развернутом виде примет вид:

Матрица внутренней жесткости для сжатого стержня с жестким уз­ лом в начале стержня и шарнирным узлом на конце (отсутствует реак­ тивный момент M k и исключен угол поворота Pk ) будет отли­

чаться знаками побочных элементов от соответствующей матрицы в формуле (25.15). Формула (25.8) для такого стержня примет вид:

725

L

В последних двух матричных формулах применены еще две спе­

циальные безразмерные трансцендентные функции Vi(v), n (v ) безразмерного аргумента-параметра v (25.13).

При нулевом значении безразмерного параметра v все специ­ альные функции принимают единичные значения (обращаем вни­ мание на раскрытие неопределенности вида 0 /0 при v ^ 0), а соответствующие матричные формулы расчета по деформирован­ ному состоянию становятся эквивалентными формулам классиче­ ского расчета по недеформированному состоянию.

Матрицы внутренней жесткости, входящие в формулы (25.15) и (25.16), можно получить из общей матрицы (25.14) путем исклю­ чения из нее по алгоритму Гаусса-Жордано соответственно второй или третьей строки (и столбца). Более точно, путем исключения со­ ответствующего угла поворота из формулы (25.8), как неизвестного из системы линейных алгебраических уравнений.

Для сжатого стержня с шарнирными узлами по обоим концам матрица внутренней жесткости может быть получена путем исклю­ чения соответствующего угла поворота из зависимостей (25.15) или (25.16), либо обоих углов из зависимости (25.8) с матрицей (25.14).

L

В матрицу внутренней жесткости в (25.17) значение продольной силы N должно быть подставлено со своим знаком. Для растяну-

726

того стержня со знаком «плюс». Для сжатого стержня со знаком «минус». Для сжатого стержня можно также воспользоваться выте­ кающей из (25.13) общепринятой подстановкой:

Формула (25.17) подтверждает важное следствие, которое неод­ нократно отмечалось ранее. Растянутый шарнирно закрепленный стержень сопротивляется поперечному воздействию: реакция сме­ щаемой опоры направлена в сторону смещения. Смещенный растя­ нутый стержень стремится вернуться в исходное состояние. Сжатый шарнирно закрепленный стержень является “толкающим” стержнем: реакция смещаемой опоры направлена навстречу смещению. Сме­ щенный сжатый стержень приходится удерживать от дальнейшего смещения. При нулевой продольной силе шарнирно закрепленный стержень остается нейтральным к поперечному сдвигу, никак на не­ го не реагирует. Именно поэтому и удалось исключить деформации поперечного сдвига из матричных уравнений статического расчета по недеформированному состоянию.

П р и м ер 25.2. Проверить устойчивость равновесия симметрич­ ной статически неопределимой рамы (рис. 25.7) и найти критиче-

T^cr

ское значение параметра нагрузки F .

Номинальное значение параметра нагрузки примем равным F = 750 кН. Будем считать, что жесткостные параметры стержней рамы равны:

EA1 = EA4 = 9 -106 кН; E J1 = E J4 = 3 -105 кНм2;

EA2 = EA3 = 12 • 106 кН;E J2 = EJ3 = 6 • 105 кНм2.

727

2F

зу

Рис. 25.7

Расчет рамы выполним на компьютере с учетом продольных де­ формаций ее стержней, используя общие уравнения строительной механики. Три узла рамы обладают 9-ю степенями свободы: 3 угла поворота и 6 линейных смещений. Следовательно, степень кинема­ тической неопределимости рамы равна 9. Количество неизвестных независимых усилий в четырех стержнях рамы в сумме равно 16. Таким образом, размерность предстоящих решению задач для со­ временных компьютеров является не очень большой.

Однако упругая симметрия рамы и симметрия заданной нагрузки по­ зволяют еще более снизить порядок подлежащих решению алгебраиче­ ских задач. Для этого достаточно рассмотреть половину рамы, исследуя по отдельности ее симметричные и кососимметричные деформации. Отметим сразу, что подобное разложение не является обязательным. Современные компьютеры свободно оперируют матрицами, порядок которых составляет десятки и сотни тысяч. Здесь это сделано, вопервых, с целью иллюстрации и, во-вторых, чтобы обрабатываемые матрицы уместились на страницах данного издания

При симметричных деформациях узел 3 рамы может переме­ щаться только по вертикали, не поворачиваясь. Соответствующая

728

дискретная расчетная схема рамы, предназначенная для исследова­ ния симметричных деформаций рамы, показана на рис. 25.8.

При кососимметричных деформациях рамы ее центральный узел 3 не будет смещаться по вертикали, и в этом узле будут рав­ ны нулю изгибающий момент и горизонтальная составляющая внутренней силы. Следовательно, узел 3 можно представить шарнирным в виде шарнирно-подвижной опоры. Однако, чтобы векторы внутренних сил и деформаций, а также матрицы внут­ ренней жесткости в стержнях полурам были одинаковыми для симметричных и кососимметричных деформаций, будем рас­ сматривать и при кососимметричных деформациях узел 3 как же­ сткий узел, но на шарнирно-подвижной опоре (рис. 25.9).

Рассмотрим симметричные деформации исходной рамы. Снача­ ла выполним статический расчет, чтобы определить внутренние силы от заданной номинальной нагрузки.

Вектор возможных упругих перемещений двух узлов 2 и 3 полурамы (рис. 25.8) имеет четыре компоненты: горизонтальное пере­ мещение, вертикальное перемещение и угол поворота узла 2 и

729

единственное вертикальное перемещение узла 3 (рассматриваем ненулевые перемещения):

V T - [ u 2 v2 (fr v3] •

Соответствующий вектор нагрузок для статического расчета полурамы примет вид:

F - [ 0 - 750 0 - 7 5 0 f .

Вектор неизвестных независимых усилий в двух стержнях полурамы будет состоять из восьми компонент:

Вырежем узлы 2 и 3 (рис. 25.10) и составим четыре уравнения равновесия:

I X 2 - 0 ;

ZY - 0;

ZM 2 - 0 ;

ZY - 0.

Для наклонного стержня имеем: sin а - 0,6; cos а - 0,8. Уравнения равновесия запишем в виде:

A S - F .

730