Строительная механика

Так, вектор динамических сил FD можно представить как про­ изведение матрицы внешней жесткости R на вектор вызванных ими динамических перемещений Z :

торно-матричной форме дифференциальные уравнения движения системы с несколькими степенями свободы. Точнее говоря, с про­ извольным конечным числом степеней свободы:

Напомним, что в уравнении (20.2) элементы матрицы внешней жесткости R выражают собой единичные реакции в воображаемых дополнительных связях, поставленных в направлении каждой ди­ намической степени свободы. Так, элемент есть реакция в связи

номер i от смещения связи номер к на единицу. С другой стороны, матрица жесткости R может рассматриваться и как матрица внеш­ ней жесткости по направлению всех возможных перемещений узлов дискретной деформируемой системы. В таком случае матрица масс М и матрица коэффициентов демпфирования Н могут содержать ну­ левые элементы. Матрица внешней жесткости, входящая во все ви­ ды уравнений движения, во всех случаях должна быть невырож­ денной, иначе это будет свидетельствовать о геометрической изме­ няемости рассматриваемой деформируемой системы.

В случае отсутствия динамических нагрузок, когда

F (t) = 0,

система дифференциальных уравнений движения (20.2) прини­ мает вид:

601

и описывает свободные затухающие колебания дискретной дефор­ мируемой системы.

Если в (20.3) пренебречь силами сопротивления, то получим дифференциальные уравнения движения, описывающие идеализи­ рованные, незатухающие свободные колебания дискретной дефор­ мируемой системы:

При добавлении в систему уравнений (20.4) динамических на­ грузок получим также идеализированные дифференциальные урав­ нения вынужденных колебаний при отсутствии сил сопротивления:

Если деформируемая система является относительно простой, так что составление матрицы внешней податливости приводит к меньшим вычислительным затратам, чем составление матрицы внешней жесткости, то уравнения движения можно преобразовать к виду, непосредственно содержащему матрицу внешней податливо­ сти. Так, умножая систему уравнений свободных колебаний (20.4)

слева на матрицу R 1 = D , преобразуем ее к виду:

где D - матрица внешней податливости, которая может быть вы­ числена независимо от матрицы внешней жесткости R .

Элементы матрицы внешней податливости D = \5к ] представ­ ляют собой единичные перемещения в деформируемой системе. Эле­ мент 8к есть перемещение по направлению единичной силы номер i

(то есть по направлению степени свободы номер i ), вызванное еди­ ничной силой номер к , приложенной соответственно по направлению степени свободы номер к .

602

Аналогичным образом для описания вынужденных колебаний без учета сил сопротивления вместо системы (20.5) можно получить эквивалентную ей систему:

Общие уравнения движения с учетом сил сопротивления (20.2), выраженные через матрицу внешней податливости, примут вид:

Уравнения движения (20.2)-(20.5), выраженные через матрицу внешней жесткости, носят название уравнений движения в прямой форме. Уравнения движения вида (20.6)-(20.8), выраженные через матрицу внешней податливости, носят название уравнений движе­ ния в обратной форме.

К полученным системам дифференциальных уравнений движе­ ния с целью установления особенностей конкретного движения не­ обходимо добавить начальные условия:

при t = t0 , Z = a, Z = b , (20.9)

где a - вектор констант, соответствующих начальным отклонениям;

b- вектор констант, соответствующих начальным скоро­ стям узлов деформируемой системы.

Таким образом, для дифференциальных уравнений движения бу­ дет сформулирована задача Коши, задача с начальными условиями. Решение задач Коши для некоторых видов уравнений движения можно найти в аналитической форме в справочниках по дифферен­ циальным уравнениям. Для более сложных случаев решение урав­ нений движения можно получить только численными методами. Самые общие численные методы решения задачи Коши для обык­ новенных дифференциальных уравнений рассматриваются в курсах по методам вычислений. Некоторые специальные численные мето­ ды, приспособленные для решения задач динамики сооружений, приводятся ниже в главе 22.

603

20.2. Свободные незатухающие колебания

Решения дифференциальных уравнений незатухающих свобод­ ных колебаний (20.4) или (20.6) играют в линейной динамике со­ оружений особую роль, так как на их основе строятся решения и других задач динамики сооружений. Общее решение дифференци­ альных уравнений свободных незатухающих колебаний обычно ищут как сумму частных решений. Частные решения описывают одночастотные колебания деформируемой системы, когда все узлы колеблются по одному и тому же гармоническому закону с некото­ рой общей частотой и общей фазой, но с разными амплитудами:

где X - вектор амплитудных значений динамических переме­ щений (вектор амплитуд);

ю - круговая частота одночастотного колебания; П - начальная фаза.

Такие одночастотные свободные колебания называют собствен­ ными, нормальными, или главными.

Найдем вторые производные по времени от перемещений (20.10):

Подставив(20.10) и (20.11) в матричное уравнениедвижения в прямой форме (20.4) и разделив на sin(a t + rj) , получим систему однородных алгебраических уравнений относительно вектора ам­ плитуд X :

Характеристическое уравнение системы однородных алгебраи­ ческих уравнений (20.12) и одновременно характеристическое (ве­ ковое, или частотное) уравнение системы дифференциальных урав­ нений движения (20.4) примет вид:

604

Только при выполнении условия (20.13) система однородных

уравнений (20.12) может иметь ненулевые решения X Ф0. Аналогично, подставив (20.10) и (20.11) в матричное уравнение

свободных колебаний в обратной форме (20.6) и разделив на 2

ю sin(® t + п) , получим также систему однородных алгебраиче­

Следовательно, и система однородных алгебраических урав­

нений (20.14) будет иметь ненулевое решение X Ф0 при удов­ летворении частотного уравнения (20.15), эквивалентного урав­ нению (20.13).

Таким образом, задача о свободных незатухающих колебаниях дискретной деформируемой системы с конечным числом степеней свободы, описываемых дифференциальными уравнениями движе­ ния в прямой форме (20.4), свелась к полной обобщенной проблеме собственных значений (20.12) для двух симметричных матриц. Од­

на из двух матриц, матрица внешней жесткости R , заведомо поло­ жительно определена. Вторая матрица, матрица масс М в самом общем случае может быть и неотрицательно определенной, если ряд узловых масс отсутствует, и соответствующие узловые перемещения рассматриваются как безынерционные. Если в расчете учтены только динамические степени свободы, или массы присутствуют по направ­ лениям всех возможных перемещений, то и матрица масс также бу­ дет симметричной и положительно определенной.

605

В роли собственного значения такой обобщенной проблемы соб-

ственных значений выступает квадрат круговой частоты ю2 . В ли­ нейной алгебре доказывается, что для симметричных и положитель­ но определенных матриц все собственные значения обобщенной проблемы действительны и положительны. Следовательно, действи­ тельны и положительны все собственные частоты. Однако, если в системе есть безынерционные степени свободы, то часть собствен­ ных частот, количество которых равно количеству безынерционных степеней свободы, будет иметь значения, стремящиеся к бесконечно­ сти. Если же в расчете учтены только динамические степени свобо­ ды, то все собственные частоты положительны и конечны.

Факт наличия бесконечно больших частот не означает вычисли­ тельной катастрофы. Численный метод можно построить так, что он будет вычислять бесконечно большие собственные значения через обратные величины, стремящиеся в процессе последовательных приближений к нулю. Как будет показано ниже, для практических целей в динамике сооружений потребуется вычислять относительно небольшое количество меньших собственных значений (собствен­ ных частот) и соответствующих собственных векторов (собствен­ ных форм). Поэтому наличие или отсутствие бесконечно больших собственных частот никак не отражается на результатах динамиче­ ского расчета.

Если исходить из дифференциальных уравнений движения в об­ ратной форме (20.6), то задача о свободных незатухающих колеба­ ниях дискретной системы сводится к полной проблеме собственных значений (20.14) для некоторой квадратной матрицы общего вида:

A = D M .

Матрица A , равная произведению двух симметричных матриц, в общем случае не является симметричной. Так как матрица внешней по­ датливости D заведомо невырожденная, а матрица масс M может быть неотрицательной, то количество возможных нулевых собст­ венных значений A матрицы А и соответственно количество воз­ можных бесконечно больших собственных частот ю равно дефекту матрицы масс, то есть числу нулевых строк (столбцов) в матрице масс, или числу безынерционных степеней свободы.

606

Переходя от алгебраической проблемы собственных значений к механической проблеме свободных колебаний дискретной дефор­ мируемой системы, можно сделать следующие выводы.

Деформируемая система с n степенями свободы может совершать свободные одночастотные колебания по n разным собственным фор­ мам, характеризуемым каждая своей собственной частотой ю и своим

соответствующим собственным вектором X . Собственный вектор

амплитудных значений перемещений X как раз и характеризует форму деформаций колеблющегося сооружения при его макси­ мальном отклонении от положения равновесия.

Собственные векторы X определяются с точностью до произ­ вольного ненулевого множителя и могут быть нормированы любым подходящим образом. Колебания по каждой собственной форме яв­ ляются гармоническими, отвечающими закону (20.10), то есть син­ фазными. Все узлы колеблющегося сооружения одновременно про­ ходят положение равновесия и одновременно достигают экстре­ мальных амплитудных отклонений.

Чтобы заставить сооружение совершать колебания строго по од­ ной из собственных форм, достаточно придать ему начальные от­ клонения, пропорциональные этой форме, при нулевых начальных скоростях или при начальных скоростях, пропорциональных той же собственной форме колебаний.

Собственные формы колебаний, соответствующие разным по номеру собственным частотам, взаимно ортогональны как относи­ тельно матрицы масс, так и относительно матрицы внешней жест­ кости. То есть имеют место следующие равенства:

где i, к - номера собственных форм колебаний.

Это свойство непосредственно вытекает из системы однородных алгебраических уравнений (20.12). Если в эту систему подставить соб­

ственную частоту Юк и соответствующую собственную форму X k ,

607

а затем умножить систему слева на транспонированный вектор дру-

^ T

гой собственной формы X i при Ю k Ф ю ^, то получим равенство

двух скаляров:

X TRX k = ю 2кX TM X k .

Если подстановку и умножение провести в обратной последова­ тельности, то получим аналогичное скалярное равенство:

X T R X i = ю 2X T M X i .

Вычитая полученные равенства одно из другого и учитывая, что в силу симметричности матриц M и R :

X I R X i = x f R X k ;X I M X i = x Tm X k ,

а собственные частоты различны, и разность их квадратов не равна нулю:

2 - m k Ф 0 ,

и можно получить равенства (20.16) и (20.17)

Следует отметить, что даже если две собственные частоты сов­ падают по значению, то соответствующие им собственные формы все равно можно подчинить условиям взаимной ортогональности. Примером может служить пространственный стержень кольцевого поперечного сечения, собственные формы колебаний которого в двух взаимно перпендикулярных плоскостях ортогональны, хотя соответствующие собственные частоты совпадают.

Если в формулы (20.16) и (20.17) подставить одини тот же соб­ ственный вектор (i = k ), то вместо нулевогорезультата получим формулы для вычисления обобщенных масс и соответствующих

обобщенных жесткостей, отвечающих собственной форме X k :

608

В общем случае, представив векторы собственных форм в виде одной матрицы - матрицы собственных форм

X = [X (1) X (2) X (3) - X (n) |.

а квадраты собственных частот в виде диагональной матрицы

Ю1

можно систему однородных уравнений (20.12) представить в обоб­ щенном виде:

Кроме того, с учетом зависимостей (20.16)—(20.19) можно полу­ чить формулы для вычисления диагональных матриц обобщенных масс и обобщенных жесткостей:

транспонированную матрицу собственных векторов X T , получим соотношения между собственными частотами, обобщенными жест­ костями и обобщенными массами:

609

что эквивалентно n скалярным зависимостям:

При произвольных начальных условиях свободные колебания дис­ кретной деформируемой системы являются конечной суммой ее соб­

ственных колебаний. Неизвестный вектор Z (t) из системы диффе­

ренциальных уравнений свободных колебаний (20.4) или (20.6) при начальных условиях (20.9) может быть представлен как сумма частных решений (20.10), взятых с некоторыми коэффициентами и :

Подставив в (20.25) начальное время tg = 0 и начальные откло­

нения из (20.9), получим:

систему уравнений с диагональной матрицей коэффициентов (матрицей обобщенных жесткостей) R , то есть полностью разделенную:

С учетом зависимости (20.21) матричное уравнение (20.26) или (20.28) можно выразить и через матрицы масс:

610