Строительная механика

Sj(t) = aj sin(01) + b cos(01),

(20.55)

(i = 1,2,..., n).

В выражении (20.55) S-(t), at и bi представляют собой компо­

ненты соответственно векторов S(t), A и B .

Снова представим сумму двух гармонических функций (20.55)

Таким образом, формула (20.56) дает возможность найти ампли­ туду Vi любого динамического усилия через компоненты векторов

Aи B .

20.5.Решение уравнений движения в общем случае методом разложения по собственным формам

Метод разложения движения деформируемой системы, подвер­ женной действию произвольных динамических сил, по собствен­ ным формам свободных незатухающих колебаний является мощ­ ным методом динамики сооружений. Этот метод позволяет заме­ нить решение системы n совместных линейных дифференциаль­ ных уравнений второго порядка, описывающих движение деформи­ руемой системы с n степенями свободы, решением n независимых линейных дифференциальных уравнений второго порядка, описы­ вающих движение как бы п независимых колеблющихся систем с одной степенью свободы каждая. Применение метода разложения по собственным формам свободных колебаний к решению задачи о вынужденных колебаниях деформируемой системы, предполагает наличие готового решения первой задачи динамики сооружений. То есть собственные частоты и соответствующие собственные формы

631

свободных незатухающих колебаний исследуемой деформируемой системы должны быть определены, полностью или частично.

Итак, рассмотрим общие дифференциальные уравнения движе­ ния (20.2) некоторой линейно деформируемой системы с учетом вязких сил сопротивления при произвольном силовом динамиче­

ском воздействии F (t) :

Предположим, что решена соответствующая проблема собствен­ ных колебаний (20.12):

Получена матрица собственных частот Q , а также матрица собст­ венных форм X , и могут быть построены (вычислены) матрица обоб­ щенных масс M (20.21) и матрица обобщенных жесткостей R (20.22).

Введем в матричное уравнение (20.57) подстановку:

то есть, выразим вектор неизвестных динамических перемещений через вектор новых неизвестных функций от времени V (t) . Други­

ми словами, разложим динамические перемещения по собственным формам свободных незатухающих колебаний, представленных мат­ рицей X . Умножим также матричное уравнение (20.59) слева на

транспонированную матрицу собственных форм X T , и преобразу­ ем его к виду:

X TM X V + X TH X V + X TR X V = X TF(t). (20.60)

632

Правая часть полученного матричного уравнения (20.60) пред­ ставляет собой легко вычисляемый вектор так называемых обоб­ щенных сил:

Коэффициенты при V и V в соответствии с обозначениями (20.21) и (20.22) являются соответственно диагональными матрица­

ми обобщенных масс M и обобщенных жесткостей R . Коэффици­

ент при V , который обозначим через

является матрицей обобщенных коэффициентов вязкого сопротив­ ления. Эта матрица может также оказаться диагональной. Это воз­ можно при условии, что исходная матрица коэффициентов сопро­ тивления H будет подчинена условию (18.14), то есть будет яв­ ляться линейной комбинацией исходной матрицы масс и матрицы внешней жесткости. В результате получим:

где к1 ик2 - некоторые специально (как правило, эксперимен­

тально) подобранные коэффициенты.

При соблюдении условий (18.14) и (20.63) матричное уравнение движения (20.60) принимает вид:

и полностью разделяется, то есть становится эквивалентным п не­ зависимым дифференциальным уравнениям второго порядка:

633

Каждое из уравнений (20.65) описывает движение некоторой ко­ лебательной системы с одной степенью свободы, подверженной действию некоторой обобщенной динамической нагрузки (20.61), с учетом обобщенных сил сопротивления движению по теории вяз­ кого трения (20.63). Начальные условия vi(t0) и v (t0) могут быть

найдены из решения систем алгебраических уравнений общего ви­ да, полученных из (20.9) путем замены (20.59):

или из уравнений с диагональными матрицами коэффициентов:

В случае, если условия (18.14) и (20.63) не выполняются, и матри­ ца H , вычисляемая по формуле (20.62), получается не диагональной, а заполненной, то производят ее “волевую” диагонализацию, отбра­ сывая недиагональные элементы. Выполняют это с одной единст­ венной целью: получить разделенную систему дифференциальных уравнений движения вида (20.65). Тем более что на практике для ди­ намического расчета систем с одной степенью свободы искусственно вводятся дополнительные допущения в соответствии с так называемой теорией частотно независимого трения (см. раздел 19.6), которая бли­ же отвечает опытным данным.

Для значительного количества динамических воздействий на систему с одной степенью свободы в справочной литературе можно найти аналитические решения. Однако некоторые из них оказыва­ ются достаточно громоздкими. Поэтому в практических расчетах при отсутствии аналитических решений, а также в качестве альтер­ нативы громоздким готовым аналитическим решениям применяют численные методы непосредственного решения дифференциальных уравнений движения. Основное достоинство численных методов состоит в возможности исследования движения деформируемых систем при любых заданных динамических нагрузках с учетом лю­ бых заданных сил сопротивления движению и любых начальных

634

условий. При этом деформируемая система может описываться как линейными, так и нелинейными уравнениями.

Общие численные методы решения задачи Коши для обыкно­ венных дифференциальных уравнений первого порядка рассматри­ ваются в курсах по методам вычислений. Дифференциальные урав­ нения движения как уравнения второго порядка и системы таких уравнений требуют их преобразования к так называемому нормаль­ ному виду. Ниже будет рассмотрен численный метод степенных рядов, специально предназначенный для прямого интегрирования линейных дифференциальных уравнений движения без их преобра­ зования к нормальному виду.

ГЛАВА 21

КО Л ЕБА Н И Я СИ СТЕМ

СБЕС К О Н ЕЧ Н О БО Л ЬШ И М ЧИ С Л О М

СТЕП ЕН ЕЙ СВОБОДЫ

21.1.Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня с распределенной массой

Рассмотрим поперечные колебания однородного идеально упру­ гого прямолинейного стержня переменного поперечного сечения, имеющего изгибную жесткость E I (х) и несущего некоторую рас­

пределенную по его длине массу т(х ) . Пусть стержень закреплен по концам на балочных опорах и нагружен некоторой распределен­ ной безмассовой поперечной нагрузкой q(х, t) (рис. 21.1).

q (x ,t)

£

635

В процессе колебаний с учетом сил инерции на балку будет дей­ ствовать погонная поперечная нагрузка интенсивностью:

где

д y (х, t)

у( х У) =

dt2

Дважды дифференцируя по х известное дифференциальное урав­ нение поперечного изгиба балки

E I (х) д y(х, t) = - M (х, t),

дх2

найдем

а с учетом выражения (21.1) получим искомое дифференциальное урав­ нение вынужденных поперечных колебаний рассматриваемой балки:

Полученное дифференциальное уравнение в частных производ­ ных четвертого порядка имеет переменные коэффициенты и в об­ щем виде не имеет аналитических решений. Решать его можно только численными или приближенными методами. Для получения конкретного решения потребуется задать шесть дополнительных условий: четыре граничных, определяющих условия закрепления балки на опорах, и два начальных, определяющих начальные от­ клонения и начальные скорости изогнутой оси балки.

636

Для балки постоянного сечения E J (х) = E J с равномерно рас­

и может быть решено в аналитической форме.

21.2. Свободные колебания. Балочные функции

Рассмотрим свободные поперечные колебания однородного двух­ опорного стержня постоянного сечения с равномерно распределен­ ной по длине массой. Дифференциальное уравнение движения (21.3) при q(х, t) = 0 принимает вид:

Как и в случае линейно деформируемых систем с конечной степенью свободы, будем искать гармонические одночастотные колебания рас­ сматриваемого стержня с некоторой собственной частотой о , когда его изогнутая ось (собственная форма колебаний) описывается некоторой пока еще неизвестной функцией X (х) . Следовательно, можем предпо­ ложить, что искомое решение уравнения (21.4) имеет вид:

Подставив (21.5) в (21.4) и сократив на sin(ot + rf), получим одно­ родное обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно неизвестной формы собственных колебаний X (х) с не­

637

известным параметром, в роли которого выступает квадрат собственной частоты о 2 :

Разделив на EI и введя обозначение

E J

приведем дифференциальное уравнение (21.6) к виду:

К дифференциальному уравнению (21.6) или (21.8) необходимо присовокупить граничные условия. Так, в случае свободно опертой балки пролетом l будем иметь:

Общее решение однородного уравнения (21.8) имеет вид:

X (х) = С1ск(пх) + C2‘ЧН(пх) + C3 c o s ^ ) + C4 sin(nх). (21.10)

Из граничных условий (21.9) на левой опоре балки найдем, что С1 = С3 = 0. Граничные условия на правой опоре балки дают:

где Я = n l , l - длина пролета балки.

Чтобы система однородных уравнений (21.11) имела ненулевое решение, необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю. Это условие дает так называемое характеристическое уравнение:

638

sh(X)sin(X) = 0.

Так как при Х ф 0, sh(X) Ф0, то необходимо, чтобы sin(X) = 0 , откуда следует с учетом (21.7) бесконечный ряд собственных чисел X и собственных частот о :

При sin(X) = 0 из (21.11) следует, что С2 = 0, а С4 = С = const.

Следовательно, выражение для искомой собственной формы коле­ баний (21.10) получает вид:

(к = 1,2,3,...).

Как следует из (21.13), собственными формами свободных колеба­ ний шарнирно опертой балки являются синусоиды с числом полуволн, равным номеру собственной частоты. В формуле (21.13) константа С остается неопределенной, произвольной, но ненулевой.

Выдающийся кораблестроитель академик А.Н. Крылов для удоб­ ства описания форм свободных колебаний балок при других усло­ виях опирания ввел специальные функции, являющиеся линейной комбинацией слагаемых правой части (21.10). Эти функции полу­ чили название функций Крылова. Они имеют вид:

При дифференцировании по х функции Крылова (21.14) выра­ жаются друг через друга (табл. 21.1).

639

Функции Крылова оказались очень удобными для выражения форм колебаний балок с различными опорами. Общее решение уравнения (21.8), выраженное через функции Крылова, формально принимает вид:

X (х) = C1K 1(пх) + С2K 2(пх) + C3K 3(пх) + С4K 4(пх). (21.15)

Значения четырех постоянных интегрирования Q -C 4 должны быть подобраны так, чтобы выполнялись граничные условия, то есть условия опирания балки по концам - по два на каждом конце. Для типовых случаев (балка на конце свободна, шарнирно оперта или жестко защемлена) граничные условия выражаются равенства­ ми нулю двух из следующих четырех величин:

X (х), X '(х), X "(х), X "'(х).

Одним из преимуществ функций Крылова является то, что с их по­ мощью можно сразу написать общее решение (21.15), удовлетворяю­ щее однородным граничным условиям на конце балки (при х = 0 ) и содержащее только два слагаемых и, следовательно, только две постоянные интегрирования, которые определяются из условий на другом конце балки (при х = l ). Это вытекает из анализа значений функций Крылова и их производных до третьего порядка включи­ тельно при х = 0 (табл. 21.2).

640