Строительная механика

тенциальной энергии деформации упругой системы и кинетической энергии движущихся масс системы остается постоянной величиной:

U+ T = C = const.

Втот момент, когда скорость колеблющейся системы имеет ну­ левое значение, ее перемещения достигают амплитудных значений.

Инаоборот, когда колеблющаяся система проходит положение рав­ новесия и перемещения равны нулю, скорость движущихся масс максимальна. Так как потенциальная энергия деформации пропор­ циональна квадрату перемещений, а кинетическая энергия - квад­ рату скоростей, то при прохождении положения равновесия:

U = 0 T = Tmax = C

а при амплитудном отклонении от положения равновесия:

Рассмотрим балку с погонной массой т ( х ), совершающую сво­ бодные гармонические поперечные колебания с собственной часто­ той о по собственной форме у (х ):

у(х, t) = у ( х ^ п ^ + n ) .

Скорость движущихся масс будет определяться выражением

ду(х, t)

= о у(х) cos(o t + n) .

dt

Амплитудное значение кинетической энергии при cos(® t + n) = 1 будет равно:

о 2 l

Tmax = — j m(х)У2(х)^х . 2 0

651

Потенциальная энергия деформации получит максимальное, ам­ плитудное значение при sin(® t + rj) = 1. Исходя из определения

потенциальной энергии деформации и используя дифференциаль­ ное уравнение изгиба балки

E J (х)у"(х) = M (х),

будем иметь:

j E J (х)[у"(х)]2й х .

Следовательно, на основании (22.5) имеем:

0

Потенциальную энергию деформации можно выразить через действительную работу внешних сил:

где q(х) - предполагаемая, приближенно задаваемая инерци­ онная нагрузка;

у( х) - вызванная этой нагрузкой линия прогибов стержня.

652

Формулы (22.6) и (22.7) позволяют вычислять частоты свобод­ ных колебаний в стержнях переменного поперечного сечения с не­ равномерно распределенной массой. Формулы являются точными, если форма колебаний (линия прогибов) стержня, закон распреде­ ления масс, инерционная нагрузка и условия опирания стержня (граничные условия) соответствуют друг другу. В противном слу­ чае эти формулы являются приближенными.

Очень часто для оценки основной собственной частоты инерци­ онную нагрузку считают равной весу масс q(х) = g m (х) , прикла­ дывают ее в направлении движения масс, а форму колебаний при­ нимают в виде статической линии прогибов, вызванной такой на­ грузкой. Вычисление определенных интегралов в полученных фор­ мулах также можно выполнить приближенно любым численным методом (прямоугольников, трапеций, Симпсона и др.).

22.2. Замена распределенных масс сосредоточенными

Система с бесконечно большим числом степеней свободы заменяет­ ся системой с одной или несколькими степенями свободы. Для этого распределенные по длине стержней массы заменяются эквивалентными сосредоточенными массами. Чем больше сосредоточенных масс заменяет распределенную массу, тем ближе будут вычисленные приближенные значения динамических параметров к их точным, действительным значениям.

Замена распределенных масс сосредоточенными может быть выпол­ нена двумя способами. Предварительно элементы системы, несущие распределенные массы, разбиваются на требуемое число участков.

Первый способ замены масс заключается в том, что масса каж­ дого участка сосредотачивается в его центре масс. В результате вместо распределенной массы получаем несколько сосредоточен­ ных масс, количество которых равно количеству участков.

Второй способ состоит в том, что суммарная масса участка рас­ пределяется по узловым точкам на его границе. Так, для участка стержневого элемента масса распределяется по закону рычага в две сосредоточенные массы, располагаемые на его концах.

Рассмотрим однопролетную балку пролетом L , несущую равномер­ но распределенную массу интенсивностью т (рис. 22.1,а). Разбив про­

653

лет балки на четыре участка равной длины, и сосредоточив массы уча­ стков в центрах участков, получим систему с четырьмя степенями сво­ боды (рис. 22.1,б). Применив второй способ и сосредоточив массы на границах участков, получим систему с пятью сосредоточенными масса­ ми, но только с тремя степенями свободы (рис. 22.1,в).

Аналогичным образом можно систему с большим количеством сосредоточенных масс заменить системой с гораздо меньшим коли­ чеством сосредоточенных масс. То же можно сделать и с системой, несущей одновременно распределенные и сосредоточенные массы.

22.3. Специальные численные методы решения частичной проблемы собственных колебаний

Рассматриваемый в курсах по методам вычислений степенной метод вычисления наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора квадратной матрицы общего вида позволяет для задачи вида (20.14) найти наибольшее собственное значение Xmax и тем самым вычислить наименьшую

собственную частоту ®m;n : V1 / Лпах и соответствующую собст-

венную форму колебаний.

654

Обратный степенной метод со сдвигом, также рассматриваемый в курсах по методам вычислений, позволяет для заданной матрицы найти собственное значение, ближайшее к заданному числу, и соот­ ветствующий собственный вектор. Этот метод позволяет выделить требуемое количество низших собственных значений и найти их вместе с соответствующими собственными векторами. Небольшая модификация этого метода допускает его применение для решения обобщенной проблемы собственных значений вида (20.12) для двух симметричных матриц. Рассмотрим эту модификацию.

Перепишем систему (20.12) в виде:

Зададим число соо, и будем искать собственную частоту о , бли­

жайшую к этому заданному числу, и соответствующую собственную

форму (соответствующий собственный вектор X ) свободных колеба-

2 ^ ний. Вычтем из обеих частей равенства (22.8) произведение ®оM X :

(R -о02M )X = ( о 2 -о02)M X .

Обозначив

получим новую обобщенную проблему на собственные значения для двух симметричных матриц:

Далее, в соответствии с технологией обратного степенного мето­ да, можно организовать следующий итерационный процесс (с учетом симметричности матрицы внешней жесткости).

1. Разложить симметричную матрицу K на три множителя:

K = LTDL .

655

Провести анализ элементов диагональной матрицы D . Количе­ ство ее отрицательных элементов равно количеству собственных частот, меньших заданного числа о 0.

Не проводя последующих итераций, а только изменяя задавае­ мое число о 0, формируя новую матрицу K , разлагая ее на множи­

тели и анализируя количество отрицательных элементов на главной диагонали сомножителя D , можно отделить требуемое количество собственных частот на требуемом участке спектра. В этом и состо­ ит метод дихотомии спектра собственных частот.

2. Задать начальное приближение для искомого собственного значения / (k) и начальное приближение для соответствующего

собственного вектора X (k) .

3. Вычислить вспомогательный вектор:

Y(k) = M X (k).

4. Найти в новом приближении собственный вектор X (k+1) из

решения системы линейных алгебраических уравнений с факторизованной матрицей коэффициентов:

L T D L X (k+1) = Y(k) .

5. Вычислить в новом приближении искомое собственное зна­ чение, используя скалярные произведения:

X (k)X (k)

/ (k+1)

X (k)X (k+1)

6. Нормировать найденный вектор X (k+1).

Если нормирование векторов производится к единичной длине, то в предыдущей формуле числитель заведомо равен единице.

7. При выполнении условий завершения процесса итераций вы­ вести результаты:

656

/ (k+1) и X (k+1^

иначе принять:

/ (k) - / (k+1) и X (k) = X (k+1) ,

и повторить вычисления с пункта 3.

По завершении итераций искомая собственная частота вычисля­ ется по формуле:

(22.11)

Найденный собственный вектор X определяет соответствую­ щую собственную форму свободных колебаний.

Матрица масс может быть как положительно определенной, так и неотрицательно определенной. Матрица жесткости после сдвига (матрица K) может быть знаконеопределенной, но не должна полу­ читься вырожденной. Если матрица K оказалась вырожденной, то заданное число а>0 равно одной из собственных частот.

Приведенный алгоритм вычисления собственного значения, ближайшего к заданному числу (параметру сдвига), и соответст­ вующего собственного вектора легко реализуется на компьютере на основе любого языка программирования и известного про­ граммного обеспечения. Он позволяет вычислять собственные частоты и собственные формы свободных колебаний, описывае­ мых уравнениями вида (20.12) или (22.8). Отметим, что разложе­ ние матрицы K на множители может быть также выполнено лю­ бым численным методом, даже без учета ее симметричности.

В современных проектно-вычислительных комплексах методика обратного степенного метода применяется для одновременных ите­ раций нескольких (в принципе, произвольного количества k ) соб­ ственных частот и соответствующих собственных форм. Учитывае­ мое в практических расчетах количество собственных форм обычно меньше динамической степени свободы деформируемой системы и значительно меньше ее общей степени свободы (k << n ) . По срав-

657

нению с другими методами частичного решения первой задачи ди­ намики сооружений метод одновременных итераций обладает луч­ шей обусловленностью. Он позволяет получать искомые частоты и формы колебаний с заданной точностью. Рассмотрим метод одно­ временных итераций более подробно.

Предположим, что для системы (22.8) порядка n требуется найти k младших собственных частот, образующих диагональную матрицу

о

Q -

о

порядка k , и k соответствующих собственных форм, образующих прямоугольную матрицу размерности ( n ■k ):

Подставим их все в систему (22.8) и выразим ее в таком виде:

Если бы значения k искомых частот и соответствующих собст­ венных векторов были бы известны, то система (22.12) была бы удовлетворена тождественно. Если же задать их значения прибли­ женно и подставить только в правую часть (22.12), то получим сис­ тему уравнений, которая позволит уточнить искомые собственные формы (собственные векторы). Итак, обозначив матрицу уточняемых собственных векторов через Y , имеем для ее определения систему:

где i - номер итерационного приближения.

Система (22.13) эквивалентна системе (22.12) и представляет со­ бой k систем линейных алгебраических уравнений с одной и той же симметричной матрицей коэффициентов порядка n (матрицей

658

внешней жесткости) и k правыми частями, зависящими от при-

ближенных значений квадратов искомых собственных частот Q 2- 1)

и собственных форм X (г-- 1) . Ее решением будет матрица Y(i)

уточненных собственных форм, или собственных векторов.

Затем можно было бы найти уточненные значения искомых соб­ ственных частот, применив для этого отношение Релея, которое можно получить из системы (22.8), подставив в него уточняемые

собственные векторы Y j , составляющие матрицу Y(i):

где j - номер вычисляемой собственной частоты и соответст­

вующей формы колебаний;

i - номер итерационного приближения.

Однако чтобы в процессе итераций каждый вектор сходился к оп­ ределенной форме (а не все векторы сходились к одной форме с низ­ шей частотой), весь набор искомых собственных векторов необходимо привести к взаимно ортогональному виду. Это можно выполнить раз­ личными методами. Но чаще всего поступают следующим образом.

С помощью итерируемых собственных векторов, образующих прямоугольную матрицу Y>-), производят замену переменных в

системе (22.8):

где Z - вектор новых переменных порядка k .

Затем, умножив (22.8) слева на Y T , переходят к редуцированной обобщенной проблеме собственных значений:

где матрицы R и M уже имеют порядок k .

659

Если бы векторы, составляющие прямоугольную матрицу Y , были бы точными собственными векторами, то они удовлетворяли

бы редуцированной системе (22.16). Причем матрицы R и M были бы диагональными, а так они получаются заполненными, симмет­ ричными, и только в процессе итераций будут приближаться к диа­ гональным.

Так как порядок редуцированной обобщенной проблемы собст­ венных значений (22.16) намного меньше исходного числа степеней свободы (k << n) , для ее решения применяют стандартные методы

решения полной проблемы собственных значений, например, метод вращений, или метод Якоби. Решив полную проблему собственных значений (22.16), получают матрицу уточненных частот ) и мат­

рицу ортогональных и нормированных векторов Z ( ) порядка k ,

от которых необходимо вернуться к первоначальным переменным порядка n . Сделать это можно по формулам вида (22.15):

Итак, окончательно алгоритм метода одновременных итераций (его еще называют методом итераций в подпространстве, так как в процессе итераций совершается попеременный переход от задач большой размерности n к задачам существенно меньшей размер­ ности k ) состоит из следующих этапов.

1. Задать набор пробных векторов X ( ^ и пробных чисел Q(i-1) .

2.Составить систему уравнений (22.13) порядка n и найти ее k решений, то есть вычислить прямоугольную матрицу Y (i) .

3.Перейти к редуцированной проблеме собственных значений (22.16)

порядка k , то есть составить матрицы R и M , решить для них полную проблему собственных значений и вычислить в новом при­ ближении искомые собственные частоты Q(i) и набор вспомога­

тельных ортогональных векторов Z (г) .

660