Строительная механика

Ф орм а конечного элем ента (К Э ) предопределяется особенностям и рассчиты ваемого объекта (систем ы , конструкции). В стерж невы х сис­ тем ах за К Э приним аю т стерж ень, как правило, постоянной ж есткости на растяж ение- сж атие и и згиб , или группу взаим освязанны х стерж ­ н ей . Д ля плоских и тонкостенны х континуальны х систем наиболее часто использую тся треугольны е или прям оугольны е (в общ ем слу ­ чае, четы рехугольны е) К Э , при реш ен и и трехм ерны х задач - объем ­ ные К Э в виде тетраэдра или параллелепипеда. В ы бор формы и разм е­ ров К Э оказы вает сущ ественное влияние на результаты расчета, кото­ ры е, естественно, долж ны позволять правильно оценивать напряж ен­ но- деф орм ированное состояние исходной систем ы . П редставление исследуем ой систем ы как достаточно больш ого набора КЭ значитель­ но увеличивает размерность задачи , ведет к повы ш ению точности рас­ чета, но связано со значительны м объемом вы числений. Ч итатели , ин ­ тересую щ иеся вопросам и оценки погреш ности дискретизации, м огут найти соответствую щ ие реком ендации в научной литературе.

Точки, в которых соединяются К Э , называю т узлами. Различаю т узлы жесткие и ш арнирные. В жестком узле предполагается наличие связей,

обеспечиваю щ их неразрывность линейных и угловых перемещ ений К Э ,

примы каю щ их к этому узлу . Связи ш арнирного узла позволяю т сохра­ нить неразрывность линейны х перемещ ений. Узловые перемещ ения и соответствую щ ие им узловые силы принимаю тся за обобщ енны е.

И дея м етода состоит в то м , чтобы описать напряж енно-деф ор­

мированное состояние К Э через обобщ енны е перем ещ ения Z узлов и установить их связь с действую щ ей на систему нагрузкой . Д ля реали­ зации этой идеи необходим о получить м атрицу ж есткости К Э .

Так как ф ункция п ерем ещ ен и й исходн ой систем ы н еи звестн а, то ее н еобходим о зад авать . Е сли в м етоде Р и тц а п редп олагалось, что базисны е ф ункции оп ределяю тся одним вы раж ен и ем на всей облас­ ти си стем ы , то в М К Э реали зуется альтерн ати вн ы й п о д х о д . О н за ­ клю чается в то м , что на каж дом К Э н еизвестны е ф ун кц и и п ерем е­

Д ля одн ом ерны х эл ем ен то в, с учетом зам ечан и я о п остоянстве ж е ­ сткостей , ф ункция п ерем ещ ен и й является то ч н о й (см . раздел 16.7),

для дву м ер н ы х и тр ех м ер н ы х К Э эти ф ункции зап и сы ваю тся при ­

501

свою ориентацию , то вначале строят матрицы жесткостей в местной системе координат, а затем, при переходе от местной системы к общей, преобразую т их. М атрицу ж есткости всей системы получаю т соответст­ вую щ им объединением матриц ж есткостей отдельных элементов.

векто р у зл о в ы х н агр у зо к .

П о сл е р еш е н и я си с те м ы у р а в н е н и й (1 6 .2 4 ) ст а н о в я т с я и з ­

в е с тн ы м и п ер е м е щ е н и я Z у зл о в в о б щ ей си с те м е к о о р д и н ат . Д л я в ы ч и сл е н и я у с и л и й в к о н еч н о м э л ем ен т е у д о б н о вн ач ал е

н ай т и ве к то р п е р е м е щ е н и й Z ' в м е с т н о й с и с те м е к о о р д и н ат , а

Т акая ф орм а расчета соответствует варианту М К Э ”в п ерем ещ е­ н и ях” . О на является наиболее распространенной .

В озм ож ен и другой п одход к реш ен и ю задачи по М К Э . Н ап ря­ ж ен н о -деф орм и рован н ое состояние К Э н еобходим о описать кон еч ­ ны м набором о боб щ ен н ы х узл о вы х сил, а затем у стан ови ть и х связь с нагрузкой. Т акая ф орм а расчета со о тветствует М К Э “в у си ли ях” .

502

16.11. Матрица жесткости стержня в местной системе координат

Существует несколько способов получения матриц жесткостей отдельных стержней. Одним из наиболее простых является способ, основанный на известных положениях метода перемещений.

Конец стержня, примыкающий к жесткому узлу, имеет три сте­ пени свободы: линейные перемещения по горизонтальному и вер­ тикальному направлениям и угол поворота. Соответствующими этим смещениям силовыми факторами будут концевые реактивные силы R1, R2 , R4 , R5 и моменты R3, R6 . (Перемещения, реакции,

матрица жесткости и ее элементы в местной системе координат обо­ значаются буквами со штрихами). Матрица жесткости (матрица еди­

матрицы R ' можно использовать данные из таблицы, применяемой в методе перемещений для определения реакций в опорных закреп­ лениях стержня постоянного сечения.

503

Рис. 16.12

Матрица R ' имеет вид:

504

Для стержней с другими условиями закрепления элементы мат­ рицы R' вычисляются аналогично.

Рассмотрим способы, основанные на использовании аппрокси­ мирующих функций перемещений. Необходимый порядок расчета по одному из них, например, для защемленного по концам стержня, представляется следующим.

1. В линейно деформируемом стержне продольные и попереч­ ные перемещения сечений стержней не взаимосвязаны. Поэтому функции, описывающие характер изменения перемещений по длине стержня, для них будут различными. Перемещения сечений стерж­ ня вдоль его оси в соответствии с дифференциальным уравнением

Изогнутая ось стержня при отсутствии по его длине распределен­ ной нагрузки описывается кривой третьего порядка, что является

следствием дифференциального уравнения v (lV) —0 . Следователь­ но, аппроксимирующий полином третьей степени позволяет точно задать функцию перемещений стержня.

505

dх

2. И сп ользуя зави си м ости (16.26), (16.27) и (16.28), п редставим

"d v nT

506

где H - матрица связи.

;. Из (16.31) следует, что:

507

В ы р а ж е н и я д л я и и v с о в п а д а ю т с з а п и с а н н ы м и р а н е е в р а з д е л е 16.7.

Т аким образом , с пом ощ ью (16.26) и ап п рокси м и рую щ его п о л и ­

н ом а (16.27) п олучен ы точн ы е ф ункции, п озволяю щ и е вы числить

гори зон тальн ое перем ещ ен и е, п рогиб и у го л п оворота лю бого сече­

508

509

ком п он ен тов вектора S ) не совпадаю т. В заи м освязь м еж ду ни м и

м ож но у стан ови ть с п ом ощ ью м атрицы соответстви я зн ако в у си л и й по вы раж ению :

И з (1 6 .3 7 ) сл е д у е т, ч то м а тр и ц а р е а к ц и й о п р е д е л я е т с я по в ы ­

м атрицей ж есткости) им еет вид, показанны й ранее в формуле (16.25).

В торой сп особ п олучен и я м атри ц ы ж естко сти стерж ня, о сн ован ­

н ы й н а и сп ользован и и п ри н ц и п а Л агранж а, со сто и т в следую щ ем .

—) ( Z 2 ./2 + Z 3 / 3 + Z 5 / 5 + Z 6 У б)] dх,

510