Строительная механика

ц = A U / UA = пАФ 0/(RaA /2) = 2пФ0/ RA = 2 п у ,

где у = Ф0 / Ra является отношением амплитуд неупругой и уп­

ругой сил (рис. 19.10) и называется, в свою очередь, ко­ эффициентом неупругого сопротивления, или коэффи­ циентом внутреннего трения.

Многочисленные эксперименты, выполненные разными иссле­ дователями, показали, что коэффициент поглощения энергии коле­ баний ц и коэффициент неупругого сопротивления колебаниям у

практически не зависят от частоты колебаний, но зависят от уровня напряжений и , следовательно, от уровня амплитуд А , а также зави­ сят от вида конструкции. Причем для каждого конкретного вида конструкции (стальной мост, стальная дымовая труба, железобе­ тонная балка, железобетонная рама, железобетонный свод и т. д.) опытные данные имеют сильный разброс.

Для основных строительных материалов в диапазоне малых на­ пряжений (по сравнению с расчетным сопротивлением) коэффици­ ент неупругого сопротивления у осредняют и полагают, что с рос­ том напряжений он растет по линейному закону до определенного уровня y0 . В диапазоне средних напряжений он не зависит от уров­

ня напряжений и может быть принят постоянным (рис. 19.11,а). При этом следует отметить, что в машиностроительных сталях этот ко­ эффициент нелинейно зависит от уровня напряжений во всем диа­ пазоне изменения напряжений (рис. 19.11,б), но не зависит от час­ тот колебаний.

В строительных сооружениях коэффициент внутреннего трения (неупругого сопротивления) у обычно мал по сравнению с едини­ цей. В табл. 19.1 приведены значения коэффициента неупругого со­ противления Y0 , допустимые для динамических расчетов строитель­ ных конструкций в области малых и средних значений напряжений.

591

Примечание - Приведенные в таблице 19.1 значения коэффициента внутреннего трения Yo установлены для уровня амплитудных

значений напряжений а > а 0 ~ 0,02R , где R - расчетное сопротивление материала.

Для значений напряжений а <Сто коэффициент у вычисляет­ ся по формуле:

а

Y= К. а 0

При практическом учете сил неупругого сопротивления прибе­ гают к дополнительным предположениям и гипотезам, корректи­ рующим гипотезу вязкого трения. Рассмотрим одну из таких гипо­ тез, получившую название гипотезы частотно-независимого упруго­ вязкого сопротивления.

592

Согласно гипотезе частотно-независимого упруго-вязкого со­ противления, во-первых, предполагают, что силы внутреннего со­ противления пропорциональны жесткости системы:

h = x r ,

где х называют коэффициентом вязкости материала.

Тогда все предыдущие выкладки, выполненные по теории вяз­ кого трения, остаются справедливыми при условии, что введена замена:

(19.38)

m m

Во-вторых, на основании опытных данных полагают, что коэф­ фициент вязкости материала х зависит от частоты гармонических

колебаний, и подбирают эту зависимость такой, чтобы выполнялись условия частотно-независимого затухания. Так, для свободных за­ тухающих колебаний условно принимают:

(19.39)

На основании (19.39) логарифмический декремент колебаний (19.37) становится частотно-независимой, постоянной величиной:

Приближенное равенство в последней формуле обусловлено тем, что в строительных сооружениях частоты свободных затухающих и незатухающих колебаний различаются незначительно ( а « а ).

Зависимость (19.40) широко используется на практике.

593

19.8. Вынужденные колебания с учетом сил сопротивления

Рассмотрим влияние сил внешнего, вязкого сопротивления и сил внутреннего, упруго-вязкого сопротивления на вынужденные коле­ бания, вызванные действием вибрационной синусоидальной на­ грузки F (t) = F sin 9 t .

В соответствии с теорией вязкого трения дифференциальное уравнение вынужденных колебаний будет иметь вид:

(19.41)

Его общий интеграл, как обычно, представим в виде суммы двух функций:

F yst = S F = Г

2пв

гц = - arctg (19.44)

а>А- в 2

594

По истечении некоторого времени с момента начала действия вибрационной нагрузки свободные колебания практически затуха­ ют. Переходной процесс (суммарные свободные и вынужденные, неустановившиеся колебания) сменяется чисто вынужденными, ус­ тановившимися колебаниями, происходящими с частотой вынуж­ дающей нагрузки и описываемыми уравнением (19.42).

Чтобы учесть частотно-независимое внутреннее трение при устано­ вившихся вынужденных гармонических колебаниях в соответствии с теорией упруго-вязкого сопротивления необходимо в полученные фор­ мулы (19.43) и (19.44) ввести замену (19.39). В результате получим:

1 —в 2

а

При резонансе (в = а ) соответственно имеем:

П

7 рез = —"2"

Вследствие того, что Y << 1, при резонансе значение динамиче­

ского коэффициента и, следовательно, амплитуды динамических перемещений и динамических усилий резко возрастают, хотя и ос­ таются конечными. При этом динамические перемещения сдвинуты по фазе на п / 2 (запаздывают) относительно вибрационной нагруз­ ки. Динамические перемещения достигают максимума в те момен­ ты времени, когда возмущающая сила равна нулю, и наоборот.

595

раме, вызванное горизонтальным смещением правой опоры Ag(t) .

В статически неопределимых системах переносные перемещения масс зависят в общем случае от деформаций системы. На рис. 19.15 показано вертикальное переносное перемещение A(t) массы, распо­ ложенной в пролете статически неопределимой балки, связанное с ее изгибом за счет вертикальной осадки ее левой опоры Ag(t) . Допол­ нительные относительные перемещения масс y (t) во всех случаях связаны с дополнительными деформациями конструкций, вызванны­ ми действием суммарных сил инерции.

Рис. 19.15

В соответствии с принципом Даламбера суммарная сила инер­ ции равна:

J = - m Y = -m(A + y ) .

598

Дополнительное относительное перемещение выразим через по­ датливость системы и силу инерции:

y= SJ = -5m(A + y ) .

Врезультате получим дифференциальное уравнение кинемати­ чески возбуждаемого движения:

где использовано обозначение:

Дифференциальному уравнению (19.49) можно придать стан­ дартный вид (в прямой форме):

где введено обозначение:

J ( t ) = -mA . (19.51)

Возмущающая, динамическая сила J (t) (19.51) имеет простой

смысл. Это сила инерции массы m , соответствующая ускорению пе­ реносного, возмущающего перемещения. Сравнивая (19.50) с (19.5), можно сделать вывод, что для определения дополнительных, относи­ тельных перемещений в результате кинематически возбуждаемых ко­ лебаний систему необходимо рассчитать на действие внешних возму­ щающих сил, равных частичным силам инерции (19.51), вызванным только переносными ускорениями. Этот вывод справедлив для сис­ темы с любой степенью свободы.

599