Строительная механика

что существенно уменьшает объем вычислений, когда матрица масс M диагональная.

Продифференцировав по времени выражение (20.25) и подставив в него начальное время to = 0 и начальные скорости из начальных условий (20.9), получим еще одну систему уравнений:

где V - вектор новых переменных, компоненты которого равны:

Вектор неизвестных V найдем из системы совместных уравне­ ний (20.30) так же, как и (20.26), преобразованных к виду с диаго­ нальной матрицей коэффициентов:

После вычисления векторов Y и V параметрыut и rji, входя­

щие в формулу (20.25), определяются покомпонентно из соотноше­ ний (20.27) и (20.31):

Таким образом, задача анализа свободных колебаний системы с конечной степенью свободы, или первая задача динамики сооруже­ ний, сведена к алгебраической задаче - полной обобщенной про­ блеме собственных значений для двух матриц. В настоящее время разработаны эффективные, надежные алгоритмы и компьютерные программы для решения полной (и обобщенной) проблемы собст­ венных значений. Однако следует помнить следующее. Для реше-

611

ния полной обобщенной проблемы собственных значений необхо­ димо разместить в памяти компьютера матрицу жесткости (подат­ ливости), матрицу масс и предусмотреть место для полной матрицы собственных векторов, а также и для ряда рабочих массивов. Поэтому даже современные компьютеры успешно решают полную проблему собст­ венных значений для систем с относительно небольшим числом степеней свободы, порядка несколькихсотен или максимум несколькихтысяч.

Примеры динамического расчета реальных сооружений показы­ вают, что в суммах вида (20.25) слагаемые, отвечающие высшим собственным частотам, получают значения, пренебрежимо малые по сравнению с вычисляемой суммой. Практически для получения искомого результата можно ограничиться вычислением суммы не­ скольких первых слагаемых, соответствующих низшим собствен­ ным частотам. Поэтому отпадает необходимость в решении полной проблемы собственных значений. Для реального сооружения доста­ точно решить частичную проблему собственных значений, т. е. найти несколько низших собственных частот и соответствующих собствен­ ных форм (собственных векторов). Или же найти собственные час­ тоты и собственные формы, отвечающие заданному диапазону час­ тот. Для этого применяют специальные численные методы. Некото­ рые из них будут рассмотрены ниже.

П р и м е р 20.1. Определить собственные частоты и собственные формы свободных колебаний неразрезной двухпролетной консоль­ ной балки постоянного сечения, несущей сосредоточенные массы (рис. 20.2). Собственной распределенной массой балки по сравне­ нию с сосредоточенными массами пренебречь.

При совершении поперечных, изгибных колебаний балка, несущая четыре сосредоточенные массы, имеет четыре степени свободы, направ­ ления которых обозначены стрелками F\-F4 (рис. 20.2). Чтобы сокра­ тить вычисления, используем симметрию системы. Для этого введем четыре групповые степени свободы (рис. 20.3): две прямосимметрич­ ные (ПС) по направлениям F\ и F2 и две кососимметричные (КС) по направлениям F3 и F4.

При прямосимметричных деформациях сечение балки над цен­ тральной опорой не поворачивается, а при кососимметричных де­ формациях в этом сечении изгибающий момент равен нулю. Следо­ вательно, для изучения прямосимметричных колебаний балки дос­

612

таточно рассмотреть ее половину, введя в центральном сечении за­ щемляющую опору (рис. 20.4). Кососимметричные колебания бу­ дем изучать с помощью полубалки, полученной из исходной балки введением шарнира в центральном сечении (рис. 20.5).

Частотные (вековые) уравнения для полубалок составим в об­ ратной форме (20.15).

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, при­ ложенных в направлении степеней свободы полубалок (рис. 20.4, 20.5), и вычислим по формуле Мора путем «перемножения» эпюр компоненты матриц податливости полубалок.

Для прямосимметричных колебаний имеем:

b______________ u

Рис. 20.3

613

Рис. 20.4

M3

F4 = 1

M4

Рис. 20.5

Соответственно для кососимметричных колебаний получим:

Частотное уравнение (20.15) для первой полубалки, соответствую­ щей прямосимметричным колебаниям, можно представить в виде:

614

Раскрыв полученный определитель и решив квадратное уравне­ ние относительно параметра р , найдем, что:

Р,2 = 22 ± V180 ; или р = 35,4; Р2 = 8,58.

Откуда находим выражения для круговых частот прямосиммет­ ричных собственных колебаний:

Соотношения между амплитудами перемещений масс при пря­ мосимметричных колебаниях (формы прямосимметричных колеба­ ний) найдем из системы однородных уравнений (20.14), которая в данном случае примет вид:

Полученная система однородных уравнений для найденных зна­ чений р является вырожденной и эквивалентна одному уравнению:

(16 - р ) Х 1 - 24X 2 = 0,

откуда получим:

= (16-р)Х 1 X 2 =

24

615

Итак, первая собственная форма прямосимметричных свободных колебаний при р= р1 определяется соотношением:

X 2 = -0,809Xi.

Вторая собственная форма прямосимметричных свободных ко­ лебаний при р = р2 определяется соотношением:

X 2 = 0,309X 1.

Соответствующие собственные векторы прямосимметричных колебаний для полубалки примут вид:

Для балки в целом будем иметь:

Частотное (вековое) уравнение (20.15) для второй полубалки, со­ ответствующей кососимметричным колебаниям, примет вид:

откуда найдем:

р 4 = 10,5 ±-у]66,3 , или р = 18,64,р4 = 2,61.

При кососимметричных колебаниях принято, что:

616

Следовательно, круговые частоты кососимметричных свободных (собственных) колебаний равны:

Соответствующие собственные формы кососимметричных сво­ бодных колебаний найдем из соотношения:

(16- p ) X 3 - 3 X 4 = 0,

откуда при р —р имеем

X 4 = -0,880X 3 ,

а при р —Р4

X 4 = 4,55X 3.

Для балки в целом собственные формы кососимметричных коле­ баний описываются следующими собственными векторами:

В динамике сооружений принято найденные собственные часто­ ты располагать в порядке возрастания (строго говоря, в порядке не­ убывания, так как среди найденных частот могут быть одинаковые)' Рассмотренная симметричная двухпролетная балка с консолями, имеющая четыре степени свободы, характеризуется спектром из четырех круговых собственных частот и четырех соответствующих

617

20.3. Действие вибрационной нагрузки при отсутствии сил сопротивления

Предположим, что на дискретную деформируемую систему с конечной степенью свободы действует группа синфазных вибраци­ онных сил, изменяющихся во времени по гармоническому закону (18.2). Силами сопротивления движению в запас прочности и жест­ кости будем пренебрегать. Идеализированное движение системы, подверженной действию внешних только вибрационных сил, будем описывать неоднородными дифференциальными уравнениями дви­ жения (20.5), составленными в прямой форме. После подстановки в их правую часть вектора внешних вибрационных сил (18.2) уравне­ ния движения примут вид:

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений можно представить как сумму общего решения соответствующих однородных уравнений вида (20.4) и частного решения неоднород­ ных уравнений, в данном случае (20.34). Общее решение однород­ ных уравнений движения, содержащее постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, описывает свободные колеба­ ния деформируемой системы. В реальных условиях из-за неизбеж­ ного присутствия сил сопротивления движению свободные колеба­ ния с течением времени затухают, и деформируемая система про­ должает совершать чисто вынужденные колебания с частотой вы­ нуждающей нагрузки в так называемом установившемся режиме.

При колебаниях в установившемся режиме перемещения всех узлов деформируемой системы, усилия во всех ее элементах с тече­ нием времени изменяются по гармоническому закону с той же час­ тотой, что и вибрационная нагрузка. Только амплитуды, то есть экс­ тремальные отклонения от нулевых значений, каждого перемеще­ ния и каждого усилия будут различными. Целью динамики соору­ жений и является определение экстремальных усилий и экстре­ мальных перемещений в элементах сооружения при колебаниях.

Определение экстремальных усилий и экстремальных переме­ щений при действии динамических нагрузок составляет предмет

619

второй основной задачи динамики сооружений, известной под на­ званием динамический расчет сооружений.

Итак, будем искать частное решение системы дифференциальных уравнений движения при вибрационном возбуждении в виде одночас­ тотных вынужденных колебаний, когда неизвестные динамические

перемещения Z (t) изменяются по гармоническому закону с частотой вибрационной нагрузки 0 , но с неизвестными амплитудами Z :

Дифференцируя (20.35) дважды по времени, получим выражение для вычисления ускорений:

Подставив динамические перемещения (20.35) и ускорения (20.36) в дифференциальные уравнения движения (20.34),получим после сокращения на sin(0 t)систему линейных алгебраических уравне­ ний относительно амплитуд динамических перемещений:

Матрицу коэффициентов системы алгебраических уравнений (20.37) обозначают как

и называют матрицей динамической жесткости (точнее, внешней ди­ намической жесткости) деформируемой системы. Система алгебраи­ ческих уравнений относительно амплитуд динамических перемеще­ ний, выраженная через матрицу динамической жесткости, примет вид:

620