Определенный интеграл (квадратуру) в выражении (19.22) при про извольном законе изменения динамической нагрузки F (u) = F (t) для каждого конкретного значения переменной t можно вычислить ча ще всего численно, применяя квадратурные формулы (прямоуголь ников, трапеций, Симпсона, Гаусса и т. п.). Процесс этот является достаточно громоздким. Поэтому вместо решения в квадратурах (19.22) для динамической нагрузки общего вида можно применить и численные методы решения непосредственно дифференциального уравнения движения (19.5), известные из вычислительной матема тики. Для некоторых частных видов динамической нагрузки (вне запно приложенной, вибрационной и др.) существуют аналитиче ские решения.
19.4. Действие внезапно приложенной нагрузки
Пусть к массе системы с одной степенью свободы внезапно прило жена сила F (t) = F и остается на ней достаточно долго. Найдем ча стное решение (19.22) дифференциального уравнения движения (19.5) для этого случая:
0 |
(19.23) |
F 5 (1 - cos o t ) = y st(1 - |
cos о t), |
где y st = F 5 есть перемещение по направлению движения массы от статически приложенной силы F .
Как следует из (19.23), система совершает простые гармонические колебания с частотой свободных колебаний о и амплитудой y st.
Можно сказать, что колебания совершаются относительно де формированного состояния, вызванного статически приложенной силой F . Размах колебаний равен 2y s t. Максимальные отклоне ния системы относительно недеформированного состояния при ну левых начальных условиях ( y1(t) = 0) имеют место в моменты
времени, когда cos o t = —1, и равны размаху колебаний, то есть
ymax = 2yst .
Таким образом, действие внезапно приложенной нагрузки в два раза более опасно, чем действие равной по значению статически приложенной нагрузки.
19.5. Действие гармонической нагрузки
Рассмотрим действие на систему с одной степенью свободы гар монической нагрузки, изменяющейся по закону синуса:
|
F (t) = F s i n e t , |
(19.24) |
где F |
- амплитудное значение нагрузки; |
|
в |
- круговая частота ее изменения. |
|
Частное решение (19.22) дифференциального уравнения вынуж денных колебаний (19.5) с правой частью (19.24) примет вид:
y2(t) = y stA s in e t , |
(19.25) |
где введены обозначения: |
|
|
y st = 5 F > |
M = |
1 |
(19.26) |
Общее решение (19.22) дифференциального уравнения вынуж денных колебаний с учетом (19.10) и (19.25) можно записать так:
y (t) = A sin o t +B c o s o t + y stp. s i n e t . |
(19.27) |
найдем постоянные интегрирования:
|
v0 |
в |
B = y0. |
A = ------ yst A ~ , |
|
о |
о |
|
и вместо (19.27) получим: |
|
|
y (t) = | — - |
y stA — |sin o t + y0 cos o t + y stA sin в t . |
\ o |
o J |
|
|
Если предположить, что гармоническая нагрузка (19.24) начина ет действовать на покоящуюся систему при нулевых начальных возмущениях
то вынужденные колебания будут состоять из суммы двух гармони ческих движений:
y(t) = y2(t) = y stA ^s i n e t - —sin o t | . |
(19.28) |
Суммируются чисто вынужденные колебания, происходящие с частотой вынуждающей нагрузки в , и сопровождающие свобод ные, совершающиеся с частотой o , но с амплитудой, зависящей от частоты и амплитуды вынуждающей нагрузки. Результирующее движение носит характер биений и в общем случае при произвольной частоте вынуждающей гармонической нагрузки, не соизмеримой с частотой свободных колебаний, является даже непериодическим.
Чтобы все-таки заставить колебательную систему совершать чисто периодические движения с частотой вынуждающей силы в , можно соответствующим образом подобрать начальные возмуще ния. Так, при начальных условиях
v0 = yst Ae > y0 = 0,
как следует из (19.27), свободные синусоидальные колебания и со провождающие свободные колебания взаимно погашаются, и оста ются чисто вынужденные гармонические колебания:
y (t) = y stA sin в t , или y(t) = y dms i n e t , |
(19.29) |
где
y dm = Ayst.
В зависимости (19.26)-(19.29) входят следующие физические ве личины и понятия: y din - амплитуда динамических перемещений;
y st - перемещение (прогиб) колебательной системы в направлении
движения массы от статически приложенной силы, равной по зна чению амплитуде динамической нагрузки; A - динамический ко
эффициент, показывающий во сколько раз максимальные динами ческие перемещения (а также усилия и другие параметры), вызван ные вибрационной нагрузкой, отличаются от статических переме щений (усилий или других параметров соответственно), вызванных в той же упругой системе статической силой, равной по значению амплитуде вибрационной нагрузки.
В приведенном выше решении не учитывались силы сопротив ления движению. В реальных системах с течением времени свобод ные колебания неизбежно затухают и сохраняются чисто вынуж денные гармонические колебания, так называемые установившиеся или стационарные колебания. Поэтому в практических расчетах обычно используют формулу (19.29) вместо более громоздкой (19.28). Как правило, это идет в запас прочности и жесткости при колебаниях в дорезонансной зоне, когда частота вынуждающей на грузки удовлетворяет соотношению:
в <(0,70 0,80)o.
Так как целью динамического расчета является определение ам плитуд динамических перемещений и амплитуд динамических уси лий, то для этого достаточно выполнить статический расчет упругой системы на действие статической силы, равной по значению амплиту де вибрационной силы, и вычислить динамический коэффициент A
по формуле (19.26). Затем амплитуда любой динамической величи ны (при условии, что точка приложения вибрационной силы и точка
сосредоточения массы совпадают) вычисляется через соответст вующую статическую величину по формуле:
где под символом T понимается любой параметр, характери зующий напряженно-деформированное состояние упру гой системы: перемещение, усилие, деформация, напря жение и т. д.
19.6. Резонанс и его развитие во времени
При совпадении частоты вынуждающей нагрузки с частотой свободных колебаний (в = o ) в колебательной системе имеет ме сто явление, называемое резонансом. В этом случае, как следует из формулы (19.26), динамический коэффициент принимает бесконеч но большое значение (А = да). Однако амплитуды динамических перемещений не мгновенно становятся бесконечно большими. При резонансе точное выражение (19.28) для вычисления динамического перемещения становится неопределенным:
y (t) = ystю 0 = yst 0 .
Раскрыв в (19.28) неопределенность по правилу Лопиталя, получим:
(19.31)
График разности гармонических функций, стоящей в скобках в зависимости (19.31), показан на рис. 19.8. Следовательно, при резо нансе в идеализированной системе без учета сил сопротивления ам плитуда колебаний нарастает во времени по линейному закону. При чем за два - три размаха она превышает соответствующее статиче ское перемещение приблизительно в 10 раз. Как будет показано ниже, силы сопротивления движению ограничивают нарастание амплитуд динамических перемещений. Даже при резонансе в ли
V(t) = -h y (t) , |
(19.32) |
где h - коэффициент пропорциональности.
Соответствующее дифференциальное уравнение затухающих свободных колебаний можно записать так:
my + hy + ry = 0. |
(19.33) |
Приведем это уравнение к виду, принятому в теории дифферен циальных уравнений:
|
y + 2пу + а 2у = 0, |
(19.34) |
где введены обозначения: |
|
|
|
0 |
h |
2 |
r |
1 |
2n = — , |
а |
= — = — . |
|
m |
|
m |
Sm |
Последнее равенство выражает собой квадрат частоты свободных незатухающих колебаний, то есть свободных колебаний без учета сил сопротивления. Параметр n в задачах динамики сооружений всегда является положительным, так как по физическому смыслу характери зует силы сопротивления, способствующие затуханию колебаний.
Общее решение дифференциального уравнения (19.34) при дос таточно малых значениях параметра n имеет вид:
y(t) = ye~nt sin (a t + n ), |
(19.35) |
где постоянные интегрирования y и rj с учетом ненулевых на
чальных возмущений y(0) = yo и у (0) = Vq равны:
а 1Уо
y =
vo + пУо
В полученных выражениях через а обозначена круговая часто
та затухающих свободных колебаний:
ln en7‘ = nT1= 2nn = S |
(19.37) |
а 1 |
|
носит название логарифмического декремента колебаний и харак теризует быстроту затухания свободных колебаний.
Как следует из (19.37), логарифмический декремент колебаний за висит от демпфирующих и упругих свойств колебательной системы, от периода и, следовательно, от частоты свободных колебаний. Таким образом, принятая гипотеза учета сил сопротивления (силы сопротив ления пропорциональны скоростям движущихся масс, гипотеза вязко го трения) приводит к эффекту частотно-зависимого затухания.
Хотя картина затухания, даваемая гипотезой вязкого трения, яв ляется вполне приемлемой, а математические выкладки - достаточ но простыми, многочисленные эксперименты показывают, что в строительных сооружениях затухание, в первую очередь, обуслов лено внутренним трением (иначе неупругим сопротивлением), при чем логарифмический декремент не зависит от частоты колебаний, то есть является частотно-независимым.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы (рис. 19.10). Предположим, что масса системы удалена, а по направлению ее движения поставлена связь. Если связь заставить принудительно перемещаться по гармоническому закону с частотой 0 и амплиту дой A , то со стороны связи на балку будет действовать сила F , также изменяющаяся по тому же гармоническому закону. Зависи мость между силой F и перемещением А при циклическом изме нении последнего в пределах ± A в реальной системе будет неодно значной. Полному циклу изменения перемещения соответствует замкнутая гистерезисная петля. Для гармонических колебаний она может быть принята в виде вытянутого эллипса. Суммарная сила F может быть представлена как сумма восстанавливающей, упру гой силы R и силы неупругого сопротивления Ф :
F = R + Ф .
Во времени эти силы изменяются циклически с периодом 7 , но со сдвигом по фазе в четверть периода. Их амплитудные значения
± Ra и ± Ф0 (рис. 19.10) достигаются в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на T / 4 .
Работа силы R за полный цикл колебаний равна нулю. Работа силы Ф равна площади эллипса, образующего петли гистерезиса:
AW = пАФ 0.
Такое количество работы необратимо затрачивается за полный цикл колебаний на преодоление сил сопротивления. Эта работа равна энергии A U , поглощаемой реальной конструкцией за счет неупругих свойств материала (микропластические деформации, микротрещины, тепловые эффекты и т. п.).
Мерой, характеризующей способность материала сооружения сопротивляться колебаниям, принято считать отношение погло щенной энергии AU = AW к амплитудному значению потенциаль ной энергии деформации UА, численно равной площади заштрихо
ванного треугольника (рис. 19.10). Это отношение называют коэф фициентом поглощения энергии колебаний (коэффициентом дисси пации) ц . Следовательно,
