Строительная механика

стремиться перейти в некоторое новое состояние равновесия. Ис­ ходное деформированное состояние системы является неустойчи­ вым. Равновесие в нем возможно только теоретически. При малей­ шем отклонении от этого состояния равновесия система приходит в движение и будет только удаляться. Возврат в исходное состояние равновесия невозможен.

23.5. Критерии устойчивости равновесия

Таким образом, как следует из вышеизложенного, физическим критерием устойчивого равновесия в деформированном состоянии является способность сооружения совершать малые затухающие или незатухающие свободные колебания относительно этого поло­ жения равновесия. Аналитическим критерием будет отсутствие ну­ левых и отрицательных корней в характеристическом уравнении (23.13). Это равносильно требованию о положительной определен­ ности матрицы мгновенной жесткости, входящей в линеаризован­ ные уравнения статического деформирования (23.7), (23.9) и в ли­ неаризованные дифференциальные уравнения движения (23.12). Положительная определенность симметричной матрицы означает положительность не только её определителя, но и положительность всех главных миноров и, следовательно, всех собственных значе­ ний. С этой точки зрения, и статический метод исследования устой­ чивости сооружений, и динамический полностью эквивалентны. Более того, положительная определенность матрицы мгновенной жесткости является критерием устойчивого равновесия как консер­ вативных, так и неконсервативных деформируемых систем.

Рассмотренные выше линеаризованные уравнения статического деформирования и линеаризованные дифференциальные уравнения движения в общей теории устойчивости, связанной с именем вы­ дающегося ученого А.М. Ляпунова, называются уравнениями в приращениях. Именно на исследовании линейных уравнений дви­ жения в приращениях и основывается исследование устойчивости сооружений, по терминологии А.М. Ляпунова, в первом прибли­ жении, устойчивости сооружений «в малом».

691

23.6. Энергетический метод исследования устойчивости

Требование о положительной определенности матриц мгновен­ ной жесткости сооружений в устойчивых состояниях равновесия вытекает и из энергетических принципов общей механики. Как из­ вестно, в устойчивых состояниях равновесия полная энергия де­ формируемой системы минимальна. Минимум полной энергии де­ формируемой системы является энергетическим критерием устой­ чивости равновесия.

По отношению к исследуемому деформированному состоянию равновесия изменение (приращение) полной энергии системы мож­ но выразить через матрицу мгновенной жесткости и вариации пе­ ремещений (возможные перемещения, отсчитываемые от деформи­ рованного состояния равновесия). Так как приращение нагрузки при исследовании устойчивости равновесия полагается равным ну­ лю, то изменение потенциала дополнительных внешних сил равно нулю. Суммарная работа уже приложенных нагрузок и вызванных ими внутренних сил в исследуемом деформированном состоянии равновесия на вариациях перемещений как на возможных переме­ щениях также равна нулю (в исходном состоянии система уравно­ вешена). В результате приращение полной энергии системы в деформированном состоянии при вариациях перемещений равно (с обратным знаком) действительной работе только приращений внутренних сил. Если последние выразить через перемещения, то выражение для вычисления приращения полной энергии примет вид:

Условие стационарности приращения полной потенциальной энергии приводит к системе уже знакомых однородных алгебраиче­ ских уравнений:

(23.18)

Чтобы равновесие упругой системы в деформированном состоя­ нии было устойчивым, необходимо, чтобы матрица вторых частных

692

производных (матрица Гессе) полной потенциальной энергии как функции многих переменных (23.17), или, что то же самое, чтобы мат­ рица первых частных производных (матрица Якоби) системы алгеб­ раических уравнений (23.18) была положительно определенной:

Напомним, что положительная определенность симметричной матрицы означает не только положительность её определителя, но и положительность всех главных миноров и, следовательно, положи­ тельность всех ее собственных значений.

При выполнении условия (23.19) полная потенциальная энергия упругой системы минимальна. Система однородных уравнений (23.18) имеет единственное нулевое решение Z = 0 . Система обладает отпорностью (способностью сопротивляться) на любое дополнитель­ ное воздействие, и в ней возможны свободные колебания. Следова­ тельно, равновесие деформируемой системы устойчиво.

23.7. Качественный метод исследования устойчивости

Метод исследования устойчивости равновесия сооружений в де­ формированном состоянии, сводящийся к исследованию знаковой определенности матрицы мгновенной жесткости, называют качест­ венным методом. Качественный метод позволяет получить прямой ответ на вопрос: "Устойчиво или неустойчиво сооружение при дан­ ном характере и уровне нагрузки? Да? Или нет?".

Критическая нагрузка является количественной характеристикой устойчивости сооружения. При этом под критической нагрузкой сле­ дует понимать, в запас устойчивости, наибольшее значение некоторо­ го параметра, характеризующего данный вид нагрузки с количествен­ ной стороны, при котором сооружение еще устойчиво. Определять критическое значение параметра нагрузки приходится методом после­ довательных приближений, методом проб и ошибок.

Рассмотренные выше критерии устойчивости сооружений в дефор­ мированном состоянии относятся к понятию общей, глобальной устой­ чивости некоторой дискретной модели исследуемого сооружения. В соответствии с введенной ранее методикой дискретизации расчет­ ных схем сооружений с целью их компьютерного исследования

693

дискретная расчетная модель реального сооружения состоит из от­ дельных элементов, стержней, соединенных между собой в узлах, жестко или шарнирно. Положительная определенность матрицы мгновенной жесткости дискретной модели сооружения в деформиро­ ванном состоянии гарантирует равенство нулю дополнительных ста­ тических узловых перемещений при отсутствии дополнительных статических узловых нагрузок или иных дополнительных статиче­ ских воздействий. Одновременно гарантируется способность дис­ кретной модели сооружения совершать свободные колебания отно­ сительно деформированного состояния равновесия.

Однако любая дискретная модель деформируемого сооружения состоит из континуальных элементов, стержней, каждый из которых имеет бесконечное множество критических состояний и может быть причиной локальной, местной неустойчивости даже при неподвиж­ ных, несмещаемых узлах всей дискретной модели. Сильно утриро­ ванным примером может служить гибкий деревянный брусок, под­ пирающий железобетонное перекрытие: брусок выпучился, потерял устойчивость, а железобетонная конструкция может совершать сво­ бодные колебания, её равновесие устойчиво.

В реальных строительных сооружениях должна быть обеспечена как общая, глобальная устойчивость всего сооружения, так и мест­ ная, локальная устойчивость каждого элемента. Поэтому исследова­ ние глобальной устойчивости сооружения следует проводить только после обеспечения локальной устойчивости всех элементов.

Проверка местной устойчивости отдельных элементов прово­ дится при полностью закрепленных узлах дискретной модели, т.е. в основной системе метода перемещений, и выполняется известными методами по формулам Эйлера, вытекающим из исследования не­ нулевых решений дифференциального уравнения продольного из­ гиба (эти вопросы будут рассмотрены ниже).

Итак, для завершения изложения теории расчета сооружений на ус­ тойчивость остается только рассмотреть, во-первых, методы исследо­ вания устойчивости отдельных стержней, составляющих основную систему метода перемещений, или дискретную расчетную схему ис­ следуемого сооружения; во-вторых - методы формирования матриц мгновенной жесткости сооружений в деформированных состояниях равновесия; и, в-третьих - методы исследования знаковой определен­ ности матриц.

694

ГЛ А В А 24

УСТО Й ЧИ В О СТЬ П РЯМ Ы Х СЖ АТЫ Х С ТЕРЖ Н ЕЙ

НА Н ЕДЕФ О РМ ИРУ ЕМ Ы Х ОПОРАХ

24.1. Дифференциальное уравнение изгиба сжатого стержня

Рассмотрим центрально сжатый стержень постоянного попереч­ ного сечения, находящийся в прямолинейном исходном деформи­ рованном состоянии равновесия (рис. 24.1). Потеря устойчивости сжатого прямолинейного стержня будет сопровождаться его изги­ бом. Составим уравнение статического деформирования сжатого прямолинейного стержня при его переходе в отклоненное деформи­ рованное состояние. Переход обусловлен малыми вертикальными перемещениями и(х) за счет изгибных деформаций. Горизонталь­ ные перемещения за счет искривления стержня будут величинами более высокого порядка малости, и их не учитываем.

Рис. 24.1

Для определения упругой линии искривленного стержня вос­ пользуемся дифференциальным уравнением изгиба балки:

2

где M (х) - изгибающие моменты в сечениях изогнутого стержня.

Значение изгибающего момента в сечении с абсциссой х можно вычислить по простой формуле (см. рис. 24.1):

695

24.2. Учет опорных закреплений сжатых стержней

Постоянные интегрирования, входящие в общее решение (24.5) определяют в зависимости от условий опирания сжатых стержней.

Рассмотрим процедуру определения постоянных интегрирования на примере центрально сжатого стержня с жесткой заделкой на од­ ном конце и шарнирно-подвижной опорой на другом (рис. 24.2).

L

Рис. 24.2

Обратим внимание на то, что и заделка и опорный стержень яв­ ляются абсолютно жесткими, недеформируемыми. Граничные ус­ ловия в заделке обусловливают равенство нулю перемещения и уг­ ла поворота опорного сечения. На противоположном конце стержня нулевыми являются перемещение опорного сечения поперек оси стержня и изгибающий момент в опорном шарнире, пропорцио­ нальный второй производной от линии прогибов. Следовательно, имеем следующие четыре дополнительные (граничные) условия для определения четырех постоянных интегрирования:

Дифференцируя общее решение (24.5) дважды и подставляя в (24.7), получим следующую систему четырех совместных уравнений отно­ сительно неизвестных постоянных интегрирования:

u (0) = C2 + C4 = 0;

u'(0) = kCi + C3 = 0;

(24 8)

u(L) = C1sin kL + C2 cos kL + C3L + C4 = 0;

u"(L) = - k 2Q sin kL - к 2C2 cos kL = 0.

Искомые постоянные интегрирования не равны нулю, если оп­ ределитель полученной системы уравнений равен нулю:

697

Заменив третью строку полученного определителя суммой третьей и четвертой строк и разложив затем определитель по эле­ ментам четвертой строки, получим уравнение для определения кри­ тического значения произведения kL :

kL cos kL - sin kL = 0.

или:

Трансцендентное уравнение (24.9) имеет бесконечное множество корней. По физическому смыслу решаемой задачи нас интересует наименьший положительный корень kL = 4,493 , которому будет соответствовать на основании (24.6) наименьшая критическая сжи­ мающая продольная сила:

Так как система однородных уравнений (24.8) при выполнении условия (24.9) является вырожденной, то ее ненулевое решение мо­ жет быть получено с точностью до произвольного ненулевого мно­ жителя. Итак, примем C = C . Затем последовательно найдем:

C3 = -kC 1 = -kC; C4 = -C 3L = kLC; C2 = -C 4 = - k L C .

В результате уравнение (24.5), определяющее отклоненную, смежную форму равновесия рассматриваемого сжатого стержня в критическом состоянии (уравнение формы потери устойчивости), примет вид (см. рис. 24.2):

u(х) = C (sin kx - kL cos kx - kx + kL) .

698

Значения критических сжимающих продольных сил и соответст­ вующие формы потери устойчивости прямолинейных стержней по­ стоянного сечения при других условиях опирания на недеформируемые (жесткие) опорные устройства приведены в табл. 24.1.

Итак, при значениях продольной сжимающей силы, меньших

критического значения N < N cr , прямолинейная форма равнове-

699

сия центрально сжатого стержня является устойчивой. При значе­ ниях продольной сжимающей силы, равных или больших критиче­ ского значения

N > N cr,

прямолинейная форма равновесия сжатого стержня становится не­ устойчивой.

П р и м е р 24.1. Найти критическое значение равномерно распре­ деленной нагрузки q , приложенной к ригелю однопролетной одно­

этажной рамы (рис. 24.3). Изгибную жесткость ригеля можно принять бесконечно большой по сравнению с изгибной жесткостью стоек.

Равномерно распределенная по всему пролету нагрузка вызывает в стойках сжимающие усилия:

2

Сжатые стойки жестко защемлены в фундаментах. Их верхние торцы в местах стыка с ригелем могут свободно поворачиваться. Вследствие отсутствия горизонтальных связей в уровне покрытия ригель может сместиться по горизонтали (рис. 24.3). Такие косо­ симметричные деформации в симметричной системе не вызовут в ригеле продольных усилий. Следовательно, при кососимметричных

700