Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5303 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Строительная механика

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
29.11.2025
Размер:
9.21 Mб
Скачать
☆

Номера у з л о в |^ |

2""

г ^

т н

Ж.

 

 

 

 

2

R22+R 22 + R 2M

R

 

 

пип,

 

 

 

R =

 

к и ш а ;«((«((

 

 

 

4

 

R121

 

р(4);

 

 

 

Рис. 16.15

Для рамы, показанной на рис. 16.16, матрица жесткости в блоч­ ной форме записи имеет вид:

' R 11

R 12

R 13

R = R 21

R 22

R 23

_R 31

R 32

R 33

Рис. 16.16

Вклад каждого из пяти элементов (номера записаны в квадрати­ ках) в соответствующие блоки матрицы жесткости всей рамы схе­ матично показан на рис. 16.17,а-д. Матрица жесткости всей рамы показана на рис. 16.17,е.

Номера степеней свободы для каждого узла рамы соответствуют номерам компонент вектора перемещений для этого узла (1 - сме­

521

щение вдоль оси X , 2 - смещение вдоль оси Y , 3 - поворот отно­ сительно оси Z ).

На рис. 16.17 символ

^ - номер соответствующего стержнево­

го элемента.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

МИГ

 

б)

 

 

 

 

 

 

Н омера узлов

 

| Н ом ера у зл о в | > |

1

|

2

|

3

|

 

 

 

1

1

? 1 \

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в 11)

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

Ш И

I Н ом ера узл ов И

1

I

 

 

 

 

|Н о м е р а у зл о в

 

— г

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

j

?24-i

;

 

 

3

 

 

 

3

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

е)

1

|

2

|

3

|

 

 

 

 

| Номера узлов |>|

 

 

 

 

1

№

 

)

 

R (2)

 

 

 

 

 

 

 

 

R(3

 

 

 

 

 

 

 

R =

 

 

<з\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фЛ>

 

R (5)>3

 

 

 

 

 

 

 

фф

 

 

ф.

R(5 )

Rз:

Рис. 16.17

522

16.14. Матрица жесткости прямоугольного конечного элемента для расчета тонких плит

Перемещения конечного элемента должны соответствовать де­ формированной схеме исследуемой системы в месте его располо­ жения. В общем случае точно описать состояние континуальной системы через конечный набор узловых перемещений с помощью уравнений типа (16.18), как правило, невозможно. Поэтому МКЭ относят к приближенным. Тем не менее, он позволяет получать ре­ зультаты расчетов очень высокой точности. В настоящее время МКЭ является основным методом решения самых разнообразных задач ста­ тики, динамики и устойчивости стержневых и континуальных систем.

Методика получения матриц жесткостей КЭ для расчета пла­ стин, оболочек и других континуальных систем во многом схожа с методикой получения матрицы жесткости стержня (см. раздел 16.11). Поясним это замечание на примере построения матрицы же­ сткости КЭ для расчета пластин.

Краткие сведения из теории расчета пластин

Пластиной называют тело, толщина h которого мала по сравне­ нию с размерами сторон основания а и b (рис. 16.18,а).

Плоскость, делящая толщину пластины пополам, называется срединной. Линии пересечения срединной плоскости с боковой по­ верхностью образуют контур пластины. По форме в плане различа­ ют пластины прямоугольные, треугольные, круглые и др.

При расчете пластин начало координатных осей располагают в одной из точек срединной плоскости. От действия поперечной на­ грузки пластина прогибается, срединная плоскость превращается в срединную поверхность. Перемещения точек пластины в направле­ нии осей x , y , z обозначают соответственно через и , v , w .

Вобщем случае, эти перемещения являются функциями координат:

и= u (x, y, z ), v = v (x, y, z), w = w (x, y, z).

523

Рис. 16.18

В зависимости от характера напряженного состояния пластин они подразделяются на плиты (отношение h к большему из разме­ ров а или b больше 0,20), жесткие пластины - такие, при изгибе которых пренебрегают напряжениями сдвига и растяжения в средин­ ной поверхности (соответствующее отношение находится в интерва­ ле от 0,01 до 0,20), очень тонкие пластины (отношение меньше 0,01).

В рассматриваемом далее примере используется конечный эле­ мент жесткой пластины.

Теория расчета тонких пластин построена с использованием сле­ дующих гипотез.

1. Гипотеза прямых нормалей, согласно которой прямолиней­ ный элемент, нормальный к срединной плоскости до деформации пластины остается нормальным к срединной плоскости и после де-

524

ф орм ации, а его дли н а

не

изм еняется. В соответстви и

с этой гипотезой углы сдвига

y xz и

у yz , а также линейная деформ а­

ция s z принимаю тся равны ми нулю:

 

 

Уxz

= 0 ; Yyz =

= 0; s z = 0.

2.

Г и п отеза о недеф орм и руем ости среди н н ого слоя, в соо тветст­

ви и с

которой ли н ейны е s x , Sy

и угловы е yxy деф орм ац и и ср е ­

ди н н ого слоя равн ы нулю :

 

 

 

S? =

= 0 ;

S 0 =

= 0;

 

 

Чд x Уz =0

 

y^y Уz =0

у° = г д и xy

д y

д v л

= 0.

- + ■

дx У

уz =0

3.

Г и п отеза об

о тсутстви и н о рм альн ы х н ап ряж ени й н а п лощ ад ­

ках, п араллельн ы х срединном у слою , то есть н ап ряж ени е <Jz

= 0 .

 

В соответствии с двум я первы м и гипотезам и перемещ ения

и

и

v

п рои звольн ой точ ки

K (рис.

16.18,б) по н аправлениям осей

x

и

y

оказы ваю тся равны м и:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д w

д w

 

 

 

 

 

и = - z

 

v = - z ■

 

 

 

 

 

 

 

 

д x ’

д y

 

 

 

 

В следствие этого линейны е и угл о вы е деф о р м ац и и вы чи сляю тся

по форм улам :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д и

 

 

д2w

,

д v

д 2w

 

 

 

 

x

= - z

2

= - z

д y 2

 

 

 

 

д x

 

 

д x

 

Sy = д y

 

 

 

 

 

 

' д и

д v Л

д2w

 

 

 

 

 

Уxy =

I

д

+ д

= - 2z

 

 

 

 

 

 

 

д y

д x

д x д y

 

 

 

 

525

Так как a z = 0, то обобщенный закон Гука, связывающий на­

пряжения и деформации, записывается в виде:

E

x

(s x + i

s y I

 

=

2 (sy + i s x ),

 

 

 

 

1 —ji

 

Txy = G y xv =-

+ i ) Yxy ,

 

^xy

- i x y

2(1

где i - коэффициент Пуассона.

Нормальные и касательные напряжения, вызванные изгибом пластинки, линейно изменяются по толщине пластины и вычисля-

ются через кривизны

д2w

д2w

д2w

срединной

 

и кручение

 

 

д x 2 ’ д у 2

д x д у

поверхности по формулам:

 

 

 

 

E z

2

 

 

 

д2w

 

 

 

1 —i

 

 

 

E z

2

 

E z

д2w

 

 

 

 

д x 2

1 + i

д x д у

Изгибающие M x и М у и крутящие M xy моменты, приходя­

щиеся на единицу длины сечения пластины, вычисляются через со­ ответствующие напряжения. На рис. 16.18,в показано распределе­ ние усилий по граням элементарной призмы dx х dy х h . Чтобы не

загромождать рисунок, на гранях x = 0 и у = 0 напряжения, изги­

бающие и крутящие моменты не показаны. На этих гранях прира­ щения напряжений равны нулю.

526

Пусть:

w (x, у ) = ai + a2 x + аз у + a4 x 2 + a5 x y +a6 у 2 +a7 x 3

 

(16.43)

+a 8 x 2 у + a9 x y 2 +a 10 у 3 + an x 3 у + a ^ x y 3 ,

где af - неизвестные независимые параметры, которые в даль­

нейшем необходимо выразить через Z .

5 w

д w

2. Угловые перемещения ----- и ----- определяются однозначно

д x

ду

выражением

w(x,у). Тогда для любой точки элемента вектор пе­

ремещений u может быть определен по зависимости:

 

 

 

 

u = L a ,

(16.44)

 

 

dw

iT

 

 

где

u =

dw

 

 

w,

dx

 

 

 

 

ду

 

 

 

L - матрица коэффициентов:

 

1 x у x2 xy у 2

x3 x2у xy 2 у 3

x3у xy3

L =

 

1

x 2у

x2 2xy 3у 2

x3 3xy2 (16.45)

 

-1

-2 x -у

-3x2 -2 xy - у 2

-3x2у -y 3

3.

Вектор перемещений u позволяет

находить перемещения

всех точек элемента, в том числе и узловых, имеющих координаты ( x = 0, у = 0), ( x = a , у = 0), ( x = a , у = b ), ( x = 0, у = b ). По­

этому с помощью выражения (16.44) можно установить зависи­ мость между векторами Z и a :

Z = H a ,

(16.46)

где H - матрица (12 X 12) связи:

528

1

1

-1

 

 

1

a

 

a 2

 

 

a 3

 

 

 

 

 

1

 

a

 

a 2

 

 

 

 

-1

 

- 2 a

 

 

- 3 a 2

 

H

=

1

a

b

a 2

ab

b 2

a 3 a 2b a b 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

a

2b

a 2

2ab

 

 

 

-1

 

- 2 a

- b

 

- 3 a 2 - 2ab

- b 2

 

 

1

 

b

 

 

b 2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2b

 

 

 

 

 

-1

 

 

- b

 

 

- b 2

 

a 3

 

b 3

3

a b 3

 

b a

3 a b 2

2

a 3

b

 

 

 

- 3 a 2b

- b 3

b 3

 

 

2

 

 

b

 

 

 

 

- b 3

4.

И з (16.46) следует, что:

 

 

 

 

 

a = H - 1 Z .

 

(16.47)

5.

Вектор перемещ ений

u с пом ощ ью вы раж ений (16.44) и (16.47)

п редставляется в виде:

 

 

 

 

 

u = L H -1

Z.

 

(16.48)

6.

П осле оп ределен и я вектора п ерем ещ ен и й м ож но н ай ти вектор

о бобщ ен н ы х о тн оси тельн ы х деф орм ац и й

k , ком п он ен там и к о торо ­

го будут кри ви зн ы и кручен ие среди н н ой п оверхн ости пластины :

 

д2w

d 2w

 

d2w T

(16.49)

 

к =

 

 

 

 

dx 2 ’

d y 2

dx dy

 

529

Выполнив соответствующее дифференцирование, получим:

k = B a = B H _1 Z ,

где

2

6 x

2 y

 

6 xy

в =

2

 

2 x

6 y

2

 

4 x

4 y

6 x 2

(16.50)

6 xy

2 6

7. Погонные (на единицу длины сечения пластины) изгибающие и крутящие моменты для изотропных пластин вычисляются по формулам:

M x = - ID

 

■+ A

 

 

(я2

w• + A •d w

 

M y = - D

d

(16.51)

d2w

M x y = - D (1 - A )

dxdy

где через D обозначена величина погонной изгибной жесткости пластины, так называемая цилиндрическая жесткость:

E h3

D =-

12 1 -

Изгибающие моменты, соответствующие положительным кри­ визнам, считаются положительными.

530

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности