Строительная механика

Таким образом, вторая задача динамики сооружений при дейст­ вии вибрационной динамической нагрузки сведена к решению сис­ темы алгебраических уравнений метода перемещений (20.39), вы­ раженных через матрицу динамической жесткости деформируемой системы (20.38). Правую часть этой системы составляет вектор ам­

плитуд внешних вибрационных сил F , неизвестным является век­

тор амплитуд динамических перемещений Z . Амплитуды динами­ ческих усилий определяются через амплитуды динамических пере­ мещений по общим правилам теории сооружений.

Таким образом, и динамический, и статический расчет произвольной деформируемой системы методом перемещений практически осуществ­ ляются по одному и тому же алгоритму. Только на этапе составления матрицы динамической жесткости по матричной формуле (20.38) осу­ ществляется учет инерции масс сооружения и частоты динамической нагрузки (второе слагаемое в правой части выражения (20.38)).

При выводе матричных зависимостей (20.34)-(20.39) на порядок

и на значения компонент матрицы масс М и вектора нагрузок F не накладывалось никаких ограничений. Степень свободы колеб­ лющейся системы может быть принята равной общему количеству возможных перемещений узлов деформируемой системы. В этом случае часть масс может быть принята нулевой, и деформируемая система будет иметь "безынерционные" степени свободы. Вибраци­ онные нагрузки могут действовать только на часть узлов и могут быть приложены даже по направлению "безынерционных" степеней свободы. В результате решения динамической задачи будут полу­ чены динамические перемещения всех узлов деформируемой сис­ темы, в том числе и по "безынерционным" направлениям.

Составляя матрицу динамической жесткости по формуле (20.38), необходимо иметь в виду, что если частота вибрационной нагрузки будет приближаться к любой из частот собственных колебаний, то динамическая матрица жесткости будет стремиться к вырожденной. Амплитуды вибрационных перемещений будут стремиться к беско­ нечности, а компьютерное решение системы уравнений (20.39) пре­ рвется аварийно из-за переполнения. Поэтому частота внешних вибрационных сил должна находиться вне резонансных зон, число которых равно степени динамической свободы деформируемой сис­ темы. Кроме того, даже если частота вибрационной нагрузки отда­

621

лена от собственных частот, но выше нескольких из них, то матрица динамической жесткости, оставаясь симметричной, становится зна­ конеопределенной, и для решения динамических уравнений метода перемещений (20.39) необходимо применять численные методы, специально предназначенные для уравнений со знаконеопределен­ ными матрицами коэффициентов.

Если при выводе дифференциальных уравнений движения пред­ полагается рассматривать только динамические степени свободы, то матрица внешней жесткости R должна быть составлена только по направлениям динамических степеней свободы. Внешние вибра­ ционные силы также должны быть приложены (или частично не при­ ложены) только в направлении динамических степеней свободы, то есть в узлах, несущих сосредоточенные массы. При этом все выкладки, проведенные в данном разделе выше, остаются справедливыми. Поря­ док матриц и векторов понизится до динамической степени свободы. Матрица масс в этом случае также будет невырожденной, ее можно будет обратить, что дает дополнительные преимущества, если она к тому же будет диагональной.

При составлении уравнений движения только с учетом динами­ ческих степеней свободы можно в качестве основных динамических неизвестных принять не перемещения, а амплитуды инерционных сил, которые при вибрационной нагрузке также будут изменяться по гармоническому закону. Подставив в общее выражение вектора инерционных сил (18.5) вибрационное ускорение (20.36), получим формулу для вычисления вектора вибрационных сил инерции:

Учитывая, что матрица масс (в случае учета только динамиче­ ских степеней свободы) заведомо невырожденная, выразим ампли­

622

туды вибрационных перемещений через амплитуды вибрационных сил инерции:

Подставив (20.42) в уравнения (20.37), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд инерционных сил, но с несимметричной в общем случае матрицей коэффициентов:

где E - единичная матрица.

Систему (20.43) можно привести к симметричной форме, если при ее выводе воспользоваться не матрицей внешней жесткости R , а матрицей внешней податливости D , или обратить матрицу внеш­ ней жесткости. Умножив систему уравнений (20.43) слева на мат­ рицу внешней податливости и учтя, что она обратна к матрице внешней жесткости, можно получить систему алгебраических урав­ нений в канонической форме относительно амплитуд инерционных сил с симметричной матрицей коэффициентов:

623

Рассмотрим данную раму как динамическую систему с двумя степенями свободы. Первая степень свободы соответствует вертикальным перемещениям массы, расположенной в середине пролета (эффективная масса т1= 20 т). Вторая степень свободы отвечает совместным горизонтальным перемещениям трех масс, расположенных на ригеле (эффективная масса т2 = 40 т). Составим матрицу податливости данной рамы по этим двум направлениям.

Загрузим раму поочередно двумя силами F 1= 1 и F2 = 1. Соста­ вим ее конечно-элементную расчетную схему (рис. 20.8), задав же­ сткости стержней рамы на изгиб и на растяжение-сжатие соответст­ венно равными:

E J1 = 2,34-106 кНм2;EA1 = 7,8-107 кН для стоек;

E J2 = 5,55-106 кНм2;EA2 = 10,4-107 кН для ригеля.

Воспользовавшись любым проектно-вычислительным комплек­ сом, найдем вызванные этими единичными силами векторы переме­ щений всех узлов, из которых выберем только компоненты, относя­ щиеся к вертикальному и горизонтальному перемещениям узла № 3.

В результате получим матрицу внешней податливости второго порядка по заданным двум направлениям:

8,22 -10-22 4,22 -10-5

625

Как видим, побочные элементы матрицы внешней податливости практически равны нулю, что и следовало ожидать, так как рама симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через середину пролета. В дальнейших вычислениях мы и будем их счи­ тать нулевыми.

Формируем векторы амплитуд вибрационных нагрузок и свобод­ ные члены, входящие в специальные канонические уравнения (20.45):

Формируем матрицу масс

20

M

40

и вычисляем круговую частоту вынужденных колебаний:

0 = 2п f = 2 - 3,14 - 5 = 31,4 рад/с.

Затем формируем матрицу динамической податливости D D (20.45):

Так как система специальных канонических уравнений с двумя неизвестными распалась на два уравнения, каждое с одним неиз­ вестным, непосредственно вычисляем вектор амплитуд инерцион­ ных сил:

Итак, суммарное амплитудное динамическое воздействие вибраци­ онной нагрузки на раму превысило ее амплитуду более чем в два раза:

26,3 кН

F + J =

0

626

20.4.Действие вибрационной нагрузки при учете сил сопротивления

Как следует из материалов предыдущего раздела, пренебрежение силами сопротивления при исследовании вынужденных колебаний представляет собой сильную идеализацию. Динамические переме­ щения и усилия оказываются завышенными, особенно вблизи резо­ нанса. Естественно, резонансные режимы колебаний и близкие к ним в зданиях и сооружениях недопустимы. Однако в реальных ус­ ловиях эксплуатации здания и сооружения иногда подвергаются дей­ ствию вибрационных нагрузок от механизмов, которые, набирая обо­ роты, прежде чем выйти в установившийся режим работы, проходят несколько резонансных зон, вызывая в сооружении кратковременные колебания с повышенными амплитудами. Похожие явления наблю­ даются и после выключения механизмов, при сбросе ими оборотов. Практика подтверждает, что даже при резонансе реальные переме­ щения сооружений остаются конечными. И первостепенное значение здесь имеют силы внутреннего неупругого сопротивления, а также си­ лы внешнего трения и специальные демпфирующие устройства. Изуче­ ние природы сил сопротивления, как и изучение переходных процессов при нагрузках переменной частоты не входит в учебную программу. Однако задача учета влияния сил сопротивления на характер устано­ вившихся динамических процессов является, несомненно, важной.

Рассмотрим установившийся режим вынужденных колебаний, вызванных вибрационной нагрузкой, при наличии сил сопротивле­ ния, пропорциональных скоростям движущегося сооружения. В то время как внешние демпфирующие устройства могут быть присое­ динены только в определенных местах (узлах) сооружения, силы внутреннего трения сопротивляются любым деформациям соору­ жения. Поэтому можно полагать, что в дискретной расчетной схеме расчетные силы сопротивления должны быть приложены в направ­ лении каждого возможного перемещения, независимо от наличия масс и учета сил инерции. Такой постановке задачи отвечают общие дифференциальные уравнения движения в прямой форме (20.2), ко­ торые при вибрационных нагрузках примут вид:

627

где матрица демпфирования (матрица коэффициентов сил со­ противления) Н и матрица внешней жесткости R , исходя из фи­ зического смысла, должны быть не только невырожденными, но и положительно определенными.

Матрица масс может быть и неотрицательно определенной, то есть частью масс и соответствующими силами инерции можно пренебречь.

Частное решение неоднородной системы дифференциальных урав­ нений второго порядка (20.46), отвечающее чисто вынужденным коле­ баниям, будем искать в виде суммы двух гармонических движений:

где X и Y - неизвестные амплитудные векторы, независящие от времени.

Дифференцируя (20.47) дважды по времени t , получим выраже­ ния для определения скоростей и ускорений:

Z (t) = 0 (X cos(0t) - Y sin(0t)),

(20.48)

Z (t) = - 0 2(X sin(0t) + Y cos(0t)).

Подставив выражения (20.47) и (20.48) в матричное дифференци­ альное уравнение (20.46) и сгруппировав в левой части слагаемые при тригонометрических функциях sin(0t) и cos(0t) , приравняем между собой коэффициенты при этих функциях в левой и правой частях уравнения. В результате получим систему совместных матричных уравнений порядка 2п относительно неизвестных векторов X и Y :

0 H X + (R - 0 2M )Y = 0,

(20.49)

(R - 0 2M )X - 0 H Y = F .

При выполнении отмеченных выше условий, которым должны удовлетворять матрица жесткости, матрица демпфирования и мат­ рица масс, полученная система алгебраических уравнений (20.49) является невырожденной, симметричной, но знаконеопределенной. Методы решения подобной системы линейных алгебраических

628

уравнений рассматриваются в курсах по методам вычислений. Даже при совпадении частоты вибрационной нагрузки с любой из собст­ венных частот, то есть даже при резонансе, решение системы урав­ нений (20.49) остается конечным.

Применив к системе (20.49) метод блочного исключения, можно заменить ее двумя системами уравнений, порядок которых вдвое ни­

же. Исключим неизвестный вектор X из второго уравнения системы (20.49), выразив его с помощью первого уравнения через второй не­

известный вектор Y . В результате неизвестный вектор Y найдем из решения системы уравнений порядка п :

Вектор X также можно найти из решения системы уравнений порядка п , но после определения вектора Y :

Формирование матрицы коэффициентов системы уравнений (20.50) и решение системы уравнений (20.51) рационально осуществлять на основе разложения матрицы 0 Н на треугольные множители.

Динамические перемещения деформируемой системы, вызван­ ные действием вибрационной нагрузки с учетом сил сопротивления по теории вязкого трения и полученные из решения дифференци­ альных уравнений движения (20.46) в виде суммы двух гармониче­ ских функций (20.47), уже не являются синфазными. Динамические перемещения по каждому возможному направлению остаются гар­ моническими, но в общем случае совершаются со своей амплитудой и своей фазой. Исходя из матричной формулы (20.47), можно по известным зависимостям тригонометрии покомпонентно предста­ вить каждое динамическое перемещение zi (t) в виде одной сину­

соидальной функции:

629

где амплитуда at и сдвиг по фазе A выражаются через компо­

ненты векторов X и Y по формулам:

Динамические перемещения по разным направлениям достигают своих экстремальных значений в разные моменты времени. Оценить уровень так называемых виброперемещений, виброскоростей и виб­ роускорений, то есть найти амплитудные значения перемещений ai ,

2

скоростей 0ai и ускорений 0 ai при действии вибрационной на­

грузки с учетом вязкого трения на основе формулы (20.52), как ви­ дим, труда не представляет.

Более трудоемкой является задача определения экстремальных усилий в элементах деформируемой системы при совместном дей­ ствии вибрационной нагрузки и сил сопротивления. В соответствии, допустим, с методом перемещений и с учетом (20.47) формально можно установить закон изменения внутренних сил во времени:

где G - матрица перехода от узловых перемещений дискретной деформируемой системы к усилиям в ее элементах.

Из (20.53) следует, что каждое динамическое усилие является суммой 2n гармонических функций, достигающих своих экстре­ мальных значений в разные моменты времени. Перепишем вектор­ но-матричную зависимость (20.53) в векторном виде:

где введены вспомогательные векторы:

A = g X , B = g Y .

Теперь рассмотрим зависимость (20.54) покомпонентно:

630