Строительная механика

Для конкретных граничных условий выражение (21.15) дает беско­ нечный спектр собственных форм свободных колебаний балки посто­ янного сечения. Эти конкретные формы колебаний X k (x) = X k по­

лучили название фундаментальных, или балочных функций.

Первое свойство балочных функций вытекает из зависимости (21.8) и заключается в том, что их четвертая производная отличается от самой функции постоянным множителем.

Второе свойство вытекает из уравнения (21.6), если в него под­ ставить одну из балочных функций X k и переписать его так:

Откуда следует вывод, что балочная функция X k представляет

собой линию прогибов балки на конкретных опорах, вызванную погонной нагрузкой вида:

На основании теоремы о взаимности возможных работ можно записать:

641

следует еще одно важное свойство балочных функций. Для стержня постоянного сечения с равномерно распределенной массой балочные

Часто балочные функции нормируют, добиваясь выполнения условия:

l

j X 2 dx = 1 .

0

Отмеченные свойства балочных функций существенно упроща­ ют решение многих задач динамики сооружений, например, при исследовании вынужденных колебаний от нагрузки общего вида. В методе конечных элементов балочные функции используются как базисные функции (функции формы). В справочной литературе имеются числовые таблицы балочных функций и их производных.

21.3. Вынужденные колебания при вибрационной нагрузке

Рассмотрим действие на балку с равномерно распределенной массой некоторой произвольным образом распределенной нагрузки, изменяющейся во времени по гармоническому закону с некоторой частотой 0 :

642

Соответствующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

Предположим, что решена соответствующая проблема свободных колебаний и найден спектр собственных частот a>k и соответствую­

щих собственных форм, т. е. балочных функций X k (k = 1, 2, 3,...) .

Представим искомую функцию динамических перемещений как линейную комбинацию балочных функций:

да

y( x, t) = £ T (t)Xi (x), (21.21) i=1

где множители T , называемые главными координатами, есть функ­

ции только времени.

i=1

Сучетом зависимости (21.16) уравнение (21.22) можно перепи­ сать так:

да

Z ( T + ®?Ti )mXi = q(x) sin(et) . i=1

Умножим обе части последнего равенства на некоторую балоч­ ную функцию X k , соответствующую собственной частоте C0k ,

и проинтегрируем по длине балки. Тогда в силу условия ортого­ нальности балочных функций (21.18) все слагаемые в левой части, кроме k-го, обратятся в нуль. В результате получим:

643

Полученное уравнение (21.23) справедливо для каждой собст­ венной частоты C0k и соответствующей собственной формы X k (x)

(k = 1, 2, 3,...).

Таким образом, задача решения исходного дифференциального уравнения в частных производных (21.20) для системы с бесконеч­ ной степенью свободы сведена к задаче решения бесконечного мно­ жества обыкновенных дифференциальных уравнений (21.23) как бы для некоторых систем с одной степенью свободы. После получения из решения уравнений (21.23) главных координат, то есть функций Tk (t), по формуле (21.21) вычисляют искомые динамические пере­

мещения. Обычно на практике ограничиваются конечным числом сла­ гаемых, соответствующих некоторому количеству низших собствен­ ных частот и соответствующих собственных форм. Бесконечный ряд (21.21) обрывают, допустим, на члене номер (k + 1), вклад которого в предыдущую сумму становится незначительным, то есть когда на­ чинает выполняться условие:

k

yk +1(x t) = Tk+1(t)X k+1(x) << Z Ti (t)Xi (x). (21.25) i=1

П р и м е р 21.1. Найти динамические прогибы в однопролетной шарнирно опертой балке пролетом l (рис. 21.2). Балка несет равно­ мерно распределенную по пролету массу интенсивностью m и за-

644

гружена на левом полупролете равномерно распределенной вибра­ ционной нагрузкой интенсивностью:

q(x, t) = q sin Ot.

Частота вибрационной нагрузки принимает значение O = 0,8^ 1, где а>1 - первая собственная частота свободных колебаний балки.

Собственные частоты a>k свободных колебаний балки опреде­ лим по формуле (21.12), а соответствующие собственные формы X k - по формуле (21.13), приняв С = 1. Это будет означать, что

собственные формы нормализованы до единичной максимальной ординаты.

Амплитудные значения динамических перемещений будем ис­ кать в соответствии с разложением (21.21), ограничившись конеч­ ным числом слагаемых n , по формуле:

где Tk - амплитудное значение главной координаты, то есть

амплитудное значение гармонического решения обоб­ щенного дифференциального уравнения (21.23).

Определим по формулам (21.24) обобщенные силы и обобщен­ ные массы:

645

Определим жесткость обобщенной системы с одной степенью свободы, движение которой описывается уравнением (21.23), ана­ логичным уравнению (19.5):

Найдем выражение для обобщенного динамического коэффициента:

Определим амплитудное значение нормальной координаты:

646

чения динамических относительных перемещений достаточно пер­ вых трех собственных форм. Полученная линия динамических про­ гибов показана штриховой линией на рис. 21.2.

Форма линии прогибов близка к симметричной. Это обусловлено значительными инерционными силами, вызванными колебаниями, происходящими с частотой, близкой к первой собственной частоте, соответствующей собственной форме колебаний в виде полуволны синусоиды.

ГЛАВА 22

ПРИ БЛ И Ж Е Н Н Ы Е И Ч И С Л Е Н Н Ы Е М ЕТО ДЫ

ВДИНАМ ИКЕ СО О РУ Ж ЕН И Й

22.1. Приближенные методы определения частот собственных колебаний

Для многих задач динамического расчета сооружений бывает дос­ таточным определение только основной, наименьшей частоты собст­ венных колебаний, или, по крайней мере, нескольких первых собст­ венных частот. Точное же определение всех собственных частот для систем с большим числом степеней свободы представляет собой сложную вычислительную проблему, порой плохо обусловленную. Поэтому важным является умение приближенно оценить основную частоту собственных колебаний сооружения, применяя достаточно простые вычислительные приемы. Рассмотрим некоторые из них,

648

наиболее часто применяемые в вычислительной практике, как с це­ лью проверки результатов сложных расчетов, так и с целью получе­ ния предварительных сведений о динамической системе.

Предположим, что для некоторой системы с конечным числом сте­ пеней свободы построена матрица внешней жесткости R . Это можно сделать с помощью любого программного комплекса, предназначен­ ного для статических расчетов сооружений. Систему однородных ал­ гебраических уравнений свободных колебаний (20.12) можно перепи­ сать так:

Умножим равенство (22.1) слева на транспонированный неиз-

^ T 2

вестный вектор X и разрешим относительно о . В результате получим формулу, выражающую квадрат одной из собственных частот через соответствующую форму собственных колебаний:

2 X T R X

о = ^ т— ^ . (22.2)

X TM X

Если в формулу (22.2) подставить точный вектор одной из собст­ венных форм колебаний, то получим точное значение соответствую­ щей собственной частоты. Если собственная форма будет задана при­ ближенно, то получим приближенное значение собственной частоты. При этом приближенное значение частоты всегда будет выше ее ис­ тинного значения. Действительно, если задаваемая форма деформаций (в данном случае, форма колебаний), отличается от истинной формы деформаций, то это означает, что на систему как бы наложены допол­ нительные связи, стесняющие ее деформации. Введение дополнитель­ ных связей повышает общую жесткость системы и, следовательно, повышает значения ее собственных частот. Можно задаться несколь­ кими близкими векторами, приближенно представляющими с разной степенью точности искомую форму собственных колебаний, и по формуле (22.2) найти несколько приближенных значений искомой частоты. Наименьшее из полученных приближенных значений будет наиболее близким к точному значению искомой собственной частоты.

649

Выражение в числителе правой части формулы (22.2) представляет собой удвоенное выражение потенциальной энергии деформации упру­ гой системы. Потенциальную энергию деформации можно выразить через работу внешних сил (сил инерции при свободных колебаниях) или воспользоваться известной зависимостью из метода перемещений:

где F - вектор, в данном случае, приближенно задаваемых, предполагаемых сил инерции;

X- вектор вызванных ими перемещений, соответствую­ щих предполагаемой форме собственных колебаний.

Врезультате получим формулу для приближенного вычисления частот свободных колебаний, не требующую построения матрицы внешней жесткости деформируемой системы:

XTM X

Вформуле (22.4) нельзя одновременно произвольно задавать и вектор инерционных нагрузок F , и форму колебаний, вектор пере­

мещений X . Между ними должна существовать взаимосвязь (22.3). На практике, как правило, сначала приближенно задают вектор

предполагаемых инерционных сил F , который должен быть про­ порционален массам и предполагаемым ускорениям. Затем с помо­ щью статического расчета находят соответствующий вектор пере­

мещений X (можно применить любой программный комплекс) и, наконец, применяют формулу (22.4).

Формулы (22.2) и (22.4), полученные на основании матричных амплитудно-частотных уравнений, описывающих свободные незату­ хающие колебания систем с конечной степенью свободы, могли быть получены и с помощью закона сохранения энергии. Применим соот­ ветствующий энергетический метод, основанный на законе сохране­ ния энергии, для приближенного вычисления основных частот де­ формируемых систем, несущих распределенные массы. При свобод­ ных незатухающих колебаниях в любой момент времени сумма по­

650