Строительная механика

относительно перемещений только движущихся масс. Количество уравнений в системе равно динамической степени свободы колеба­ тельной системы. Если же речь идет об общей степени свободы дискретной колебательной системы, то решению будет подлежать система совместных алгебраических и дифференциальных уравне­ ний относительно перемещений всех узловых точек. Порядок такой системы будет гораздо выше.

Тем не менее, с целью простоты алгоритмизации решаемых за­ дач, можно, при необходимости, предположить, что динамическая степень свободы дискретной деформируемой системы совпадает с её общей степенью свободы. Отсутствие же в некоторых узлах со­ средоточенных масс или сознательное пренебрежение теми или иными инерционными силами можно учесть заданием нулевых зна­ чений соответствующих компонент матрицы масс. В этой связи, уместно напомнить, что при использовании современных компью­ теров и современного программного обеспечения не имеет принци­ пиального значения, какие уравнения обрабатываются: чисто диф­ ференциальные или смешанные, алгебраические и дифференциаль­ ные; пятого или пятисотого порядка; с нулевыми или ненулевыми компонентами матриц. Естественно, размеры матриц должны соот­ ветствовать возможностям программного обеспечения.

Проиллюстрируем сказанное на примере. Двухшарнирная порталь­ ная рама несет сосредоточенную массу в середине пролета (рис. 18.1,а). Собственной массой стержней рамы по сравнению с сосредоточен­ ной массой пренебрегаем. Инерцией вращения сосредоточенной массы как точечной также пренебрегаем. За счет изгибных дефор­ маций стержней рамы сосредоточенная масса может перемещаться по вертикали и горизонтали. Следовательно, система имеет две ди­ намические степени свободы. Вектор сил инерции, вектор ускоре­ ний и матрица масс будут второго порядка:

561

Рис. 18.1

При компьютерном расчете данной системы, допустим, на основе общих уравнений строительной механики должна быть рассмотрена ее дискретная расчетная схема (рис. 18.1,б), состоящая из четырех стержней и трех подвижных жестких узлов. Общая степень свободы данной дискретной системы при пренебрежении продольными де­ формациями стержней равна пяти: три угла поворота трех жестких узлов и два линейных смещения. Вводимые в динамический расчет (см. ниже) вектор инерционных сил, матрица масс и вектор ускоре­ ний системы будут уже пятого порядка:

Силы инерции вращения по первым трем угловым направлениям входят в общий вектор сил инерции чисто формально. При даль­ нейшем динамическом расчете они автоматически будут получать­ ся равными нулю. Соответствующие угловые ускорения будут ум­ ножаться на нулевые значения соответствующих обобщенных масс (моментов инерции соответствующих масс, из которых две отсутст­ вуют, а инерцией вращения третьей, присутствующей массы мы пренебрегаем). Именно поэтому первые три компоненты матрицы масс пятого порядка приняты равными нулю.

Если в состав расчетной схемы сооружения входят элементы (стержни) с распределенными массами, то точные дифференциальные

562

уравнения движения такой системы могут быть записаны только в ча­ стных производных. Однако, чтобы применить для динамического расчета компьютерные технологии, расчетная динамическая модель такого сооружения должна по-прежнему рассматриваться дискретной. Распределенные силы инерции должны быть заменены эквивалентны­ ми узловыми силами инерции. При этом в зависимости от принятой модели учета распределенных масс квадратная матрица масс в выра­ жении (18.4) может оказаться не диагональной, а заполненной.

Действительно, если стержень с равномерно распределенной массой интенсивностью m (рис. 18.2,а) совершает преимуществен­

но поступательное движение с ускорением wn = Wk = w , то на него

действует равномерно распределенная сила инерции:

Эквивалентной дискретной расчетной моделью будет тот же стержень, но уже невесомый, с двумя равными точечными узловы­ ми массами (рис. 18.2,б):

то есть матрица масс будет диагональной.

563

w(x) = const

Теперь предположим, что рассматриваемый стержень с равно­ мерно распределенной массой, оставаясь прямолинейным (изгибная жесткость E J ^ да), будет двигаться так, что, допустим, верти­ кальная составляющая ускорений его точек будет изменяться по линейному закону w(x) (рис. 18.3,а). В данном случае на стержень будет действовать вертикальная составляющая сил инерции, также распределенных по линейному закону:

Эквивалентной дискретной моделью будет тот же стержень с двумя вертикальными узловыми силами инерции (рис. 18.3,б):

ml

J n = — — (2wn + wk ); 6

(18.11)

ml

J k = --- — (wn + 2wk X 6

заменяющими распределенные силы инерции.

564

Рис. 18.3

Матричная зависимость (18.4) в этом случае примет вид:

то есть матрица масс стала заполненной. Расчетная модель такого стержня будет дискретной, но уже нельзя сказать, что это модель с со­ средоточенными узловыми массами. Это будет дискретная модель с некоторыми эквивалентными сосредоточенными массами M 1 и M 2 ,

расположенными между узлами (рис. 18.3).

В общем случае определение сосредоточенных узловых сил инерции, эквивалентных распределенным силам инерции (или со­ средоточенным внеузловым силам инерции) должно производиться точно так же, как и определение эквивалентных узловых нагрузок от произвольных местных нагрузок, приложенных к стержням меж­ ду узлами. Однако действительный закон распределения инерцион­ ных сил по длине стержня заранее не известен, так как не известны динамические перемещения деформируемого стержня, которые следует определять с учетом его изгибных деформаций, и, следова­ тельно, не известны ускорения масс, расположенных на стержне. Характер динамических деформаций стержня становится более

565

сложным, и речь должна идти о приближенном определении обоб­ щенных сил инерции и обобщенных масс на основе общих методов механики и тех или иных дополнительных предположений о харак­ тере движения и форме деформирования элементов, несущих рас­ пределенные массы.

18.3. Силы сопротивления движению

Помимо динамических нагрузок и сил инерции на характер колеба­ ний деформируемых систем существенное влияние оказывают силы сопротивления движению. Природа сил сопротивления сложна и до сих пор еще не выявлена полностью. В динамике сооружений наиболее ши­ роко применяется гипотеза о пропорциональности сил сопротивления движению скоростям движущихся масс. В динамике дискретных систем полагается, что силы сопротивления движению Ф ^) являются внеш­ ними узловыми, что они пропорциональны и противоположны скоро­ стям перемещений узлов, то есть могут быть аналитически представле­ ны следующей векторно-матричной формулой:

где H - квадратная матрица коэффициентов сопротивления, определяемых опытным путем.

Чаще всего с целью упрощения, как аналитических преобразова­ ний, так и вычислений, матрицу сопротивления H полагают диаго­ нальной или равной линейной комбинации матрицы масс M и матри­ цы внешней жесткости R деформируемой колебательной системы:

где коэффициенты пропорциональности к1 и к2 определяются на основании опытных данных.

При этом предполагается, что первое слагаемое в (18.14) учитывает внешнее сопротивление колебаниям, а второе слагаемое - внутреннее неупругое сопротивление материала сооружения деформациям.

566

Таким образом, можно сказать, что в некоторый произвольный момент времени в процессе динамического деформирования на уз­ лы движущейся (колеблющейся) дискретной системы действуют

суммарные внешние динамические силы FD в составе заданных

динамических нагрузок F (t), вызванных ими сил инерции J ( t) и

неизбежных сил сопротивления движению Ф ^) :

18.4. Виды колебаний

Все динамические нагрузки вызывают колебания сооружений. Если динамическую систему каким-либо образом, например, отклонением или толчком, вывести из состояния равновесия, а затем предоставить самой себе, то система будет совершать свободные колебания. Свобод­ ные колебания упругой системы происходят при отсутствии непрерыв­ но действующих динамических нагрузок. Они поддерживаются энерги­ ей, сообщенной системе в момент начала колебаний. Энергия колеблю­ щейся системы состоит из потенциальной энергии деформаций системы и кинетической энергии движущихся масс. В процессе свободных коле­ баний происходит непрерывный обмен: потенциальная энергия перехо­ дит в кинетическую, а затем кинетическая энергия переходит в потенци­ альную. Если предположить, что потерь энергии не происходит, то есть не учитывается внешнее и внутреннее сопротивление движению систе­ мы, то ее свободные колебания будут длиться бесконечно долго. Такие идеализированные колебания называют свободными незатухающими.

Неизбежные внешние и внутренние сопротивления движению не­ прерывно поглощают часть энергии колеблющейся системы. Чем боль­ ше силы сопротивления, тем быстрее гасятся колебания. Таким образом, в реальных условиях свободные колебания упругой системы являются затухающими, то есть их длительность ограничена во времени.

Если на систему непрерывно действует динамическая нагрузка, то она непрерывно будет сообщать системе энергию, преодолевать силы сопротивления и поддерживать колебательное движение. Ко­ лебания сооружений при непрерывно действующих динамических нагрузках называют вынужденными.

567

Колебания могут быть периодическими и хаотическими. Следует понимать, что сумма двух периодических движений с несоизмери­ мыми частотами уже не является периодическим движением.

Колебания можно классифицировать и по виду вызываемых ими деформаций. Колебания называют изгибными или поперечными, если они вызывают преимущественно деформации изгиба стержней и перемещения, перпендикулярные оси стержня. Колебания могут быть продольными, крутильными или крутильно-изгибными, если они вызывают соответственно продольные, крутильные или кру- тильно-изгибные деформации.

Колебания могут быть линейными и нелинейными. Линейные ко­ лебания имеют место в линейно деформируемых системах и описыва­ ются линейными дифференциальными уравнениями. Методы решения линейных дифференциальных уравнений движения разработаны дос­ таточно полно. Перемещения линейной колебательной системы долж­ ны быть малы по сравнению с габаритами сооружения.

При больших перемещениях в колебательной системе нарушает­ ся линейная зависимость между нагрузками и деформациями, сис­ тема становится геометрически нелинейной. Колебания геометри­ чески нелинейной системы описываются нелинейными дифферен­ циальными уравнениями. Такие колебания называют нелинейными. Нелинейными будут колебания и в системах, материал которых не следует закону прямой пропорциональности, закону Гука (физиче­ ская нелинейность). Методы решения нелинейных дифференциаль­ ных уравнений движения более трудоемки. Для исследования нели­ нейных колебаний применяют специальные аналитические (асим­ птотические) и численные методы.

Колебания называют параметрическими, если они вызываются периодическим изменением параметров сооружения, например, длины стержней или их жесткости. Параметрические колебания описываются дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, чаще всего нелинейными. Их решения обладают специфическими свойствами и требуют также применения специ­ альных методов.

В данном курсе будут рассмотрены только линейные колебания, то есть малые колебания линейно деформируемых систем.

568

18.5. Задачи и методы динамики сооружений

Задачи динамики сооружений, как правило, являются повероч­ ными, не связанными с прямой задачей инженерного расчета - под­ бором сечений элементов сооружений.

Первую, основную задачу динамики сооружений можно сформу­ лировать следующим образом.

По заданным геометрическим и жесткостным параметрам со­ оружения требуется определить частоты (периоды) и формы сво­ бодных (собственных) колебаний этого сооружения. Порой первая задача динамики сводится к определению только наименьшей соб­ ственной частоты, или к определению собственных частот в задан­ ном частотном диапазоне, или к проверке системы на резонанс.

Вторая задача динамики сооружений, называемая динамиче­ ским расчетом сооружений, формулируется так.

По заданным геометрическим и жесткостным параметрам сооруже­ ния и динамическим нагрузкам требуется определить динамические усилия и динамические перемещения колеблющейся (движущейся) сис­ темы. При этом, как правило, инженера интересует не точный закон из­ менения во времени, допустим, перемещений узлов или изгибающих моментов в элементах сооружения, а их экстремальные значения.

Сточки зрения жесткости и прочности сооружения, это будут ампли­ туды перемещений, амплитуды усилий, амплитуды напряжений и т. д., вызванные, допустим, вибрационной нагрузкой. Таким образом, под ди­ намическим перемещением некоторого узла следует понимать амплиту­ ду этого перемещения. Ее берут либо со знаком плюс, либо со знаком минус. Если колебания системы хаотические, то в результате динамиче­ ского расчета ищут экстремальные значения перемещений и усилий.

Сточки зрения воздействия колебаний на людей, искомыми мо­ гут быть амплитуды перемещений, амплитуды скоростей и ампли­ туды ускорений, так называемые виброперемещения, виброскоро­ сти и виброускорения.

Решение задач динамики сооружений базируется на известных мето­ дах общей механики и вычислительной математики. Для составления дифференциальных уравнений движения применяют два основных ме­ тода механики: кинетостатический метод и энергетический метод.

Кинетостатический метод заключается в том, что движущееся сооружение в любой момент времени рассматривается как безмас-

569

совое, находящееся в равновесии (в покое) под действием мгновен­ ных динамических сил, а именно: заданных динамических нагрузок, сил сопротивления движению и сил инерции, заменяющих действие отброшенных ускоряющихся масс. Мгновенные динамические пе­ ремещения и динамические усилия рассматриваются как статиче­ ские, вызванные мгновенными значениями динамических сил. Да­ лее применяются методы статики сооружений: составляются урав­ нения равновесия, деформаций, или используются общие методы механики, например, принцип возможных перемещений. Для мно­ гоэлементных систем применяют дискретную расчетную схему и составляют общие уравнения строительной механики: статические (с учетом сил инерции и сил сопротивления), геометрические, фи­ зические. Или применяют метод конечных элементов.

Энергетический метод основан на применении принципа стационар­ ности полной энергии системы и вытекающих из этого принципа урав­ нениях Лагранжа второго рода. В такой постановке энергетический ме­ тод применяется для точного описания движения динамических систем.

Энергетический метод может быть применен и для приближен­ ного описания свободных незатухающих колебаний сложных сис­ тем. В этом случае используется закон сохранения энергии, соглас­ но которому сумма потенциальной и кинетической энергии в про­ цессе свободных незатухающих колебаний остается постоянной:

T + U = const,

где T - кинетическая энергия; U - потенциальная энергия.

Для решения дифференциальных уравнений движения в дина­ мике сооружений применяют аналитические и численные методы.

Решение линейных дифференциальных уравнений движения с по­ стоянными коэффициентами сводят к решению систем линейных ал­ гебраических уравнений, однородных (свободные колебания, полная или частичная проблема собственных значений) или неоднородных (действие вибрационной нагрузки). Решение линейных дифференци­ альных уравнений движения с переменными коэффициентами, нели­ нейных дифференциальных уравнений движения и дифференциаль­ ных уравнений движения при непериодических нагрузках ведут на компьютерах, как правило, численными методами. Либо численными

570