Строительная механика

что возможно, если матрица мгновенной жесткости вырождена, и её определитель равен нулю:

Det[R(v)]= 0.

Полученное уравнение критического равновесия является нели­ нейным (для изгибаемых стержневых систем - трансцендентным) относительно одного из параметров v , принимаемого за основное неизвестное, через которое выражаются все остальные параметры в соответствии с формулами (25.1). С точки зрения устойчивости со­ оружений, интерес представляет только наименьший из положи­ тельных корней уравнения критического равновесия, соответст­ вующий наименьшей критической нагрузке.

Устойчивым состояниям равновесия отвечают нулевые решения однородных канонических уравнений метода перемещений. Одна­ ко, критерием глобальной устойчивости сооружения является по­ ложительная определенность матрицы мгновенной жесткости де­ формированной системы, т.е. матрицы единичных реакций:

R (v )> 0 .

Для заключения о глобальной устойчивости сооружения при данном уровне нагрузок (при известных значениях параметров N и v ) доста­ точно составить матрицу мгновенной жесткости и провести анализ ее знаковой определенности: привести к верхнему треугольному виду или разложить на треугольные множители и исследовать знаки диагональ­ ных элементов. Методы исследования устойчивости сооружений без решения уравнения критического равновесия получили название качест­ венных. Качественные методы позволяют найти и критические состоя­ ния на основе метода дихотомии спектра критических параметров, что особенно актуально для многоэлементных деформируемых систем.

Однако критерии глобальной устойчивости сооружения не яв­ ляются достаточными. Даже при полностью неподвижных узлах сооружения должна быть обеспечена локальная устойчивость всех его элементов, то есть должны быть устойчивы все сжатые элемен­ ты основной системы метода перемещений.

711

Практическая реализация проверки устойчивости сооружения в деформированном состоянии при заданной нагрузке (и/или других воздействиях) может быть выполнена по следующему алгоритму.

1.При заданном уровне нагрузки и других воздействий необходи­ мо вычислить внутренние силы в элементах сооружения. Для боль­ шинства реальных сооружений это можно выполнить путем класси­ ческого расчета по недеформированному состоянию.

2.Проверить по формулам Эйлера местную устойчивость всех элементов дискретной модели при неподвижных узлах, то есть ус­ тойчивость основной системы метода перемещений (ОСМП).

3.Если устойчивость ОСМП обеспечена, то необходимо составить матрицу мгновенной жесткости всего сооружения в деформированном состоянии с учетом найденных внутренних сил. Все главные диаго­ нальные элементы (главные единичные реакции) матрицы мгновен­ ной жесткости в деформированном состоянии должны быть положи­ тельны. Наличие отрицательных или нулевых элементов на главной диагонали свидетельствует о местной неустойчивости соответст­ вующих фрагментов деформируемой системы в исследуемом со­ стоянии равновесия.

4.Если главные диагональные элементы матрицы мгновенной жесткости сооружения в деформированном состоянии положитель­ ны, то выполняется разложение матрицы мгновенной жесткости на множители методом квадратных корней или по методу Гаусса (про­ водится прямой ход).

5.Для заключения об общей устойчивости сооружения исследу­ ются знаки элементов, расположенных на главных диагоналях со­ множителей матрицы мгновенной жесткости. Если все диагональные элементы положительны, и среди них нет близких к нулю, то при заданной нагрузке равновесие сооружения устойчиво. Если среди диагональных элементов есть близкие к нулю, то данный уровень нагрузки и воздействий близок к критическому. Если разложение матрицы прервано из-за появления нулевого ведущего элемента, то равновесие является критическим. Если среди диагональных эле­ ментов есть хотя бы один отрицательный, то равновесие при дан­ ном уровне внешних воздействий неустойчиво.

Пр и м ер 25.1. Найти критическое значение равномерно рас­ пределенной нагрузки, действующей на двухпролетную одноярус­ ную раму (рис. 25.1).

712

В основной системе метода перемещений (на жесткий узел на­ ложена моментная связь) сжатые стойки могут потерять устойчи­ вость по Эйлеру при критических продольных силах

откуда следуют соответствующие Эйлеровы критические значения распределенной нагрузки, отвечающие критическим состояниям сжатых стержней основной системы метода перемещений:

При снятой дополнительной связи с ростом распределенной на­ грузки левая сжатая стойка и правая Т-образная часть рамы будут де­ формироваться независимо друг от друга. Левая сжатая стойка будет терять устойчивость по Эйлеру как стержень на несмещаемых опорах.

Соответствующая критическая нагрузка q1 уже найдена.

Найдем критическое значение нагрузки из условия потери гло­ бальной устойчивости правой, Т-образной частью рамы. Повернем в основной системе метода перемещений дополнительную заделку на единичный угол и построим «единичную» эпюру изгибающих моментов (рис. 25.3).

Рис. 25.3

714

Вырежем узел, найдем реактивный момент и приравняем его нулю:

r11 = 3i3 + 3i4 + 4i2p2(v2) = 24 + 16^2(v2) = 0 .

Из полученного уравнения критического состояния найдем:

p2(v2) = -2 4 /1 6 = -1,5.

По найденному значению специальной функции Р2(^2) с помо­

щью табл. 25.2 определим критическое значение параметра V2 = 5,52

(округление произведено в меньшую сторону, в запас устойчивости). Соответствующее критическое значение продольной сжимающей силы в правой стойке равно:

Ncr = v2 2EJ

N = ~ '

откуда следует критическое значение распределенной нагрузки, от­ вечающей критическому равновесию Т-образной части рамы:

Наименьшее критическое значение распределенной нагрузки равно:

cr Э Э cr cr 48,75EJ

qmm = min(q1;q2 ; q2 ) = q2 = ~ Y h ^ -

Таким образом, с ростом равномерно распределенной нагрузки первой потеряет устойчивость Т-образная часть рамы. Выпучива­ ние сжатой стойки будет сопровождаться поворотом жесткого узла и деформациями ригеля. Форма потери устойчивости будет тожде­ ственна эпюре деформаций от единичного поворота дополнитель­ ной связи (рис. 25.3).

715

25.2. Особенности дискретизации деформируемых систем при автоматизированном расчете на устойчивость методом перемещений

Расчет на устойчивость сложных систем с числом возможных упругих смещений узлов, большим двух - трех, целесообразно вес­ ти без раскрытия определителя в уравнении критического равнове­ сия, рассматривая его как неявно заданное трансцендентное урав­ нение относительно параметра нагрузки:

Det[R(v)] = 0 , или символически ^ (v ) = 0.

Для решения таких уравнений общего вида применяют численные методы, требующие только вычисления их левых частей, в данном случае вычисления значения определителя.

Кроме того, проверка устойчивости сооружения в конкретном деформированном состоянии равновесия может быть осуществлена качественным методом без вычисления определителя матрицы мгновенной жесткости. При этом основные вычислительные затра­ ты будут обусловлены только формированием матрицы мгновенной жесткости и приведением ее к треугольному виду (разложением на треугольные множители).

Разумеется, весь расчет следует вести на основе компьютерных технологий, применяя дискретные расчетные схемы, численные ме­ тоды и соответствующее программное обеспечение.

Рассмотрим методику расчета стержневых систем на устойчи­ вость, основанную на общих уравнениях строительной механики. При составлении уравнений равновесия дополнительные узловые нагрузки при исследовании устойчивости равновесия не приклады­ ваются, а только подразумеваются. Но рассматриваются все воз­ можные перемещения узлов, по направлению которых дополни­ тельные нагрузки могли бы быть приложены. Напомним, что жест­ кие узлы плоской стержневой системы (рамы) имеют по три воз­ можных перемещения: два линейных и одно угловое. Шарнирные узлы плоской стержневой системы или фермы имеют только по два линейных перемещения. Комбинированные узлы, где часть стерж­ ней стыкуется жестко, а часть примыкает шарнирно, относят к же­ стким узлам и наделяют тремя степенями свободы. Количество

716

возможных перемещений n всех узлов деформируемой системы определяет ее степень свободы и порядок системы уравнений рав­ новесия, которая составляется точно так же, как и при статическом расчете.

Итак, дополнительные воздействия будут характеризоваться ну­

левым вектором сил AF = 0. Возможные перемещения узлов де­

формируемой системы составят вектор узловых перемещений Z . Порядок этих векторов равен степени свободы системы n .

Если в результате исследования будет доказано, что матрица мгновенной жесткости системы в деформированном состоянии по­ ложительно определена, то исследуемое деформированное состоя­ ние равновесия устойчиво.

Правило знаков для узловых перемещений и внутренних сил может быть принято таким же, как и при статическом расчете, т. е. обычным для сопротивления материалов и строительной механики. Растягивающие продольные силы считаются положительными. Положительная поперечная сила направлена вправо, если смотреть на нее с середины той части стержня, к которой эта поперечная сила приложена. Положительные изгибающие моменты растягивают нижние волокна горизонтального стержня. Для наклонных и верти­ кальных стержней правило знаков сохраняется, но для определен­ ности следует выбрать направление наблюдения так, чтобы начало стержня (узел в начале стержня) было расположено слева от на­ блюдателя, а конец стержня (узел на конце стержня) - справа от наблюдателя. Во избежание путаницы, точку наблюдения рекомен­ дуется выбирать так, чтобы левый узел стержня имел меньший но­ мер по сравнению с правым.

Главное отличие расчета стержневых систем на устойчивость с применением общих уравнений строительной механики состоит в назначении независимых компонент вектора приращений стержне­

вых внутренних сил ASj и соответствующего вектора приращений

деформаций Л j .

Рассмотрим центрально растянутый силой N (сжатый при N < 0 ) уравновешенный прямолинейный стержень длиной L (рис. 25.4,а).

717

а)

Рис. 25.4

Предположим, что под действием дополнительных достаточно малых сил и моментов Д N , Q, M n, M % стержень изогнулся и пе­ решел в новое положение равновесия (рис. 25.4,б), где ДЬ, Дм, pn, Pk - также достаточно малые абсолютные деформации

удлинения и сдвига (перекоса) стержня и углы поворота его концов. Два уравнения равновесия в виде сумм проекций на оси координат, очевидно, удовлетворяются. Составим третье уравнение равновесия в виде суммы моментов относительно нижнего конца стержня в де­ формированном состоянии (рис. 25.4,б):

Пренебрегая в уравнении (25.3) произведениями QAL и AN^Дм как величинами второго порядка малости, разрешим его относи­ тельно сдвигающего усилия Q :

718

Как следует из (25.4), сдвигающее усилие Q выражается уже не только через концевые сосредоточенные моменты M n и M k . Оно за­

висит от продольной силы и от перемещений, в частности, от степени перекоса стержня при его переходе в деформированное состояние. То есть от тангенса угла между первоначальной осью стержня и его хордой в деформированном состоянии:

L L

Таким образом, в уравнения равновесия вошли неизвестные пе­ ремещения концов стержня. Продольная сила N исходного со­ стояния, отнесенная к длине стержня, выступает в роли коэффици­ ента при неизвестном перекосе стержня, другими словами, при раз­ ности поперечных перемещений концов стержня. Полные углы по­ ворота pn и р % концов стержня и концевые моменты M n и M k

также зависят от перекоса стержня и, следовательно, от продольной силы исходного состояния. Справедливо и обратное утверждение. Если на концы прямолинейного растянутого (сжатого) стержня на­ ложить связи и придать им малые конечные перемещения, так что­ бы он получил деформации p n, р %, Дм , то возникшие в наложен­

ных связях реактивные моменты M n и M k и реактивная попереч­ ная сила Q будут зависеть как от полученных деформаций, так и от начального продольного усилия N .

Итак, на основании зависимости (25.4) для изгибаемого растяну­ того стержня с двумя жесткими узлами (рис. 25.5) из шести дейст­ вующих по его концам приращений усилий (приращений реакций) в качестве независимых следует оставить четыре. Следовательно, вектор независимых приращений усилий примет вид:

(25.5)

где Q - это не поперечная сила, а искомое приращение усилия сдвига, нормальное к оси стержня в исходном состоянии.

719

Рис. 25.5

Вектор приращений деформаций Л j , соответствующий вектору

приращений усилий A S j , примет вид (рис. 25.6):

В дальнейшем приращения усилий и приращения деформаций, если это не исказит смысла, будем называть просто усилиями и де­ формациями.

Если стержень рамы одним концом крепится к узлу шарнирно, то в шарнире изгибающий момент равен нулю, и в векторе усилий (25.5) соответствующий изгибающий момент должен быть вычеркнут. Следовательно, и в векторе деформаций (25.6) должен быть вы­ черкнут соответствующий угол поворота.

720