методами общего характера, предназначенными для решения задач Коши (задач с начальными условиями) для систем произвольных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Либо специальными численными методами, предназначенными для реше ния уравнений движения, то есть систем обыкновенных дифференци альных уравнений второго порядка, без преобразования последних в системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Решение дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение систем с неравномерно распределенными массами, ведут, как правило, численными и численно-аналитическими методами на основе вариационных методов (метод Релея-Ритца, метод Власова-Канторовича, метод Бубнова-Галеркина) и конечно разностных методов (метод сеток, вариационно-разностный и т. п.).
Мощным методом решения динамических задач для систем с распределенными массами является метод замены распределенных масс сосредоточенными массами, основанный на идеях метода ко нечных элементов.
ГЛАВА 19
КО Л ЕБА Н И Я СИ СТЕМ
СОДНОЙ С ТЕП ЕН ЬЮ СВО БО ДЫ
19.1.Дифференциальное уравнение движения
Рассмотрим движение простейшей системы с одной степенью свободы: поперечные колебания невесомой балки, несущей в сере дине пролета сосредоточенную массу m и нагруженную в этой же точке динамической нагрузкой в виде вертикальной силы F (t) , из меняющейся с течением времени (рис. 19.1). Силы сопротивления движению пока рассматривать не будем.
Пусть в процессе движения под действием динамической нагрузки балка с массой в некоторый момент времени t сместится по вертикали на величину y (t) . В соответствии с кинетостатическим методом мож но положить, что это перемещение вызвано в безмассовой балке дей ствием динамической нагрузки F (t) и силы инерции J = -m y , соот ветствующих рассматриваемому моменту времени t (рис. 19.2). Что бы найти в балке неизвестное перемещение y (t) , можно применить формулу Мора:
y (t) = a 1f = E J М М d x , |
(191) |
El |
|
где M 1 - изгибающие моменты в балке от вертикальной единичной силы, в направлении которой определяется перемещение;
M F - изгибающие моменты в балке от совместного действия динамической силы F (t) и силы инерции J .
Сила инерции неизвестна, выражается через неизвестное ускорение. Воспользуемся для определения неизвестных изгибающих момен тов M F принципом независимости действия сил и известными еди
ничными изгибающими моментами М 1:
M f = М 1(F (t) + J (t)). |
(19.2) |
Подставив выражение для M F (19.2) в формулу (19.1), получим:
y (t) = S1 1 ( f (t) + J (t)), |
(19.3) |
где
s n = Z J М М dx = (M 1 •М 1)
EJ
есть податливость системы в направлении искомого перемещения движущейся массы, то есть перемещение, в данном случае балки в середине пролета в вертикальном направлении, вызванное единич ной безразмерной силой, приложенной в том же направлении.
Выразив в (19.3) силу инерции через произведение массы на ус корение и опустив индексы при единичном перемещении, получим дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы под действием динамической нагрузки:
y = S(F (t) - m y),
или
Разделив (19.4) на S , можно получить дифференциальное урав нение движения в несколько ином виде:
где использовано обозначение
Величину r , обратную податливости S , называют жесткостью сис темы в направлении перемещения движущейся массы. Иногда уравне ние вида (19.4) называют уравнением движения в обратной форме, а уравнение вида (19.5) - уравнением движения в прямой форме.
19.2. Свободные колебания
Чтобы заставить систему совершать свободные колебания, ее можно отклонить от положения равновесия на некоторое начальное перемеще ние yo и толкнуть, придав некоторую начальную скорость vo. Пере
мещение y o и скорость vo называются начальными возмущениями.
При отсутствии постоянно действующих динамических нагрузок диф ференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы (19.5) становится однородным:
|
my + ry = 0. |
(19.7) |
Разделив (19.7) на m , получим: |
|
|
|
y + а 2y = 0, |
(19.8) |
где |
|
|
|
а |
\V |
1 |
(19.9) |
= — = |
.----- |
|
\ m |
~jSm |
|
Общее решение однородного линейного дифференциального урав нения второго порядка с постоянными коэффициентами (19.8) может быть представлено в виде суммы двух периодических функций:
y(t) = A sin a t + B c o s a t . |
(19.10) |
Произвольные постоянные интегрирования A и B зависят от на чальных возмущений (начальных условий) и равны:
A = v o ; |
B = yo. |
(19.11) |
a |
|
|
Решению (19.10) дифференциального уравнения свободных ко лебаний (19.8) можно придать более простой вид:
y(t) = Y sin(a t + n ), |
(19.12) |
где в качестве новых произвольных постоянных интегрирования выступают амплитуда свободных колебаний Y и начальная фаза n , которые также можно выразить через начальные возмущения:
|
|
2 Гvo ^ |
2 |
Гyoa |
|
|
Y = . |
П = arctg |
(19.13) |
|
y o + |
vo |
|
|
l a J |
|
|
Таким образом, при произвольных ненулевых начальных возму щениях движение массы будет происходить по синусоидальному закону с постоянной амплитудой Y и сдвигом по фазе n .
Рассмотрим частные варианты начальных возмущений.
Вариант 1. Задано начальное отклонение массы, начальная ско рость равна нулю:
y (o) = yo; |
v(o) = y (o) = °. |
(19.14) |
Подставив начальные возмущения (19.14) в формулу |
(19.11), |
а затем в (19.Ю), получим: |
|
|
y(t) = yo c o s a t . |
(19.15) |
График движения массы во времени в соответствии с уравнени ем (19.15) показан на рис. 19.3.
- " О -
*• t
*£ - ..л , Л
yo
Рис. 19.3
Таким образом, если отклонить массу на расстояние yo от по ложения равновесия, а затем отпустить без начальной скорости, то
она будет двигаться во времени по закону косинуса с постоянной амплитудой, равной начальному отклонению.
Вариант 2. Задана начальная скорость массы, а начальное от клонение равно нулю:
v(o) = y (o) = Vo; |
y (o) = o . |
(19.16) |
Подставив (19.16) в (19.13), получим:
а
Следовательно, в соответствии с (19.12) уравнение движения примет вид:
/ ч vo . |
(19.17) |
y (t) = — sin a t . |
а |
|
Таким образом, если сообщить массе только начальную скорость Vo,
то она будет |
двигаться по синусоиде с постоянной амплитудой |
Y = Vo/ а (рис. |
19.4). |
Рис. 19.4
Входящая в формулы (19.Ю)—(19.13) величина а выражает со бой круговую, или циклическую частоту, то есть число полных цик лов (периодов) колебаний за время 2п секунд. Круговую частоту свободных колебаний системы с одной степенью свободы легко вычислить по формулам (19.9), зная массу и жесткость (или подат
ливость) динамической системы. Период (время одного цикла) сво бодных колебаний выражают через круговую частоту по формуле:
2п |
(19.18) |
T = ----. |
а |
|
Величина, обратная периоду |
|
f = T-, |
(19.19) |
выражает число полных циклов колебаний в секунду, измеряется в Герцах и называется физической частотой. Физическая частота свя зана с круговой частотой зависимостью:
Рассмотрим пример определения частот и периодов свободных колебаний систем с одной степенью свободы.
П р и м е р |
19.1. Для системы, изображенной на рис. 19.5,а, требует |
ся определить круговую частоту а , период T |
и частоту в Герцах f . |
а) |
E J = 5,5 • Ю4 кНм2 |
m = 1,5 т |
|
12 м |
|
|
|
X 1 = 1 |
Система может совершать поперечные, изгибные колебания. Сосре доточенная масса будет перемещаться по вертикали. Методом сил или методом перемещений построим эпюру изгибающих моментов от вспо
могательной вертикальной единичной силы X , = 1, приложенной в
направлении возможного перемещения массы (рис. 19.5,б). Затем вы числим податливость системы в этом направлении, то есть перемеще ние по направлению вертикальной вспомогательной силы, вызван ное самой вспомогательной единичной силой:
5п = (М 1 • М 1 ) - — х
|
|
|
E J |
|
|
х 1 |
• 2 • 2 - • 2 + — (1 -1 + 4 • 0,5 • 0,5 + 2 • 2) |
44 |
|
3 E J ' |
|
2 |
3 |
6 |
По формуле (19.9) найдем круговую частоту:
а = 3EJ |
3 • 5,5 4 0 " = 50 сек -1 |
44m |
\ 44 4,5 |
Период колебаний равен:
T 2^ |
2 • 3,1416 01257 |
T = — = |
------------ = 0,1257 сек . |
а50
Физическая частота:
1
= 7,96 Г ц .
T0,1257
Пр и м е р 19.2. Определить частоту свободных колебаний одно пролетной одноэтажной рамы (рис. 19.6,а), предполагая, что ригель рамы абсолютно жесткий, стойки невесомые, а масса ригеля и по лезной нагрузки равномерно распределена по длине пролета.
5„
Рис. 19.6
При невесомых стойках и абсолютно жестком ригеле раму мож но рассматривать как систему с одной степенью свободы, способ ную совершать горизонтальные колебания за счет изгибных дефор маций стоек. Вычислим полную массу ригеля:
M = m l .
Определим податливость 5 рамы по горизонтали в уровне по крытия (рис. 19.6,б):
5 = 5 = 2 |
1 |
1 h h 2 |
h = h3 |
5 = 5ii = 2 |
---- |
— • — • h • — • — = --------. |
11 |
E J |
2 2 3 |
2 6EJ |
и найдем круговую частоту:
6EJ
m lh
На рис. 19.7 показано определение жесткости рассматриваемой рамы в направлении колебаний. В данном случае жесткость рамы по горизонтали равна реакции r , которая возникает в дополнитель ном горизонтальном опорном стержне при его линейном смещении на единицу.
а)
1
Рис. 19.7
Итак, имеем:
„ E J „ E J 6EJ r = 3—г + 3—г = — .
h3 h3 h3
Как видим, жесткость r обратна податливости 5 .
19.3. Общий случай действия возмущающей нагрузки
При действии на систему с одной степенью свободы произволь ной динамической нагрузки F (t) общее решение неоднородного
дифференциального уравнение движения вида (19.5) может быть представлено в виде суммы двух решений:
y (t) = yi(t) + y2(tЬ |
(19.21) |
где y1(t) - общее решение (19.10) или (19.12) соответствующего однородного уравнения (19.7) свободных колебаний;
y 2(t) - частное решение собственно неоднородного урав нения (19.5) вынужденных колебаний. Это частное решение примет вид:
y2 (t) = ® 5§F(u)sina(t - u)du . |
(19.22) |
0
где u - вспомогательная переменная интегрирования.
