груз массой несколько тонн, то сделать это будет намного труднее. Слабо натянутая струна музыкального инструмента не звучит, но стоит ее натянуть, как тон ее звучания (частота свободных колеба ний) будет тем выше, чем больше сила натяжения.
И тросы подъемного крана и струны музыкального инструмента находятся в равновесии в деформированном состоянии. Причем их равновесие в деформированном состоянии является устойчивым. По сле устранения дополнительных поперечных воздействий растянутые гибкие элементы вернутся в прямолинейное исходное состояние.
Следовательно, тросы или кинематические шарнирно-стержневые цепи (системы заведомо геометрически изменяемые) после предва рительного натяжения могут прекрасно выполнять функции основ ных несущих элементов, скажем, в висячих и вантовых конструкци ях. Их жесткость как растянутых элементов на дополнительные по перечные воздействия повышается с увеличением растягивающей продольной внутренней силы. Тканевая оболочка, натянутая внут ренним давлением, приобретает достаточную жесткость и способ ность нести, допустим, снеговые нагрузки.
Факт второй. Шест для прыжков легкоатлет может поставить вертикально, удерживая его одной рукой. Может отклонить шест в сторону, вернуть его снова в вертикальное положение. Шест при этих манипуляциях будет оставаться прямолинейным, хотя в нем имеют место сжимающие усилия от собственного веса, а в наклонном положении - и изгибающие моменты и поперечные силы. По завер шению каждой манипуляции шест находится в равновесии в деформи рованном состоянии. Но стоит к верхнему концу шеста приложить дополнительный груз, увеличивающий продольную сжимающую си лу, то удержать шест руками в равновесии в вертикальном положе нии будет не просто. При малейшем отклонении от вертикали шест с грузом будет вырываться из рук. Более того, шест может изо гнуться, и придать ему первоначальное вертикальное и прямоли нейное положение без снятия груза будет невозможно. Деформаци онные свойства шеста, находящегося в прямолинейном деформиро ванном состоянии равновесия, при более-менее значительных сжи мающих внутренних силах существенно меняются. При малых сжи мающих силах равновесие будет устойчивым, при больших сжимаю щих силах равновесие может оказаться неустойчивым. Аналогичным образом ведут себя и сжатые элементы любых сооружений.
Центрально сжатый прямолинейный стержень остается прямо линейным, только пока сжимающая нагрузка не достигла опреде ленного уровня, называемого критическим. Если же сжимающая нагрузка превысит критический уровень, то сжатый стержень толь ко теоретически сможет находиться в прямолинейном состоянии. Практически он обязательно изогнется, выпучится, перейдет в новое, криволинейное состояние равновесия. Теоретическая, прямолинейная форма равновесия в деформированном состоянии окажется неус тойчивой. Под влиянием неизбежных случайных (даже малых) воз мущений произойдет потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия в исходном деформированном состоянии, и стержень примет новую, устойчивую, криволинейную форму равновесия в новом деформированном состоянии.
Следовательно, при некоторых определенных значениях внешних сил упругая деформируемая система может иметь несколько состоя ний равновесия. Причем одни из них будут устойчивы, а другие неус тойчивы. Поведение упругой деформируемой системы в зависимости от уровня нагрузки принято характеризовать диаграммой, называемой диаграммой (кривой) равновесных состояний. Так, на рис. 23.1 схема тически изображен график зависимости поперечного прогиба А пря молинейного центрально сжатого стержня от сжимающей силы F .
Пока |
F = Fi < Fcr график лежит на оси ординат: А = 0 . При |
F = Fcr |
наряду с прямолинейным состоянием равновесия (А = 0) |
возможны смежные отклоненные, изогнутые состояния равновесия (А Ф 0). Произошло разветвление (бифуркация) форм равновесия сжа того стержня в деформированном состоянии. При F = F2 > Fcr прямо
линейная форма равновесия становится неустойчивой, сжатый стержень в результате произвольного случайного бесконечно малого дополни тельного возмущения обязательно выпучится и примет сжато изогнутую форму равновесия (А Ф 0).
Достаточно высокая симметричная портальная рама, подъеми стая арка или свод, загруженные симметричной нагрузкой, при не котором уровне нагрузки могут внезапно принять кососимметрич ную форму деформаций. Произойдет потеря устойчивости симмет ричной формы равновесия в деформированном состоянии. Кривая равновесных состояний при потере устойчивости симметричной формы равновесия будет подобна кривой, рассмотренной ранее (рис. 23.1,б). Только теперь символ А будет обозначать характер ное кососимметричное (чаще всего горизонтальное) перемещение, которое в исследуемом сооружении при симметричных деформаци ях равно нулю.
С другой стороны, пологая сжато-изогнутая арка при определен ном уровне нагрузки внезапно «прощелкивает» и в результате значи тельных перемещений становится растянуто-изогнутой (рис. 23.2,а). При F = Fcr сжато-изогнутая форма равновесия пологой арки ста
новится неустойчивой. Арка теряет способность сопротивляться дальнейшему росту нагрузки. Происходит «хлопок», и арка при достаточной прочности материала переходит в новое, несмежное, растянуто-изогнутое устойчивое состояние равновесия. Кривая рав новесных состояний в данном случае будет иметь совершенно иной вид (рис. 23.2,б). Точка A на кривой равновесных состояний являет ся предельной. В этой точке наступает исчерпание несущей способ ности сжато-изогнутой арки. Арка приходит в движение. Только по сле «перескока» в точку B уже в растянуто-изогнутом состоянии равновесия арка способна вновь воспринимать нагрузку.
При значениях нагрузки, по модулю меньших критического, в арке возможны три равновесных состояния, одно из которых является не
673
устойчивым. Неустойчивым состояниям равновесия на диаграмме равновесных состояний соответствует участок A C . Участок кривой равновесных состояний BC может быть реализован при нагружении прощелкнувшей арки нагрузкой обратного направления. При этом точка С будет предельной для нагрузки обратного направления.
Кривую равновесных состояний (см. рис. 23.2,б) можно тракто вать как график изменения реакции в дополнительном опорном стержне, поставленном по направлению рассматриваемого харак терного перемещения, в зависимости от смещения этого опорного стержня. Построить такой график можно только на основании не линейных, точных расчетных зависимостей.
Потерю устойчивости, связанную с разветвлением (бифуркацией) форм равновесия в критическом состоянии (рис. 23.1), иногда назы вают потерей устойчивости первого рода. Потеря устойчивости первого рода характеризуется сменой формы равновесия в дефор мированном состоянии, при этом новая, смежная форма равновесия допускает в определенных пределах дальнейшее увеличение на грузки и устойчивое равновесие в закритическом состоянии.
Потерю устойчивости, связанную с исчерпанием несущей спо собности в критическом состоянии (рис. 23.2), соответственно на зывают потерей устойчивости второго рода. При потере устойчиво сти второго рода смежных состояний равновесия нет.
Терять устойчивость равновесия могут не только сжимаемые сис темы. Гибкая высокая балка, изгибаемая в вертикальной плоскости,
при определенном уровне нагрузки может внезапно принять простран ственную изгибно-крутильную форму деформаций. Произойдет потеря устойчивости плоской формы изгиба в деформированном состоянии. По изгибно-крутильной форме происходит потеря устойчивости высот ных пространственных стержневых и пластинчато-стержневых систем.
Таким образом, от значений и знака внутренних, в первую оче редь, осевых, продольных сил существенно зависит поведение уже нагруженного сооружения при дальнейшем его нагружении, пусть даже случайном и незначительном.
Потеря устойчивости равновесия сооружения в деформирован ном состоянии является следствием нарушения равновесия между внешними и внутренними силами. Однако с ростом нагрузок может нарушиться равновесие и между внешними силами: активными и реактивными, опрокидывающими (сдвигающими) и удерживающи ми. Как правило, это имеет место в сооружениях, содержащих од носторонние, выключающиеся связи. Под действием неуравнове шенных активных внешних сил сооружение просто приходит в движение. Примером могут служить опрокидывание под действием горизонтальных сил высокого блока, свободно стоящего на горизон тальной опорной поверхности; опрокидывание высокой башни при неравномерной осадке основания; сдвиг или опрокидывание подпор ных стен; сползание по горному склону сооружения вместе с грунто вым массивом (оползень) и т. п. Явления, связанные с нарушением равновесия между внешними силами, называют потерей устойчивости положения в отличие от потери устойчивости равновесия в деформи рованном состоянии, связанной с нарушением равновесия между внешними и внутренними силами.
Равновесие сооружения в деформированном состоянии считает ся устойчивым, если любые малые дополнительные воздействия или дефекты (возмущения) вызывают в сооружении также малые дополнительные деформации, а после удаления дополнительных возмущений дополнительные деформации исчезают и сооружение принимает первоначальную форму равновесия.
Если после удаления дополнительных возмущений сооружение оста ется в отклоненном состоянии, или продолжает деформироваться и пе реходит в новое положение равновесия, или разрушается во время пере хода из-за недостаточной прочности его элементов, то первоначальное равновесие в деформированном состоянии является неустойчивым.
Если сооружение сохраняет устойчивость равновесия в деформи рованном состоянии при бесконечно малых возмущениях этого со стояния равновесия (возмущениях дополнительных, произвольных, случайных), то оно устойчиво «в малом». Если дополнительные воз мущения являются конечными, достаточно большими, и сооружение устойчиво при больших возмущениях, то оно устойчиво «в большом».
Сооружение, устойчивое «в малом», может оказаться неустойчи вым «в большом». Так, арка (см. рис. 23.2,а) при F = 0,85Fcr ус
тойчива «в малом». Но при случайном возрастании этого значения нагрузки еще на 15 % произойдет «хлопок», потеря устойчивости второго рода. Следовательно, арка неустойчива «в большом».
И наоборот, не всякое сооружение, устойчивое «в большом», ус тойчиво «в малом». Ненатянутая струна (шарнирно-стержневая цепь) устойчива «в большом» по отношению к достаточно большим попе речным смещениям. Любая поперечная нагрузка конечной величины вызовет в струне (цепи) растягивающие усилия. После снятия попе речной нагрузки струна (цепь) вернется в первоначальное положение.
Однако по отношению к бесконечно малым поперечным пере мещениям ненатянутая струна формально оказывается неустойчи вой, так как не обладает поперечной жесткостью при бесконечно малых возмущениях и допускает бесконечно малые перемещения при отсутствии нагрузки и деформаций удлинения. Разумеется, это утверждение справедливо только в рамках теории исчисления беско нечно малых величин. Перемещения струны можно рассматривать как бесконечно малые величины первого порядка малости. Деформации удлинения струны при этом будут иметь второй порядок малости. Строго говоря, ненатянутая и ненагруженная струна находится как бы в критическом состоянии (Fcr = 0).
Предварительно натянутая струна по отношению к поперечным деформациям устойчива как «в малом», так и «в большом».
Исследование устойчивости сооружений «в большом» можно вести только в нелинейной постановке. Рассматриваемые ниже кри терии устойчивости форм равновесия сооружений в деформирован ном состоянии и методы расчета сооружений на устойчивость отно сятся к устойчивости сооружений «в малом». Для изучения устой чивости сооружений «в малом», как правило, используются при ближенные, линеаризованные уравнения статического и динамиче
ского деформирования, то есть линеаризованные уравнения расчета по деформированному состоянию.
Еще раз обратим внимание читателя на смысл понятий: «Расчет сооружений по деформированному состоянию» и «Расчет сооруже ний по недеформированному состоянию».
Строго говоря, расчет сооружения по деформированному со стоянию означает точный, геометрически нелинейный расчет со оружения на переход из заданного исходного состояния (деформи рованного или недеформированного) в новое деформированное со стояние. При геометрически нелинейном расчете учитывается влия ние полных (конечных) перемещений на распределение полных, окончательных усилий в элементах сооружения. Именно при гео метрически нелинейном расчете необходимо учитывать точное вы ражение кривизны для установления связи изгибающих моментов с поперечными перемещениями изгибаемых стержней.
Однако расчет по деформированному состоянию может быть и линейным, то есть приближенным, линеаризованным, с отбрасы ванием нелинейных членов второго и более высоких порядков ма лости. При этом внутренние силы исходного деформированного состояния рассматриваются как конечные величины. Расчет ведется на приращения нагрузок (воздействий), вызывающих приращения внутренних сил, деформаций и перемещений. При этом прираще ния всех параметров, характеризующих переход сооружения в но вое деформированное состояние равновесия, полагаются достаточ но малыми, строго говоря, бесконечно малыми по сравнению с со ответствующими (большими, конечными) параметрами исходного состояния. В уравнениях равновесия отбрасываются все члены вто рого и выше порядков малости. Сохраняются только члены первого порядка малости, точнее, произведения конечных величин исходно го состояния на бесконечно малые приращения искомых величин.
Расчет сооружения по недеформированному состоянию тем более является приближенным, так как полные деформации и полные пе ремещения теоретически полагаются бесконечно малыми величина ми, а нагрузки и приращения усилий - конечными величинами. В уравнениях отбрасываются все члены первого, второго и выше по рядков малости по сравнению с конечными величинами или члены второго и выше порядков малости по сравнению с членами первого порядка малости. Это приводит к относительно простым линейным
расчетным зависимостям. Чтобы обеспечить достоверность линей ных расчетов, деформации и перемещения рассчитываемых реаль ных сооружений практически должны быть достаточно малыми, что и имеет место в рядовых, невысотных и небольшепролётных сооружениях. Исходное состояние считается ненагруженным, недеформированным. Наличие предшествующих нагрузок и вызван ных ими внутренних сил, деформаций и перемещений никак не влияет на результаты расчета по недеформированному состоянию.
Указанные различия существенным образом используются в тео рии устойчивости сооружений и в расчетах сооружений по дефор мированному состоянию.
23.2. Статический метод исследования устойчивости
Предположим, что деформируемая система, представленная, до пустим, дискретной расчетной схемой, загружена заданной нагруз кой, находится в равновесии в некотором деформированном со стоянии. Причем перемещения, вызванные заданной нагрузкой, и, следовательно, расположение узлов системы в деформированном состоянии уже найдены или заданы заранее. Такое состояние назо вем исходным, или начальным. В этом исходном состоянии равнове сия положение всех узлов системы определено их обобщенными ко
ординатами, линейными и угловыми, т. е. известным вектором X . Все
внешние силы (нагрузки F ) и вызванные ими усилия S также из вестны и удовлетворяют уравнениям равновесия, составленным отно сительно этого исходного (начального) деформированного состояния:
A S + F = 0. |
(23.1) |
В матричном уравнении равновесия |
(23.1), подчеркнем это, |
A = A(X ) есть в общем случае прямоугольная матрица равнове сия, элементы которой зависят только от заданных обобщенных
координат узлов, определяемых вектором X .
Такое начальное деформированное состояние с установившимися деформациями практически существует в любом реальном сооруже нии, собранном из тяжелых элементов. Элементы изначально дефор мированы от собственного веса. Монтажникам только остается при
дать деформированным элементам и их узловым соединениям про ектное положение. Иногда к начальным усилиям от собственного веса добавляются усилия предварительного напряжения. Любая вре менная нагрузка всегда прикладывается к уже деформированному сооружению. Перемещения, вызванные временной нагрузкой, отсчи тываются от некоторого конкретного деформированного состояния.
В данном разделе все уравнения записываются чисто формально. Читателю, в первую очередь, следует обратить внимание на смысл вводимых понятий и категорий.
Итак, приложим к системе, уже находящейся в деформирован ном состоянии и удовлетворяющей уравнениям равновесия (23.1),
некоторую дополнительную нагрузку AF . Тогда первоначальное состояние равновесия нарушится, и система перейдет из исходного деформированного состояния в новое деформированное состояние. Переход в новое состояние равновесия будет характеризоваться
приращениями внутренних сил AS и приращениями обобщенных
координат, то есть перемещениями узлов AX, отсчитанными от начального состояния равновесия.
Строго говоря, вектор приращений координат AX следует рас сматривать как блочный вектор, состоящий из двух подвекторов:
Z
AX =
AX0 ,
где Z - вектор неизвестных перемещений подвижных узлов;
AX 0 - вектор перемещений опорных узлов, задаваемый за
ранее (воздействие в виде смещения, осадки опор) или принимаемый равным нулю (в дальнейших вы
кладках примем AXо = 0).
Добиться такого разделения можно простой нумерацией узлов: опорные узлы (опорные связи) нумеруются в последнюю очередь.
Порядок вектора неизвестных перемещений Z равен числу воз можных упругих перемещений узлов деформируемой системы, то есть равен степени свободы деформируемой системы и равен
порядку системы составляемых уравнений равновесия. По на правлению опорных связей уравнения равновесия обычно не со ставляются.
В новом деформированном состоянии с измененной геометрией и измененными усилиями точные уравнения равновесия примут вид:
A(X + AX)(S + AS) + F + AF = 0
или:
A(X , Z )(S + AS) + F + AF = 0. |
(23.2) |
Таким образом, уравнения равновесия (23.2) составлены относи тельно нового, неизвестного деформированного состояния.
Вычитая равенство (23.1) из (23.2), получим так называемые уравнения в приращениях:
A(X , Z )(S + AS) - A(X )S + AF = 0. |
(23.3) |
Уравнения в приращениях для краткости запишем в условном обобщенном виде:
Ф(X , S , Z , AS) = A F , |
(23.4) |
где Ф( . ) есть в общем случае нелинейная вектор-функция
своих вектор-аргументов.
Вектор перемещений Z и вектор приращений усилий AS явля ются неизвестными, искомыми параметрами. Остальные параметры характеризуют исходное состояние равновесия и являются извест ными, заданными, определенными заранее.
Уравнения равновесия в приращениях (23.3) или (23.4) можно назвать уравнениями статического деформирования, так как они описывают деформирование, переход, движение деформируемой системы (медленное, без проявления сил инерции) из одного со стояния равновесия в новое состояние равновесия, вызванное при
ращением нагрузки AF . Уравнения статического деформирования
