Строительная механика

нагрузок. Примем, что нагрузки пропорциональны одному обще­ му параметру F .

При образовании балочных механизмов в пролетах следует учи­ тывать, что на опорах, на которых меняются несущие способности сечений, а изгибающие моменты, исходя из условия равновесия уз­ лов, слева и справа одинаковы, пластические шарниры будут воз­ никать в сечениях, принадлежащих пролету с меньшей несущей способностью. Для опоры В, например, пластический шарнир воз­ никнет в сечении справа от опоры, и будет воспринимать предель­

ный момент М ^^)д. На опоре С пластический шарнир возникнет

также в сечении справа от опоры и будет воспринимать предельный

момент М {'^ед. Балочные эпюры будем подвешивать к линиям пре­

дельных опорных моментов: ab - в первом пролете, Ьс - во втором и cd - в третьем пролете (рис. 17.9,в). В результате балочные эпюры изгибающих моментов впишутся в эпюру несущих способностей рассматриваемой балки так, как показано на рис. 17.9,в.

Рассмотрим образование балочных механизмов в каждом из пролетов отдельно. В первом пролете такой механизм образуется при появлении двух пластических шарниров в сечениях К (под ле­ вой силой F) и В (справа от опоры В). Соотношение между ордина­ тами балочной эпюры изгибающих моментов и ординатами эпюры несущих способностей определяется равенством:

— = 12 М пред+тМ пред ,

из которого найдем

Второй пролет превратится в механизм (рис. 17.9,г) при образо­ вании пластических шарниров в сечениях В (справа от опоры), Т (под силой 2F) и С (справа от опоры). Из соотношения ординат ба­ лочной эпюры и ординат эпюры несущих способностей пролета следует:

551

F I _ М М пред + 0,6М пред

откуда находим

В третьем пролете балочный механизм возникнет при появлении пластических шарниров в сечениях С (справа от опоры), D (в сечении, примыкающем к защемлению) и в середине пролета. Из равенства

9 2 ' _ 0.6М„„0+ о,6М

следует:

Предельное значение параметра нагрузки F находится из условия:

Предельному состоянию соответствует образование механизма разрушения во втором пролете балки (рис. 17.9,г).

Рассмотрим пример расчета однопролетной балки с кусочно­ постоянной жесткостью на участках АС и CD (рис. 17.10). Для пе­ рехода балки в предельное состояние необходимо образование двух пластических шарниров. Один из них возникнет в сечении, примы­ кающем к защемлению, а второй может появиться либо в сечении под силой F, либо в сечении С, то есть там, где изменяется жест­ кость балки. Примем, что предельные моменты сечений балки на

участке АС равны М пред, а на участке CD - 0,6М пред. Эпюра несу­

щих способностей сечений балки показана на рис. 17.10,в. Балочная эпюра изгибающих моментов показана на рис. 17.10,б.

552

мента под силой F равным сумме соответствующих ординат на эпюре несущей способности, получим уравнение:

из которого найдем предельную нагрузку для рассматриваемой балки:

В рассмотренных примерах решались задачи по определению предельных нагрузок на неразрезные балки, несущая способность которых полагалась известной (были заданы предельные моменты, которые могли воспринять сечения).

На практике иногда требуется решить обратную задачу: по за­ данной (предельной) нагрузке в каждом пролете необходимо найти предельные изгибающие моменты, а по ним подобрать размеры се­ чений балки. Порядок действий при этом следующий:

а) в каждом пролете строится балочная эпюра изгибающих моментов;

б) в каждом пролете на балочных эпюрах проводятся осевые ли­ нии таким образом, чтобы максимальные ординаты балочных эпюр делились пополам (в случае равенства предельных моментов при растяжении верхних волокон и нижних волокон балки) или в дру­ гом соотношении, если предельные моменты при растяжении верх­ них волокон и нижних волокон балки разные; при этом на каждой промежуточной опоре оказываются два разных предельных момен­ та, соответствующие двум смежным пролетам;

в) устанавливается окончательное положение осевой линии балки: положение осевой линии в пролете с наименьшими мо­ ментами принимается за окончательное, в дальнейшем произво­ дится выравнивание осевой линии последовательным перехо­ дом от пролета к пролету в порядке возрастания значений пред­ варительно выровненных моментов; на каждой промежуточной

555

опоре за окончательное значение предельного опорного момен­ та принимается меньшее из двух;

г) по найденным значениям предельных изгибающих моментов вычисляются пластические моменты сопротивления Wm и подби­ раются размеры поперечных сечений.

ГЛАВА 18

О СНО ВН Ы Е П О Н ЯТИ Я ДИНАМ ИКИ СО О РУ Ж ЕН И Й

18.1. Динамические нагрузки и их классификация

Динамическими называют такие нагрузки или другие внешние воздействия на сооружение, которые изменяются во времени доста­ точно быстро, сообщая массам сооружения заметные ускорения, так что возникающие при этом силы инерции существенно влияют на напряженно-деформированное состояние сооружения. Если инер­ ционные силы, вызываемые нагрузками, изменяющимися во време­ ни, малы по сравнению с самими нагрузками, то такие нагрузки можно приближенно отнести к статическим нагрузкам.

Динамические нагрузки могут изменяться во времени и в про­ странстве самым произвольным образом. В основном можно выде­ лить следующие характерные виды динамических нагрузок.

Импульсивная нагрузка характерна быстрым развитием и бы­ стрым исчезновением, почти мгновенным действием. Импульсив­ ные нагрузки вызывают резкое изменение скорости масс сооруже­ ния. Такие нагрузки вызываются ударной волной, порожденной различными взрывами, внезапными порывами ветра и т. п.

Ударная нагрузка вызывается падением различных тел на со­ оружение, работой копров, кузнечных молотов и т. д. Характеризу­ ется резким изменением скорости соударяющихся масс. Если упав­ шее тело остается на сооружении, то изменяется общая масса со­ оружения, а вес упавшего тела рассматривается как дополнитель­ ная, внезапно приложенная нагрузка.

Внезапно приложенная нагрузка является частным случаем ударной (падение тела с нулевой высоты). Появляется на сооруже­ нии внезапно и остается постоянной с течением времени.

556

Неподвижная периодическая нагрузка характерна тем, что многократно повторяется через определенные промежутки времени (периоды), оставаясь приложенной к сооружению в одном опреде­ ленном месте. Аналитически произвольную периодическую нагруз­ ку можно описать зависимостью:

F (t) = F (t + T ),

где F - произвольная периодическая функция; t - время как независимая переменная;

T- период изменения нагрузки во времени, то есть время одного полного цикла изменения периодической нагрузки. Малая по значению периодическая нагрузка может ино­ гда создать большой динамический эффект.

Периодическую нагрузку можно разложить в ряд Фурье по сину­ сам (или косинусам), а результирующую реакцию линейно дефор­ мируемого сооружения на периодическое воздействие представить как сумму реакций от постоянной составляющей и от каждой гар­ монической составляющей в отдельности. Таким образом, для оп­ ределения реакции сооружения на любую периодическую нагрузку достаточно уметь определять его реакцию на действие внезапно приложенной постоянной во времени нагрузки и на действие на­ грузки, изменяющейся по закону синуса (или косинуса).

Вибрационная нагрузка. Нагрузку, изменяющуюся по закону си­ нуса (или косинуса), называют вибрационной, или гармонической. Гармоническая, вибрационная нагрузка является частным случаем периодической нагрузки. Не нарушая общности, вибрационную на­ грузку можно представить в виде:

где F - амплитуда вибрационной нагрузки;

в- круговая, или циклическая частота изменения нагрузки во времени, выражающая количество циклов (периодов) ее

изменения за время 2п секунд; сумма в скобках под знаком синуса называется фазой измене­

ния вибрационной нагрузки;

р - начальная фаза изменения нагрузки (при t = 0).

557

Группу вибрационных сил, действующую на сооружение, приня­ то характеризовать вектором:

Амплитуды F группы вибрационных сил могут быть заданы про­ извольно. Но предполагается, что во времени все вибрационные силы изменяются с одной и той же частотой в , то есть синфазно, причем начальная фаза группы вибрационных сил полагается нулевой.

Целью динамики сооружений является определение экстремаль­ ных усилий и перемещений, а не установление точного характера движения отдельных масс сооружения. Поэтому представление вибрационной нагрузки в виде (18.2) является наиболее неблаго­ приятным для сооружения.

Природа возникновения вибрационных нагрузок может быть са­ мой разнообразной. Чаще всего вибрационные нагрузки порожда­ ются неуравновешенными вращающимися частями машин и меха­ низмов, установленных на сооружении. Вибрационные нагрузки вызывают гармонические колебания сооружений. Колебания высо­ кой частоты принято называть вибрациями.

Подвижная нагрузка характеризуется изменением своего по­ ложения на сооружении. Может быть постоянной, периодической, ударной, импульсивной. Как правило, подвижная нагрузка создает­ ся разнообразными транспортными средствами: поездами, автомо­ билями, мостовыми кранами, организованными колоннами людей или неорганизованной толпой и т. п.

Сейсмическая нагрузка представляет собой беспорядочные движения почвы, толчки, удары при землетрясениях, подземных взрывах, просадках почвы на подрабатываемых территориях.

Динамический расчет сооружений на сейсмические воздействия от землетрясений или взрывов, а также на динамическое воздействие вет­ ра, на действие подвижной нагрузки, которая меняет с течением вре­ мени свое положение, не меняя направления действия и абсолютного значения, в конечном итоге сводится к расчету на действие некоторой системы эквивалентных вибрационных, гармонических сил. Именно поэтому в динамике сооружений изучению влияния на сооружение вибрационных нагрузок уделяется первостепенное значение.

558

18.2. Силы инерции и степень свободы деформируемой системы

При динамическом нагружении деформации сооружения зависят не только от уровня внешних воздействий, но и от уровня возни­ кающих сил инерции, с которыми ускоряющиеся массы воздейст­ вуют на каркас сооружения. По определению, сила инерции прямо пропорциональна произведению массы на ускорение и направлена против направления ускорения.

В выбираемой динамической расчетной схеме сооружения пробле­ ма расположения масс является первостепенной. От этого зависит за­ кон распределения инерционных сил. В современной динамике со­ оружений принято рассматривать два основных вида расчетных схем:

-расчетные схемы с дискретным расположением сосредото­ ченных, точечных масс, движение которых характеризуется конеч­ ным числом параметров (степеней свободы) и описывается обыкно­ венными дифференциальными уравнениями;

-расчетные схемы с распределенными массами, движение ко­ торых характеризуется функциями времени и пространственных координат (бесконечное число степеней свободы) и описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

Для анализа колебаний деформируемых систем численными ме­ тодами на основе современных компьютерных технологий наиболее приспособлены расчетные схемы с сосредоточенными массами, то есть системы с конечным числом степеней свободы. В таких рас­ четных схемах все элементы (стержни) сооружения считаются не­ весомыми, а их массу и массу полезной нагрузки заменяют сосре­ доточенными массами, расположенными дискретно, в узловых точ­ ках. В этом случае выражение для сил инерции получается наибо­ лее простым. Для одной сосредоточенной ускоряющейся массы

m выражение для вычисления силы инерции J имеет вид:

dt

где w = Z - ускорение массы; Z - перемещение массы.

559

Для нескольких ускоряющихся масс сооружения применяют векторно-матричные обозначения:

d t2

где J - вектор обобщенных сил инерции (сосредоточенных сил по направлению линейных перемещений масс и сосредоточен­ ных моментов по направлению угловых перемещений масс); M - квадратная, как правило, диагональная матрица сосредо­

точенных масс и моментов инерции сосредоточенных масс;

Z - вектор ускорений масс (вектор вторых производных по времени от перемещений масс, линейных и угловых).

Размерность (порядок) вектора сил инерции, матрицы масс и векто­ ра ускорений в выражении (18.4) зависит от степени свободы дефор­ мируемой системы. В классической динамике сооружений степень свободы колеблющейся деформируемой системы принято рассматри­ вать как количество независимых геометрических параметров, опреде­ ляющих возможные перемещения только движущихся масс. Поэтому следует различать динамическую степень свободы и общую степень свободы дискретной деформируемой системы. Общая степень свобо­ ды дискретной деформируемой системы рассматривается как количе­ ство независимых геометрических параметров, определяющих воз­ можные перемещения всех ее узлов. Такое понятие степени свободы эквивалентно понятию кинематической неопределимости при расчете деформируемых систем методом перемещений. Динамическая же сте­ пень свободы колеблющейся деформируемой системы относится только к движущимся массам. Различие состоит в том, что в направле­ нии динамических степеней свободы развиваются силы инерции, все остальные направления остаются "безынерционными".

Исторически понятие динамической степени свободы было вве­ дено с целью снижения порядка получаемых систем итоговых урав­ нений, подлежащих решению при анализе колебаний. Если речь идет о динамической степени свободы, то решению подлежит сис­ тема дифференциальных уравнений движения (система дифферен­ циальных уравнений второго порядка в обыкновенных производных)

560