В матричной форме записи связь вектора обобщенных внутренних
сил M |
с вектором относительных деформаций k принимает вид: |
|
|
|
M = C k , |
(16.52) |
где |
C - матрица физических констант: |
|
|
|
1 |
A |
0 |
|
C = D |
A |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 —A |
|
|
2 |
|
|
|
|
Если в зависимость (16.52) подставим k из (16.50), то получим выражение для вектора обобщенных внутренних сил M через обобщенные перемещения Z :
8. Вариация плотности потенциальной энергии деформации элемента
с учетом выражений (16.50) и (16.53) запишется так:
5 A = (SZ f (H _1f B TC B H _1 Z .
Для всего объема конечного элемента вариация потенциальной энергии деформации будет иметь вид:
5 A = \ 5 A dv = j( 5 Z f (H ~1)f B TC B H ~ lZdv |
(16.55) |
V
или, поскольку H и Z |
не зави сят о т коорди н ат x и y , |
|
5 A = И . |
(H —1. |
j B T C B dv H —1 Z . |
(16.56) |
9. В озм ож н ая р аб о та у зл о вы х си л F |
на и зм ен ен и ях (вариациях) |
у зл о вы х п ерем ещ ен и й |
5 Z равна: |
|
|
|
5 W |
= ( d Z )T |
F . |
(16.57) |
В соответствии с принципом возм ож ны х перемещ ений 5 A = 5 W , поэтом у равен ства (1(5.55) и (16.56) п озволяю т связать вектор у зл о
вы х си л F и вектор |
Z : |
|
F = |
j B T C в dv H _1 Z . |
(16.58) |
10. М атрица ж есткости (матрица реакций) конечного элемента R э |
п озволяет вы рази ть вектор си л F через вектор Z : |
|
|
F = Rэ Z . |
(16.59) |
С равн и вая вы раж ен и я (16.58) и (16.59), н айдем м атрицу ж естко
сти конечного элем ента: |
|
Rэ = |
j B T C в dv H -1 |
М атри ц а R э (ни ж н и й |
треугольн и к) для п рям оугольн ого эл е |
м ен та пласти н ы представлен а в табл. 16.2.
16.15. Общие замечания о методе конечных элементов
В |
н астоящ ей главе и злож ены лиш ь основы М К Э . Д оп олн и тель |
ны е |
сведения, детали ровки кусочн о -элем ен тн ы х ап п рокси м ац и й |
вы сш его п орядка и другие, в том чи сле при кладн ы е аспекты |
м ето |
да, м ож но н ай ти в |
м н огочи слен н ой у чебн о -м етод и ческой |
и |
н ау ч |
ной литературе. |
|
|
|
В соврем ен н ы х |
п роектн о -вы чи сли тельн ы х ком п лексах |
(П В К ), |
п ред н азначен н ы х для чи слен н ого и сследован и я на Э В М н ап ряж ен н о -деф орм и рован н ого состоян и я и усто й чи во сти стерж н евы х и кон тинуальны х систем, как правило, реализован М КЭ. С пом ощ ью П В К
|
|
|
|
|
вы полняется исследован и е ш ирокого |
круга систем : п лоски х и п р о |
стран ствен н ы х стерж н евы х систем , |
п рои звольн ы х п ласти н чаты х и |
о болочечн ы х |
систем , р ам н о -связевы х |
кон струкц и й |
вы сотн ы х зд а |
ний, п ли т н а |
грунтовом основании, |
м н огослой н ы х |
конструкций, |
м ем бран, м асси вн ы х тел. Р асч ет ведется на статические и ди н ам и ческие нагрузки.
В состав П В К вклю чено больш ое количество типов КЭ: стержни;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
четы рехугольны е |
и треугольны е элем енты |
плиты; оболочечны е КЭ |
(и зо тр о п н ы й |
и |
о р то тр о п н ы й |
м атери ал); |
эл ем ен ты |
д л я р асч ета |
м н огослой н ы х |
п ологи х п ласти н и оболочек, |
учи ты ваю щ и е |
меж - |
слоевы е сд ви ги |
и кривизну; четы рехугольн ы е |
и |
треугольн ы е |
эл е |
м енты плиты |
н а уп р у го м основании; элем ен ты |
в виде тетраэдра, |
п араллелепипеда, восьм и гран н и ка общ его |
вида; |
сп ециальны е |
эл е |
м енты , м одели рую щ и е связи |
кон ечной ж естко сти и |
др. Р азви тая |
би бли отека к он ечны х элем ен тов, эф ф екти вн ы е м етоды и алгоритм ы реш ен и я систем у р авн ен и й вы сокого п оряд ка и соврем енны е бы ст родей ствую щ и е Э В М п о зволяю т реш ать задачи с больш им ко ли ч е ством неизвестны х.
ГЛ А В А 17
ОСНО ВЫ РАСЧЕТА СТЕРЖ НЕВЫ Х СИ СТЕМ ПО Н ЕС У Щ ЕЙ СП О СО БН О СТИ
17.1.Общие понятия
Рассмотренные в предыдущих главах методы расчета статически определимых и статически неопределимых систем позволяют опре делять внутренние силы и перемещения только тогда, когда мате риал их элементов подчиняется закону Гука. Такой подход не по зволяет определить полную несущую способность сооружения, так как разрушение сооружений обычно происходит за пределами уп ругости, при появлении в элементах сооружений пластических де формаций. Определить предельную несущую способность соору жения с учетом пластических деформаций позволяет метод пре дельного равновесия. В его основе лежит рассмотрение равновесия сооружения в момент, предшествующий его разрушению, когда со оружение сохраняет еще свою целостность, и для него можно еще составить уравнения равновесия. Нагрузки, соответствующие тако му состоянию, называют предельными.
Расчеты за пределами упругости, связанные с определением предельных нагрузок, основываются на использовании упрощенных диаграмм деформирования, устанавливающих зависимость между напряжениями а и продольными деформациями материала s. Так, для достаточно пластичных материалов, например, строительных сталей, действительная диаграмма а - s (рис. 17.1,а) заменяется идеализированной диаграммой упругопластического материала (рис. 17.1,б), впервые предложенной Прандтлем. В соответствии с этой диаграммой закон Гука соблюдается до тех пор, пока напряже ния не достигнут предела текучести а у, после чего они остаются
постоянными, а площадка текучести принимается бесконечной. Так как в реальных строительных материалах упругие деформации зна чительно меньше пластических, то в практических расчетах диа грамма идеального упругопластического материала (рис. 17.1,б) за меняется диаграммой жесткопластического материала (рис. 17.1,в).
