Строительная механика

Упругий момент сопротивления для прямоугольного сечения,

как известно, равен b h 2/ 6 . Следовательно, несущая способность

элемента, имеющего прямоугольное сечение, при его работе в пла­ стической стадии в 1,5 раза выше, чем при его работе в пределах упругости. Обозначив отношение пластического момента сопро­ тивления Wm к упругому W через у, получим:

Коэффициент у для всех форм сечений больше единицы. При­ ведем его значение для ряда распространенных форм сечений: для прямоугольного сечения - у = 1,5; для сплошного круглого сечения - у = 1,7; для тонкостенного кольца - у = 1,27; для про­ катных двутавров - у = 1,5 ... 1,177.

Полученная для предельного момента формула (17.4) справедли­ ва для чистого изгиба (Q = N = 0). В случае поперечного изгиба, при действии в сечении изгибающего момента и поперечной силы эта формула несколько изменится и ее можно записать в виде:

где v - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения элемента.

Следует отметить, что при расчете балок и рам поперечные силы не оказывают большого влияния на несущую способность сечения и поэтому ими можно пренебречь, приняв v = 1.

При разных значениях пределов текучести о у и о* материала

элемента предельный момент в сечении элемента будет определять­ ся выражением:

542

ловий равновесия и прочности элементов по нормальному сечению найти предельную нагрузку для каждой схемы. Наибольшая из на­ грузок принимается за предельную для данной системы. При этом должна быть уверенность, что рассмотрены все возможные вариан­ ты распределения усилий. Так как на практике не всегда все воз­ можные варианты распределения усилий могут быть установлены, то на основе статической теоремы можно получить только нижнюю оценку для предельной нагрузки.

В соответствии с кинематической теоремой истинным механиз­ мом разрушения является тот, которому соответствует наименьшая предельная нагрузка. В общем случае, когда нельзя быть уверен­ ным, что рассмотрены все возможные механизмы разрушения, ки­ нематическая теорема дает верхнюю оценку предельной нагрузки.

Кинематический метод расчета сооружений базируется на прин­ ципе возможных перемещений. Составляя уравнение возможных работ внешних и внутренних сил для механизма разрушения как для системы с одной степенью свободы, определяют предельную нагрузку при однопараметрическом нагружении. К внутренним си­ лам в жесткопластической системе относятся предельные моменты М пред в пластических шарнирах изгибаемых систем и предельные

силы N nped в элементах, работающих на растяжение-сжатие.

Уравнение возможных работ внешних и внутренних сил для ме­ ханизмов разрушения записывается в виде:

Из выражения (17.6) находится предельная нагрузка F npe£) для

рассматриваемого механизма разрушения.

Действительной форме разрушения, которая должна реализо­ вываться в системе, будет соответствовать тот механизм, для кото­ рого Епред минимальна. За расчетную предельную нагрузку прини­

мается наименьшая из всех F пред, полученных для всех возможных

механизмов разрушения.

546

17.5. Расчет стержневых систем по несущей способности

Статически определимые системы, как уже указывалось, имеют минимально необходимое число связей для сохранения неизменяе­ мости. Для перехода их в предельное состояние достаточно, чтобы хотя бы в одном сечении возникло предельное состояние (появился пластический шарнир). Таким сечением будет то, в котором напря­ жения наибольшие, и в процессе возрастания нагрузки в нем воз­ никнет предельное состояние.

Для перехода статически неопределимой системы в предельное состояние в ней необходимо появление, в общем случае, Л + 1 пла­ стических шарниров.

Так как рассматривается однопараметрическая нагрузка, то в процессе ее возрастания можно отследить последовательность по­ явления в исследуемой системе пластических шарниров. Анализи­ руя каждый раз после появления очередного пластического шарни­ ра систему на геометрическую изменяемость, можно установить, в конечном итоге, механизм разрушения и соответствующую ему предельную нагрузку.

Рассмотренные ранее методы расчета по несущей способности могут быть применены к любым стержневым системам. Наиболее часто они используются при расчете балочных систем, в частности, неразрезных балок.

При простом (однопараметрическом) нагружении неразрезной балки ее предельное состояние определяется предельным состояни­ ем пролета, работающего в самых невыгодных условиях. Предель­ ное состояние промежуточного пролета характеризуется появлени­ ем, как правило, трех пластических шарниров (рис. 17.8,г), а в крайних пролетах, в случае шарнирного опирания, - двух.

Рассмотрим неразрезную балку, представленную на рис. 17.8,а. Принимаем, что балка имеет постоянную жесткость, значения пре­

дельных моментов известны и равны М пред.

Эпюра изгибающих моментов в балке от действия заданных нагрузок при работе материала в упругой стадии показана на рис. 17.8,б. В случае однопараметрической нагрузки предельное состояние, в первую очередь, возникнет в том пролете, который

547

наиболее нагружен. Наименьшее значение параметра нагрузки F будет соответствовать этому пролету.

Определим для рассматриваемой балки предельное значение па­ раметра нагрузки из условия образования механизма разрушения в каждом из пролетов. Для этого приравняем наибольшее значение балочного изгибающего момента (рис. 17.8,б) в каждом из пролетов (под силами либо в средних сечениях, если действует равномерно распределенная нагрузка) соответствующим значениям предельных моментов М пред (рис. 17.8,в). В результате получим:

а) для первого пролета:

Наименьшее значение имеет параметр нагрузки для второго про­ лета. Это значение будет предельным для всей рассматриваемой неразрезной балки при однопараметрическом нагружении:

М пред

Fnved = F%d = 5,333

I

Предельное состояние рассматриваемой балки будет характери­ зоваться образованием механизма разрушения во втором пролете (рис. 17.8,г).

548

для второго:

F = F (2) ,

пред пред

для третьего:

F = F (3) .

пред пред

Для определения предельной нагрузки в пролете, который дос­ тиг предельного состояния, используется, чаще всего, кинематиче­ ский метод. Предельная нагрузка определяется из уравнения воз­ можных работ внешних и внутренних сил.

Вместо составления уравнения возможных работ можно приме­ нять способ выравнивания изгибающих моментов, суть которого состоит в совмещении балочной эпюры изгибающих моментов с эпюрой несущих способностей сечений каждого пролета балки (рис. 17. 8,в).

Особенно просто этим способом определяется предельная на­ грузка для неразрезной балки постоянного сечения с одинаковой несущей способностью всех пролетов.

Для балок, у которых сечение меняется на опорах, эпюра несу­ щих способностей слева и справа от опор будет иметь разные зна­ чения предельных моментов. В этом случае при вписывании балоч­ ных эпюр в эпюру несущих способностей сечений в расчет нужно принимать меньшие предельные моменты на опорах, подвешивая балочную эпюру к линии предельных опорных моментов.

Рассмотрим балку, представленную на рис. 17.9,а, жесткость ко­ торой различна в разных пролетах. Предельные моменты для сече­ ний в пролетах примем следующими:

Эпюра несущих способностей сечений представлена штриховы­ ми горизонтальными линиями на рис. 17.9,в.

На рис. 17.9,б показаны балочные эпюры изгибающих момен­ тов в пролетах балки от действующих в этих пролетах внешних

550