Строительная механика

(23.3) или (23.4) являются нелинейными. Нелинейность уравнений статического деформирования связана с заметным изменением геометрии сооружения за счет учета ненулевых перемещений узлов

Z и выражается произведением ZAS . Такую нелинейность приня­ то называть геометрической нелинейностью. Деформируемую сис­ тему, работа которой описывается нелинейными уравнениями де­ формирования, также называют геометрически нелинейной.

Разумеется, для определения неизвестных перемещений и неиз­ вестных приращений усилий только одних уравнений статического деформирования (23.4) недостаточно. Геометрически нелинейная задача расчета сооружений является заведомо статически неопреде­ лимой. Необходимо уравнения статического деформирования (23.4) рассматривать совместно с геометрическими и физическими урав­ нениями. При точной постановке задачи они также будут нелиней­ ными. Причем дополнительную нелинейность, которая может поя­ виться из-за нелинейных физических уравнений, называют физиче­ ской нелинейностью.

Вектор приращений внутренних сил AS в матричных уравнени­ ях (23.3) или (23.4) обычно удается с той или иной степенью точно­ сти выразить с помощью геометрических и физических уравнений

через вектор перемещений Z . В результате получается система не­ линейных уравнений равновесия (статического деформирования) только в приращениях координат, то есть в перемещениях:

где неизвестным будет уже только вектор перемещений Z .

Коэффициенты при неизвестных перемещениях в нелинейных уравнениях (23.5) будут зависеть не только от физических (жесткостных) характеристик элементов сооружения и его геометрии (век­

тор X ), но и от усилий исходного состояния (вектор S ).

Точные нелинейные уравнения статического деформирования (23.5) справедливы при произвольных воздействиях и дают воз­ можность исследовать деформирование сооружения как «в малом», так и «в большом». К сожалению, точные нелинейные уравнения

681

статического деформирования вида (23.5) возможно построить только для шарнирно-стержневых расчетных схем с идеальными без трения шарнирами. Вывод нелинейных уравнений статического деформирования для изгибаемых стержневых и, тем более, для тон­ костенных пространственных систем требует введения некоторых дополнительных упрощающих гипотез и предпосылок.

При классическом же расчете сооружений по недеформированному состоянию обычно предполагают, что перемещения, вызван­ ные переходом деформируемой системы из исходного состояния равновесия в новое деформированное состояние равновесия, очень малы по сравнению с габаритами сооружения, и при составлении уравнений равновесия принимают их равными нулю. При этом гео­ метрия нового деформированного состояния не отличается от гео­ метрии исходного состояния равновесия, и уравнения равновесия в приращениях (23.3) при Z = 0 оказываются полностью идентичными исходным уравнениям равновесия (23.1):

Уравнения равновесия (23.6) описывают не столько переход в новое состояние равновесия, сколько возможность равновесия сис­ темы при новых нагрузках с новыми усилиями в исходном недеформированном состоянии с неизмененной расчетной схемой. Та­ ким образом, эти уравнения отвечают классическому линейному расчету по недеформированному состоянию, когда не делается раз­ личий между геометрией системы в нагруженном и ненагруженном состояниях. Деформируемую систему, расчет которой ведется в классической линейной постановке по недеформированной расчет­ ной схеме, и сам расчет называют геометрически линейными.

Однако можно допустить, что перемещения деформируемой системы при малом изменении нагрузки также являются достаточно малыми, но ненулевыми. Тогда, разложив вектор-функцию

Ф(X , S , Z ) в нелинейных уравнениях (23.5) в степенной ряд отно­

сительно малых перемещений Z и отбросив все нелинейные члены как величины высших порядков малости, можно получить уже ли­ неаризованные уравнения статического деформирования относи­

682

тельно неизвестных перемещений, малых (строго говоря, бесконеч­ но малых), но ненулевых:

где квадратная матрица R( X , S ), в математическом смысле, яв­ ляется матрицей первых частных производных (матрицей Якоби) нелинейной вектор-функции Ф(X , S , Z ) .

Полученные уравнения (23.7) представляют собой канонические уравнения метода перемещений и учитывают деформированную

схему сооружения. Их матрица коэффициентов R ( X , S ), по физи­ ческому смыслу, является матрицей внешней жесткости системы в деформированном состоянии. Ее основное отличие от классической матрицы внешней жесткости состоит в том, что ее элементы (еди­ ничные реакции) зависят не только от материала и размеров со­

ставляющих сооружение элементов, но и от усилий в них, то есть от усилий исходного деформированного состояния равновесия.

Так как за исходное, начальное состояние равновесия может быть принято любое мгновенное состояние равновесия деформи­ руемой системы при ее медленном, статическом деформировании, вызванном медленным, статическим изменением внешних воздейст­ вий, то матрицу внешней жесткости деформируемой системы в та­ ком состоянии равновесия следует рассматривать как матрицу мгновенной жесткости сооружения в этом мгновенном состояния равновесия. Матрица мгновенной жесткости сооружения характери­ зует способность сооружения в нагруженном состоянии сопротив­ ляться действию дополнительных малых (теоретически бесконечно малых) нагрузок и воздействий.

Если в исходном состоянии деформируемая система будет нена­

пряжена (S = 0), то линеаризованные уравнения статического де­ формирования (23.7) превращаются в обыкновенные линейные ка­ нонические уравнения метода перемещений, применяемые при рас­ чете сооружений по недеформированному состоянию:

683

где

Rf - вектор реакций от внешних воздействий в дополни­ тельных связях основной системы метода перемещений.

Таким образом, расчет сооружений на переход в новое деформи­ рованное состояние может быть осуществлен как в нелинейной по­ становке (23.2)-(23.5), так и в линейной (23.6)-(23.8). С другой сто­ роны, геометрически линейный расчет сооружений может быть вы­ полнен как по недеформированному состоянию (23.6) и (23.8), так и по деформированному состоянию (23.7).

Линейные уравнения (23.7), в отличие от линейных уравнений (23.8), следует называть линеаризованными уравнениями расчета по деформированному состоянию, чтобы подчеркнуть, что они полу­ чены линеаризацией точных, нелинейных уравнений (23.5) расчета по деформированному состоянию.

Линеаризованные уравнения статического деформирования (23.7) характеризуют деформируемую систему, уже находящуюся в деформи­ рованном, напряженном состоянии равновесия, и составлены, подчерк­ нем это, в форме канонических уравнений метода перемещений.

Необходимо отметить, что нелинейные уравнения равновесия в приращениях (23.3) совместно с соответствующими нелинейными уравнениями совместности деформаций (геометрическими и физиче­ скими) формально можно было бы разрешить относительно вектора приращений усилий AS , то есть представить решение в форме метода сил. Однако трудности математического характера не позволяют сде­ лать это в достаточно общей и, тем более, простой форме.

В противовес, уравнения статического деформирования в переме­ щениях: нелинейные (23.5) и линеаризованные (23.7), - оказались чрезвычайно удобными для их применения к расчету сооружений по деформированному состоянию. Более того, именно линеаризованные уравнения статического деформирования в форме метода перемещений и положены в основу статического метода исследования устойчивости равновесия в «малом».

Сущность статического метода расчета сооружений на устойчивость заключается в исследовании условий существования ненулевых реше-

684

ний однородных линеаризованных уравнений статического деформи­ рования, то есть условий существования смежных состояний равнове­ сия или условий исчерпания сооружением несущей способности.

23.3. Критическое равновесие

Линеаризованные уравнения статического деформирования (23.7) будут тем точнее, чем меньше дополнительная нагрузка и чем меньше вызванные ею приращения усилий и перемещений. Так, если предположить, что дополнительная нагрузка на сооружение

стремится к нулю и в пределе исчезает ( AF = 0), то линеаризован­ ные уравнения (23.7) становятся однородными:

и абсолютно точно характеризуют исходное деформированное со­ стояние равновесия.

Как известно из линейной алгебры, однородные алгебраические уравнения кроме очевидного нулевого, тривиального решения

Z = 0,

могут иметь и ненулевое решение

Z ф 0,

если определитель системы окажется равным нулю:

Выполнение условия (23.10) означает, что матрица мгновенной жесткости деформируемой системы в исходном состоянии равнове­ сия является вырожденной. В этом случае деформируемая система может иметь ненулевые перемещения при нулевой дополнительной нагрузке, то есть при ее отсутствии.

685

Уровень и характер усилий (как правило, сжимающих) исход­ ного состояния S и уровень вызвавшей их нагрузки F в исход­ ном состоянии, при которых возможно существование ненулевых решений однородных линеаризованных уравнений статического деформирования, называют критическим. Равновесное состояние деформируемой системы при критической нагрузке также назы­ вают критическим.

В критическом состоянии деформированное сооружение может иметь несколько состояний равновесия: заданное, исходное деформи­ рованное состояние равновесия с нулевыми приращениями усилий и перемещений и одно или несколько смежных, отклоненных состояний равновесия с ненулевыми перемещениями и соответственно с ненуле­ выми приращениями усилий. То есть в деформированном сооружении может иметь место так называемое явление ветвления (бифуркации) форм равновесия в деформированном состоянии.

Однако в критическом состоянии может быть и явление совер­ шенно иного характера. Деформируемая система при критической нагрузке теряет способность сопротивляться дальнейшему росту нагрузки. В этом случае система просто не в состоянии уравнове­ сить дополнительную нагрузку, пусть и бесконечно малую, и будет стремиться перейти в новое состояние равновесия. Такое критиче­ ское состояние равновесия называют предельным. Примером может служить прощёлкивание симметричной арки при симметричной нагрузке.

К сожалению, линеаризованные уравнения статического дефор­ мирования (23.7), (23.9) и условие критического равновесия (23.10) не позволяют классифицировать критическое равновесие с качест­ венной стороны. Но только они дают возможность установить на­ личие критического равновесия.

Если в исходном состоянии исследуемая система не имеет на­ чальных усилий ( S = 0), то условие

является критерием геометрической изменяемости исследуемой системы. В этом случае однородная система уравнений (23.8) при отсутствии нагрузки ( AF = 0) допускает ненулевые решения, так

686

как исследуемая геометрически изменяемая система имеет беско­ нечное множество конфигураций. Условие (23.11) может быть так­ же и критерием мгновенной изменяемости или критерием мгновен­ ной жесткости исследуемой системы. С точки зрения устойчивости сооружений, ненапряженные геометрически изменяемые, мгновен­ но изменяемые и мгновенно жесткие конфигурации следует считать критическими.

Статический метод обнаружения критического равновесия в де­ формированном состоянии, основанный на исследовании ненуле­ вых решений линеаризованных уравнений статического деформи­ рования, применяется к исследованию устойчивости сооружений еще со времен Эйлера и часто связывается с его именем. Однако классическая формулировка статического метода (метода Эйлера) была несколько иная и состояла в следующем.

Сооружению, содержащему сжатые элементы, придавалось смежное, отклоненное, деформированное положение. Для откло­ ненного положения составлялись уравнения равновесия, из которых определялись значения полных сжимающих нагрузок, способных уравновесить систему в отклоненном состоянии. Найденные значе­ ния нагрузок и принимались в качестве критических.

Для полного понимания особенностей расчета сооружений на устойчивость путем определения критического состояния и крити­ ческих нагрузок следует принимать во внимание следующее.

При малейшем отклонении сжимающей нагрузки от своего кри­ тического значения в любую сторону (даже в сторону увеличения сжимающих сил) условие критического равновесия (23.10) будет нарушено. Однородные уравнения статического деформирования (23.9) становятся невырожденными. Они будут формально иметь только тривиальное, нулевое решение, и соответствующее состоя­ ние мгновенного равновесия с нулевыми перемещениями для де­ формированной системы будет формально единственным. И это будет справедливо, при каких угодно уровнях нагрузки, пусть даже больших, но только не критических.

Напомним, что критических нагрузок при дискретной расчетной схеме будет конечное множество, а при континуальной расчетной схеме - бесконечное множество. Подчеркнем еще раз, что смежные формы равновесия в исходном состоянии возможны при уровнях нагрузки, строго равных критическим. Ни больше, ни меньше.

687

Такие теоретические выводы противоречат эксперименталь­ ным данным. Реальные сооружения при сжимающих нагрузках не критических, но больших наименьшей критической, теряют устойчивость.

Значит, условие невырожденности матрицы мгновенной жесткости

D et [R (X , S)] ф 0

говорит только об отсутствии критического равновесия, но не несет никакой информации об устойчивости или неустойчивости этого некритического состояния равновесия.

Следовательно, возможности статического метода исследова­ ния устойчивости сооружений, основанного на поиске ненулевых решений уравнений статического деформирования, сильно огра­ ничены. Установить устойчивость или неустойчивость сооруже­ ний при нагрузках, не равных критическим, статическим мето­ дом не удается. Объяснить это возможно только с позиций дина­ мики сооружений. Даже медленный переход деформируемой системы в смежное состояние равновесия при потере устойчиво­ сти есть все-таки движение. Проанализировать действительное поведение деформируемой системы в докритических, критиче­ ских и закритических состояниях равновесия удается только ме­ тодами динамики сооружений.

23.4. Динамический метод исследования устойчивости

Динамический метод исследования устойчивости сооружений заключается в изучении характера движения деформируемой сис­ темы относительно исследуемого деформированного состояния равновесия.

Введя в уравнения статического деформирования силы инерции, по­ лучим дифференциальные уравнения движения деформируемой систе­ мы вблизи исходного деформированного состояния равновесия. Огра­ ничимся на данном этапе однородными линеаризованными уравне­ ниями статического деформирования (23.7), которым будут соот­ ветствовать однородные линеаризованные дифференциальные уравнения движения в прямой форме:

688

Уравнения (23.12) описывают свободные колебания упругой системы относительно деформированного состояния равновесия. Однако истинный характер движения деформируемой системы от­ носительно исходного деформированного состояния равновесия зависит от корней характеристического (частотного) уравнения сис­ темы дифференциальных уравнений движения (23.12). В общем случае, движение может быть поступательным, или колебательным, или апериодическим. В соответствии с разделом 20.2, частотное (вековое) уравнение примет вид:

Так как матрица мгновенной жесткости деформируемой системы

R (X ,S ) и матрица масс M , как правило, симметричны, то корни

характеристического уравнения (23.13), в роли которых выступают

квадраты собственных частот о 2, будут действительными числа­ ми. В зависимости от значений корней характеристического урав­ нения (23.13) решения однородных дифференциальных уравнений движения (23.12), как следует из теории линейных дифференциаль­ ных уравнений, могут иметь вид (в главных координатах):

где п = 4 —о2 ; j - номер собственной частоты;

A, B - собственные векторы;

/ - начальная фаза.

Полученные формулы определяют характер движения деформи­ руемой системы вблизи деформированного состояния равновесия,

689

характеризуемого внутренними силами S , которые вызваны фик­

сированной и неизменной статической нагрузкой F , и позволяют сделать заключение об устойчивости или неустойчивости этого со­ стояния равновесия. Возможны три следующих варианта.

1. Все корни характеристического уравнения (23.13) положитель­ ны. Относительно деформированного состояния равновесия возможны малые свободные гармонические колебания (23.14) с круговыми соб­

ственными частотами о и постоянными амплитудами A . При уче­ те сил сопротивления такие свободные колебания будут затухаю­ щими. Таким образом, любые малые дополнительные воздействия, выведшие деформированную систему из исходного состояния рав­ новесия, после их устранения вызовут только малые свободные ко­ лебания системы около исходного состояния равновесия. С течени­ ем времени свободные колебания затухнут, и система вернется в исходное состояние равновесия.

Следовательно, исходное деформированное состояние равно­ весия является устойчивым, если относительно такого состоя­ ния равновесия деформируемая система допускает малые сво­ бодные колебания.

2.Среди положительных корней характеристического уравне­ ния (23.13) есть один или несколько нулевых. Матрица мгновенной жесткости сооружения в исследуемом состоянии равновесия явля­ ется вырожденной, ее определитель равен нулю. Деформируемая система находится в критическом равновесии. При выводе дефор­ мируемой системы из критического равновесия ее перемещения могут остаться постоянными, равными начальному отклонению. Произойдет бифуркация состояний равновесия. При возмущении с начальной скоростью перемещения системы будут расти по линей­ ному закону (23.15). Система будет удаляться от положения равно­ весия с постоянной скоростью. Следовательно, критическое равно­ весие в деформированном состоянии следует считать неустойчи­ вым: система не вернется в исходное состояние равновесия после устранения малых возмущений, нарушивших это равновесие.

3.Среди корней характеристического уравнения (23.13) есть хо­ тя бы один отрицательный. Перемещения деформируемой системы, выведенной из исходного состояния равновесия, будут расти по экспоненциальному закону (23.16). Деформируемая система будет

690