где / , |
/4 |
- базисны е ф ункции для оп ределен и я п родольн ы х |
|
|
п ерем ещ ен и й сечен и й стер ж н я; |
/ 2 , |
/3 |
/ 5 , / 6 - |
ф ун кц и и , оп ределяю щ и е п рогибы |
|
|
стерж н я (та б л . |
16.1). |
П осле н ео б х о ди м ы х п реобразован и й п о л у чи м :
э ( z ;, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6) =
1 Г Т7 т f |
|
|
|
|
|
|
|
E J ' Z22 1 2 + Z32 4 + Z52 1 2 + Z624 + 2 Z2z ' 6 |
|
2 V 2 13 |
|
3 1 |
|
5 13 |
6 1 |
2 3 12 |
|
10 |
|
|
А |
|
А |
о |
(I6.40) |
—2 z 2Z 5 - + 2 Z2 Z6 —2 Z3 z5 - + 2 Z3z 6- - |
—2 Z5 Z6P J + E A (z;2 —2z ;z 4 + z 42 )— |
|
—я ( х ) № / 2 |
+ z; / |
+ z ; / s + Z6 / |
)]dr. |
|
В этом вы раж ен и и полн ая эн ерги я п редставлен а ф ун кц и ей ш ес |
ти н езави си м ы х перем енны х. |
|
|
|
|
|
И нтегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
I Ф |
) № х |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
даю т значения опорны х реакци й защ ем ленной по концам |
балки при |
нагруж ении ее распределенной |
нагрузкой д ( х ) . Ч тобы доказать это |
утверж дение, рассм отрим |
одну |
и ту ж е |
балку (рис. 16.13) в двух со |
стояниях: в состоянии |
a |
балка нагруж ена распределенной нагрузкой |
д ( х ) , в состоянии б |
левы й конец балки см ещ ен на Z 2 = 1. Н апом |
ним, что полож ительны е направления реакци й соответствую т полож и тельны м направлениям перемещ ений.
а)
q(х )
MA
б)
/2 (х
Рис. 16.13
Возможная работа сил состояния a на перемещениях со стояния б равна:
W„6 = RA -1 —J q(*) 1—- - + - |
d х . |
1 |
13 |
Работа сил состояния б на перемещениях состояния a равна нулю:
^ба = 0.
На основании теоремы о взаимности работ (7.4):
|
^ аб = ^ ба . |
|
Следовательно, |
|
|
|
1, |
( |
3х2 2х3 ^ |
d х . |
R A = J q (х ) 1 —- |
■+ ■ |
|
|
12 |
|
При вычислении M A за вспомогательное состояние примем пока
занное в табл. 16.1 (см. раздел 2). Определив возможную работу сил одного состояния на перемещениях другого (в прямом и обратном на правлениях), на основании теоремы о взаимности работ получим:
А н алоги чн ы м и вы чи слен и ям и находим :
|
1, |
( 3 х 2 |
2 х |
R B |
= J q W |
|
12 |
d х , |
|
|
|
13 |
|
1 |
( |
х 2 |
х |
|
|
M B |
= —J q (х ) |
|
d х . |
|
0 |
|
T |
+ 75 |
Заметим, что при действии н а стерж ень нагрузки иного вида (сосре
доточенных сил, м ом ентов или др .) опорны е р еак ц и и такж е м огут вы чи сляться с пом ощ ью теорем ы о взаи м н ости работ.
Н еобходи м ы м и у сл о ви ям и м и н и м ум а ф ун кц и и (16.40) ш ести п е
р ем ен н ы х являю тся: |
|
д Э |
i = 1 ,6 . |
= 0 . |
ez:
П ри м ен яя их к вы раж ен и ю (16.40), получим систем у уравн ен и й , связы ваю щ и х концевы е п ерем ещ ен и я и реакции:
EA |
0 |
|
0 |
EA |
|
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Z1 |
|
1 |
|
|
12EJ |
|
6EJ |
12EJ |
6EJ |
|
|
0 |
|
0 |
-RA |
|
13 |
z 2 |
I |
|
13 |
z 5 |
Z 6 |
|
|
|
|
2EJ |
|
|
0 |
6EJ |
|
4EJ |
0 |
_ 6 E J |
z 5 |
= M . |
|
2 |
|
1 z 3 |
1 Z6 |
E A Z, |
|
E A Z, |
12 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
' T |
Z; |
|
~ Z 4 |
|
|
|
12EJ z , |
6EJ |
12EJ |
|
6EJ |
|
|
0 |
0 |
z 5 |
|
|
-----~— Z ' |
z 3 |
1 |
3 |
— 2 z 6 |
|
|
|
13 |
‘ |
12 |
|
|
|
1 |
|
|
|
6EJ z , |
2EJ |
0 |
6EJ 7 , |
4EJ |
|
|
0 |
T Z2 |
1 z 3 |
~ |
|
z 5 |
1 z 6 |
B - |
|
|
|
|
В матричной форме записи система имеет вид:
R ' Z ' = F ',
где |
R ' |
- м атри ц а ж естко сти стерж н я (16.25); |
Z ' = |
[Z1 , Z 2 , Z 3, Z 4 , Z 5, Z 6 ]Т |
- |
вектор узловых перемещений; |
F ’ = [0, Z A , M A , 0 , RB , - M B ]T |
- |
вектор у зл о вы х сил. |
Е щ е |
оди н способ реш ен и я это й ж е зад ачи осн овы вается н а о б |
щ и х у р авн ен и ях строи тельн ой м еханики . У чи ты вая и сходны е п р ед посы лки, зап и ш ем м атрицу р авн овеси я стерж н я в виде:
- c o s p
- s i n p
0
a =
c o s p
s i n p
0
Т огда п р и p = 0 получим :
|
-1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
------- |
|
l |
|
|
|
0 |
-1 |
|
Z = a k a T = |
|
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
— |
|
l |
|
|
|
0 |
0 |
^ 5. СЛ
c o s p
l
0
0
1
—
l
0
0
1
—
l
1
s i n p l
c o s p l
0 sin p l
c o s p l
1
|
E A |
|
|
|
|
~ T |
0 |
0 |
|
|
0 |
4 E I |
- 2 E I |
X |
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
- |
2 E I |
4 E I |
|
|
0 |
l |
l |
|
|
|
|
Р азм еры блоков зави сят о т чи сл а связей, н алож ен н ы х н а стер
ж ен ь в каж дом узле. Д ля стерж ня, ш арнирно закреп лен н ого в узл е i
и ж естко защ ем лен н ого в у зле j , разм еры м атрицы и ее блоков бу
д у т следую щ им и:
|
R j |
(22х ) |
Rji |
Rj(5х5) |
|
У(2х3) |
R'n |
R'jj (3х3) |
|
j (3х 2) |
Е сли оба кон ц а стерж н я являю тся ш арнирно закреп лен н ы м и , то:
|
R j |
(2х2) |
Rj,- |
|
Rj(4х 4) |
|
|
У(2х 2) |
R |
ji (2х2) |
Rj |
х |
|
|
jj |
|
|
|
|
(2 2) |
16.12. Матрица жесткости стержня в общей системе координат
П рощ е |
всего |
о н а |
п олучается |
с |
пом ощ ью |
общ и х у равн ен и й |
строи тельн ой м ехан и ки по вы раж ению : |
|
|
|
|
|
|
R = a k |
a T , |
|
где |
a - |
м атрица равновесия стерж ня в общ ей системе координат. |
В др у ги х случаях, |
когда н еобходи м о орган и зовать п ереход от |
м атрицы |
ж есткости в м естн ой систем е коорди н ат к м атрице ж ест |
кости |
в |
о бщ ей |
систем е координат, |
н еобходи м о восп ользоваться |
п рави лам и |
п реобразован и й м атрицы |
ли н ей н ого |
оп ератора при п е |
реходе о т старого бази са к новом у.
Л инейны е п ерем ещ ен и я в м естн ой и о бщ ей си стем ах коорди н ат (рис. 16.14) связаны соотнош ениям и:
Z1 = Z 1 co s — + Z 2 s i n —,
Z 2 = - Z 1 sin —+ Z 2 cos —.
4
У гл ы п о в о р о та то р ц е в ы х се ч е н и й стер ж н я п р и зам ен е си стем ы
к о о р д и н ат не м ен яю тся . П о это м у |
м атр и ц а о п ер а то р а вр ащ ен и я |
и м еет вид: |
|
|
co s — |
sin — |
0 |
C = - s in — |
co s — |
0 |
0 |
0 |
1 |
Так как направления перемещ ений на обоих концах стерж ня совпа даю т, то с пом ощ ью этой ж е матрицы соверш аю тся преобразования и
перемещ ений Z4 , Z5 и Z 6 в Z 4 , Z 5 и Z 6 . Следовательно,
Z ' = |
C |
(16.41) |
Z = V Z . |
|
C |
|
Т ак как V 1 = V T , то Z = V T Z ' .
П реобразован и е м атри ц ы ж естко сти (м атрицы ли н ей н ого оп ера
тора) при п ереходе к базису Z вы п олн яется по вы раж ению :
R = V T R ' V .
Д ля дальн ей ш и х рассуж ден и й |
м атрицу R такж е п редстави м в |
блочн ой форме: |
|
R ii |
R ij |
R = |
|
R ji |
R л |
16.13. Формирование матрицы жесткости всей системы
Конечно-элем ентная м одель стерж невой системы , как уж е было
отмечено ранее, представляется в виде совокупности стерж ней, соеди ненны х в узлах. Смещ ение узл а системы вы зы вает такие ж е смещ ения концов стерж ней (конечны х элементов), прим ы каю щ их к этом у узлу. В озн икаю щ и е вследствие этого у си л и я в стерж н ях осн овн ой си сте
м ы м етода п ерем ещ ен и й определяю тся с п ом ощ ью |
м атрицы ж ест |
кости стерж ня. Р еакц и и в связях, н алож ен н ы х н а |
у зел систем ы , |
м ож но н ай ти как сум м у кон ц евы х реакц и й в связях стерж н ей , п р и м ы каю щ и х к узлу. Н априм ер, реакти вн ое у си ли е в связи по н ап рав
лению |
о си |
|
X |
будет |
равно сум м е р еакти вн ы х |
у си л и й в связях |
стерж н ей по |
том у ж е |
направлению . А н алоги чн о |
определяю тся и |
реакц и и по други м направлениям . |
|
|
|
|
|
|
В общ ем |
|
случае вектор |
су м м арн ы х реакц и й R i |
дл я i -го |
у зла |
си стем ы м ож но |
оп редели ть через |
вектор кон ц евы х |
” |
^ (e) |
реакц и й |
ri |
в элем ен тах, п ри м ы каю щ и х к этом у узлу, по вы раж ению : |
|
|
R |
= |
1 r f > |
= Z |
^ |
z , |
+ 1 # |
> |
Z 2 + •••+ |
|
|
|
|
eEi |
eEi |
|
eEi |
|
|
|
(16 42) |
|
+ |
1 |
4 * I ! |
+ 1 |
j |
Z j |
+... + |
£ |
Z ,,, |
|
|
|
|
|
eEi |
|
eEi |
|
|
|
eEi |
|
|
|
где |
^ (e) |
, |
^ (e) |
^ (e) |
|
|
|
|
|
|
|
r l |
Г 2 |
, • ••, r i, |
- векторы реакци й на конце элем ента e , |
|
|
|
|
прим ы каю щ его к |
узлу |
i , |
вы зы ваем ы е п ерем ещ е |
|
|
|
|
н иям и |
Z , = 1 , |
Z 2 = l , - - - , Z n = 1. |
С им вол |
e e i |
|
|
|
|
о зн ачает сум м и рован и е |
по |
всем |
элем ен там , |
п р и |
|
|
|
|
м ы каю щ и м к у зл у |
i . |
|
|
|
|
|
Д ля |
ж есткого у зл а |
вектор |
R i |
и м еет |
три ком поненты : первая |
ком п он ен та |
вектора у к азы вает на зн ачен ие |
реакти вн ого у си л и я по |
нап равлен и ю |
о си X , вторая - |
по нап равлен и ю о си |
Y , тр етья дает |
зн ачен ие реакти вн ого м ом ента. |
|
|
|
|
|
|
|
В случае, если все стерж н и соеди н яю тся в у зл ах ж естко, векторы
r , , г,2 |
, • • •, r,n |
такж е сод ерж ат |
тр и |
ком поненты . Е сли |
какой -то |
стерж ень п ри м ы кает к узл у |
ш арнирно, то дл я |
осущ ествлен и я о п е |
рац и и |
слож ен и я |
векторов в |
i -м |
узл е |
третью |
ком поненту |
вектора |
к он ц евы х реакц и й следует п ринять р авн ой нулю .
Записав вы раж ен и е (16.42) дл я каж дого у зл а конструкции, п р ед ставим систем у уравн ен и й , связы ваю щ ую узловы е реакц и и и п ер е м ещ ения, в виде:
R, |
Z r , (ie) |
Z r , 2 |
Z |
eEl |
eEl |
eEl |
(e)
R i |
Z r 1 e) |
Z |
r ? |
|
eEi |
|
eEi |
|
R m |
Z |
r (e) |
Z |
r (e) |
|
Z-t |
ml |
Z^-i |
m2 |
|
eEm |
eEm |
или сокращ енно:
R z = R Z ,
где R - м атри ц а ж естко сти всей систем ы .
Z |
|
Z , |
eEl |
|
|
|
Z |
ri(e) |
Z i |
L-t'i)n |
eEi |
|
|
Z |
(e) |
Z m |
rmn |
eEm
И з п р едставлен н ой ф орм ы зап и си м атри ц ы R |
следует, что ее |
элем ен ты вы чи сляю тся через элем ен ты |
м атри ц ж есткостей отд ел ь |
н ы х к он ечны х элем ентов. Е сли у зл ы |
i |
и |
j не соеди н яю тся м еж ду |
соб ой элем ен там и , то г,, = 0 ; если |
он и |
соеди н яю тся нескольки м и |
|
|
и |
|
|
|
|
элем ен там и , то |
соответствую щ и й эл ем ен т м атри ц ы |
ж естко сти вы - |
чи сляется как |
X"'' |
(e) |
|
|
|
|
Z |
r j . |
|
|
|
|
eEh j |
|
|
|
|
|
В блочн ой ф орм е зап и си м атри ц а |
R |
представляется в виде: |
где Rij - |
блок реак ц и й в |
связях |
i -го узла, вы зы ваем ы х ед и н и ч |
н |
ы м и см ещ ен и ям |
и связей |
j -го узла. |
В сф ормированной по указанном у принципу м атрице ж есткости R
всей си стем ы не будут у чтен ы опорны е закрепления. П о |
направле |
нию неподатливы х закреплений перем ещ ения равны нулю |
. П оэтом у, |
если заранее известно, |
что |
Z j = 0 , |
то из полученной м атрицы R |
следует вы черкнуть j |
-ю |
строку |
и |
j -й столбец. Р азм ер м атрицы |
при этом ум еньш ается. |
В |
случае |
автом ати зи рован н ы х вы чи слен и й |
п отребуется такж е вы полнить н овую нум ерац и ю неизвестны х. Е сли
разм еры м атрицы R не м енять, то н еобходим о |
указан н ы е строку и |
столбец п ринять нулевы м и, а эл ем ен т м атрицы |
п ринять равны м |
единице или другом у чи слу, кром е нуля (чтобы |
d e t R Ф0 ). |
П окаж ем граф и ческую схем у ф орм и рован и я м атрицы ж есткости
си стем ы |
из |
м атри ц |
ж естко стей ее элем ентов. |
В рам е |
(рис. |
15.20) |
и м ею тся |
4 |
стерж н я |
(элем ента), чи сло узл о в - |
5, в том |
чи сле |
о п о р |
н ы х - 3. В у зле 2 второй и тр ети й стерж н и соеди н яю тся ж естко, а п ервы й стерж ень п ри м ы кает к нем у ш арнирно.
О бщ ее чи сло степ ен ей свободы 2-го и 4-го у злов равно 5, сл ед о
вательно, м атри ц а ж есткости рам ы и м еет разм еры 5 х 5 . И л лю стр а ц ия к ф орм ированию м атри ц ы ж естко сти п о казан а н а рис. 16.15.
Блок R 22) матрицы ж есткости первого элемента им еет размеры
2 х 2 (узел 2 этого стерж н я является ш арнирны м ). Ч тобы операция
слож ен и я м атри ц в блоке |
R 22 оказалась возм ож ной, блок |
R (12) н е |
обходи м о расш ирить до |
разм еров 3 х 3 п осредством |
введения |
третьей (нулевой) строки и третьего (нулевого) столбца. |
|
