Строительная механика

4. По формуле (22.17) вычислить в новом приближении иско­ мые собственные формы Х ф , нормировать их.

В ходе итераций матрицы R () и M (г) стремятся к диагональным, а матрица Z(i) стремится к единичной. В качестве начального прибли­ жения можно принять Q^0) = Е (единичной матрице), а X (0) соста­

вить из векторов перемещений, полученных загружением исходной деформируемой системы к подходящими независимыми нагрузка­ ми. Опыт вычислений показывает, что если требуется получить с достаточной точностью к собственных векторов, то итерировать необходимо несколько большее количество векторов к1 . Наилуч­ ший выбор определяется меньшей из двух величин:

к1 = min(2k, к + 8).

Пр и м е р 22.1. Найти собственные частоты и собственные фор­ мы свободных колебаний однопролетной одноэтажной рамы, несу­

щей три сосредоточенные массы (рис. 22.2).

12 м

12 м 12 м

Рис. 22.2

Жесткости стержней рамы на изгиб и на растяжение-сжатие со­

661

Решение ведем в матричной форме методом перемещений с уче­ том продольных деформаций. Дискретная расчетная модель рамы (рис. 22.3) в этом случае имеет девять возможных упругих переме­ щений и двенадцать неизвестных независимых усилий. Точечные массы могут перемещаться линейно по вертикали и горизонтали, инерцией их вращения пренебрегаем. Следовательно, суммарная динамическая степень свободы системы равна шести. Собственные частоты и собственные формы свободных колебаний найдем из ре­ шения системы однородных алгебраических уравнений (22.8) девя­ того порядка, где матрица масс будет иметь нулевые элементы по направлению угловых степеней свободы.

И

Рис. 22.3

Вырезав последовательно узлы 2, 3 и 4, составим девять уравне­ ний равновесия:

Исключив из уравнений равновесия поперечные силы

Мк ■- М пi

Qi = 1 п (i=1,...4), li

662

получим матрицу размером 9x12 коэффициентов системы уравне­ ний равновесия:

Вычислим матрицы внутренней жесткости: - для вертикальных стержней № 1 и № 4:

Построим суммарную матрицу внутренней жесткости:

G

G

G =

G3

G

663

и, применив формулу

R = A TG A ,

получим матрицу внешней жесткости девятого порядка:

Соответствующая матрица масс девятого порядка примет вид:

“10

10

0

20

0

10

10

0

Применим к решению обобщенной проблемы собственных значе­ ний для полученных матриц обратный степенной метод со сдвигом:

(R - a ^ M )X = (со2 - & 2 ) M X .

Предварительно необходимо составить соответствующую ком­ пьютерную программу, реализующую следующие матричные опе­ рации: сложение-вычитание матриц, умножение матрицы на вектор

664

и скаляр, разложение матрицы на треугольные множители и реше­ ние системы линейных алгебраических уравнений.

Найдем сначала наименьшую собственную частоту. Для этого зада-

2

дим параметр сдвига DQ = 0 . Выполнив соответствующие вычисления, найдем, что наименьшая собственная частота d = 7,697 рад/с.

Далее зададим параметр сдвига достаточно большим, например,

а>0 = 2 • 106 . Выполнив разложение сдвинутой матрицы на тре­

угольные множители, обнаружим, что на главной диагонали со­ множителя находится шесть отрицательных элементов. Следова­ тельно, при данном сдвиге метод обратной итерации найдет шестую собственную частоту как ближайшую к параметру сдвига. Напом­ ним, что старшие три собственные значения данной обобщенной проблемы девятого порядка формально являются бесконечно боль­ шими, так как в матрице масс имеются три нулевых элемента. Вы­ полнив итерации, получим, что d>6 = 416,4 рад/с.

Постепенным выбором параметра сдвига из интервала [7,692; 416,42] найдем остальные четыре собственные частоты и соответст­ вующие собственные формы. Результаты выполненных вычислений

665

Все вычисления программно выполнялись с двойной точностью (не менее 15 значащих цифр). Приведенные выше значения элемен­ тов матрицы R и внесенные в табл. 22.1 результаты вычислений представлены с точностью в три - четыре значащие цифры. Это обусловлено только шириной страницы данного издания. В практи­ ческих расчетах все промежуточные данные следует сохранять ми­ нимум с шестью значащими цифрами. Это связано с плохой обу­ словленностью задач динамики сооружений. При небрежном обра­ щении с промежуточными данными окончательные результаты мо­ гут различаться в несколько раз. Именно поэтому конечные резуль­ таты, полученные с помощью разных программных продуктов по разным численным алгоритмам, как правило, совпадают лишь с точностью до трех - четырех значащих цифр.

Плохая обусловленность численных решений свойственна всем задачам теории сооружений при совместном учете продольных и изгибных деформаций и при расчете систем, элементы которых сильно отличаются размерами своих поперечных сечений. Испра­ вить такую ситуацию может только компьютерный расчет с двой­ ной точностью и разумное, осторожное округление промежуточных результатов. Во всех случаях необходим контроль конечных ре­ зультатов. По крайней мере, повторный расчет с незначительно из­ мененными (возмущенными) исходными данными.

22.4. Применение метода степенных рядов для прямого интегрирования дифференциальных уравнений движения

Снова рассмотрим общие дифференциальные уравнения движе­ ния некоторой деформируемой системы при вязких силах сопро­ тивления и произвольных динамических нагрузках:

с начальными условиями:

666

Будем искать решение системы (22.18) в некоторой точке t = t1,

удаленной от начальной точки t = tq на величину шага h = t1 —tq ,

в виде ряда Тейлора по степеням шага h до четвертого порядка включительно:

Z f r ) = Z (to )+ Z (to )h + 2 Z (to )h 2 + 1 Z (to )h 3 + 4 Z /F (to )h4,

или в упрощенных обозначениях:

значают вектор перемещений и векторы их соответст­ вующих производных, вычисленные в точке t0 .

Дифференцируя ряд (22.20) по времени (по переменной h ), по­ лучим выражения для вычисления векторов скоростей и ускорений в точке t1:

Значения компонент вектора начальных перемещений Z q и век­ тора начальных скоростей Z1 заданы как исходные данные (22.19). Значения компонент вектора начальных ускорений Z 2 найдем из исходных уравнений (22.18), представив их как систему алгебраи­

667

ческих уравнений относительно вектора Z 2 с матрицей коэффици­ ентов M :

Для вычисления значений компонент векторов третьих и четвер­ тых производных перемещений по времени продифференцируем дважды исходные уравнения (22.18). В результате сможем получить еще две рекуррентные системы линейных алгебраических уравнений:

Итак, имеем следующий одношаговый численный метод четвер­ того порядка точности для прямого интегрирования дифференци­ альных уравнений движения (уравнений второго порядка) без их преобразования к нормальному виду, то есть к системе дифферен­ циальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно первых производных.

В начале шага интегрирования дополнительно к векторам началь­ ных перемещений Z q и начальных скоростей Z 1 необходимо вы­ числить еще три вектора: Z 2 , Z 3 и Z 4 , решив последовательно три

системы рекуррентных алгебраических уравнений (22.23)-(22.25). Затем по формулам (22.20) и (22.21) вычислить искомые значения перемещений и скоростей в конце шага интегрирования. Затем про­ цесс повторяется: точка t1 рассматривается как начальная и ищется

решение в точке t2 = t1+h .

Перед началом очередного шага сопоставляются значения уско­ рений, вычисленные путем решения системы уравнений (22.23) и вычисленные по формуле (22.22). По результатам сопоставления производится корректировка длины шага интегрирования.

Рассмотренный метод имеет четвертый порядок точности, так как в разложении (22.20) отброшены члены пятого порядка и выше

668

относительно длины шага h . По этой причине метод приобрел демпфирующие свойства. Численные эксперименты показывают, что с увеличением шага или длины отрезка интегрирования (количества шагов) решение затухает. В расчетном отношении динамическая сис­ тема как бы стремится к состоянию равновесия или к режиму уста­ новившихся колебаний даже при отсутствии сил сопротивления.

Если в разложении (22.20) сохранить члены не выше второго поряд­ ка относительно шага h , то получим известный метод постоянного ус­ корения (третья производная перемещений по времени равна нулю), а если сохранить члены не выше третьего порядка относительно шага h , то будем иметь другой известный метод - метод линейного ускоре­ ния. В некоторых современных проектно-вычислительных ком­ плексах численные методы динамического расчета данного типа составляют альтернативу даже общепринятым методам решения задач статики сооружений: задачи расчета сооружений на статиче­ ские воздействия решаются как динамические, методом установле­ ния. Статическая нагрузка рассматривается как динамическая, вне­ запно приложенная при нулевых начальных условиях. По мере за­ тухания колебаний при учете сил сопротивления деформируемая система приближается к состоянию равновесия, отвечающему при­ ложенной нагрузке.

ГЛАВА 23

М ЕТО Д Ы ИССЛЕДОВАНИЯ У СТО Й ЧИ В О СТИ УПРУГИХ СИ СТЕМ

23.1. Понятие о равновесии в деформированном состоянии. Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия

В линейной строительной механике при расчетах на статические и динамические нагрузки широко применяется принцип независимости действия сил, или принцип суперпозиции. Каждое очередное воздей­ ствие (нагрузка, изменение температуры, осадка опоры и т. п.) при­ кладывается к недеформированной расчетной схеме сооружения при молчаливом предположении, что в элементах этого сооружения нет никаких внутренних сил, вызванных предыдущими воздейст­

669

виями, а деформации и перемещения от прикладываемого воздей­ ствия не изменяют геометрии расчетной схемы. При таком подходе уравнения равновесия составляются для исходной, недеформированной расчетной схемы. Результат действия нескольких нагрузок, приложенных одновременно или последовательно, без разницы, равен сумме результатов, вызванных действием каждой нагрузки, приложенной в отдельности, независимо от других. Это дает воз­ можность суммировать усилия и перемещения от отдельных воз­ действий в самых разных сочетаниях, чтобы получить результат, наиболее неблагоприятный с точки зрения прочности или жесткости сооружения. Более того, перемещения, вызванные каждым воздей­ ствием в отдельности, или всеми воздействиями вместе, полагаются пренебрежимо малыми по сравнению с общими габаритами соору­ жения, и влияние искажения геометрии сооружения за счет дефор­ маций на распределение внутренних сил в элементах сооружения не учитывается. Все эти предпосылки позволяют обойтись при расчете сооружений линейными зависимостями и линейными уравнениями, алгебраическими или дифференциальными. На линейных зависи­ мостях и линейных уравнениях и построена классическая, линейная строительная механика. Расчет сооружений методами классиче­ ской, линейной строительной механики называют расчетом по недеформированной расчетной схеме, или расчетом по недеформированному состоянию. Если сказать точнее, то классическая линейная строительная механика дает методы определения внутренних сил и перемещений, возникающих в элементах сооружения от нагрузок и воздействий, приложенных к начально-ненагруженному и недеформированному сооружению. При этом предполагается выполне­ ние двух главных условий: материал сооружения подчиняется зако­ ну Гука, а перемещения элементов сооружения пренебрежимо малы по сравнению с габаритами сооружения и не влияют на распределе­ ние внутренних сил.

В реальных сооружениях искажением расчетных схем за счет их деформаций действительно можно пренебречь. Однако неучет не­ избежно существующих внутренних сил в элементах вновь нагру­ жаемого сооружения не всегда является обоснованным. Обратимся к фактам.

Факт первый. Монтажник руками может свободно отклонить в сторону крюк подъемного крана. Но если к крюку будет подвешен

670