Строительная механика

Д иф ференциальное уравнение, соответствую щ ее условию З Э = 0 , будет им еть вид:

( E J у " ) + к у = q .

ны е постоянны е. Д ля п олучен и я частн ого реш ен и я н еобходи м о за ­ дать четы ре доп олн и тельн ы е условия.

П рям ы е м етоды вари ац и он н ого исчи слен и я п озволяю т свести

задачу нахож ден и я м и н и м ум а ф ун кционала к задаче п ои ска м и н и ­ м ум а ф ун кц и и м н оги х п ерем ен н ы х п осредством р еш ен и я систем ы

ли н ей н ы х алгебраи чески х уравнений . К их числу отн осятся м етоды Р эл ея -Р и тц а, Б у б н о ва -Г ал ер к и н а, м етод каллокац и и и др. П окаж ем суть прям ы х м етодов на прим ере м етода Р элея -Р и тц а .

И з бескон ечн ой си стем ы ф ункций q \ ( x ), ^ ( x ) , ..., (pr ( x ) , ...,

у довлетворяю щ и х граничны м услови ям задачи , вы берем первы е r

Н еобходи м ы м услови ем экстрем ум а ф ункции н ескольки х п ерем ен ­ н ы х является обращ ен и е в нуль частн ы х п рои зводн ы х первого п о ­ рядка, то есть:

491

Реш ив систему уравнений (16.15), найдем значения параметров a i , и, следовательн о, получим при бли ж ен н ое реш ен и е у сл о ви я стац и о ­ н арн ости З Э = 0 .

16.7. Расчет упругих систем на основе принципа вариации перемещений

П ерем ещ ение лю бой точки (сечения) стерж ня (рис. 16.9) с учетом общ еприняты х допущ ений однозначно вы раж ается через узловы е (обобщ енны е) перемещ ения. Так, горизонтальное перем ещ ение и сечен и я C, как следует из рис. 16.10, о п ределяется по форм уле:

d 4v

= 0.

d x 4

О бщ ее реш ен и е его и м еет вид:

v = C 1x 3 + C22x + C 3x + C 4 .

492

493

Окончание табл. 16.1

Пользуясь принципом независимости действия сил, перемеще­ ние сечения C (рис. 16.9) по вертикали представим в виде:

= Z 2 f 2 (x ) + Z 3 f 3 (x ) + Z 5 f 5 (x ) + Z 6 f 6 ( x ) .

494

Д ля стерж ня, защ ем ленного на одном конце и ш арнирно опертого на другом, кривы е прогибов при единичны х узловы х см ещ ениях и со ­

ответствую щ ие им функции перемещ ений показаны в табл. 16.1.

В общ ем случае, для ди скретн ой си стем ы вы раж ен и е д л я оп ре­

Ч исло таких уравнений соответствует числу деф орм ируем ы х эле­

м ентов системы и числу видов (линейных, угловы х) перемещ ений.

Д ля стерж н евы х систем эти ур авн ен и я будут точн ы м и , для ко н ­

Э— 3 ( Z 1, Z 2 ,..., Z n, F ) .

Тогда услови е стационарности:

495

Для линейно-упругой системы полная энергия вычисляется по формуле (16.13), поэтому уравнения (16.19) в развернутой форме за­ писи принимают вид канонических уравнений метода перемещений:

r 11Z 1+r 12Z 2+... +r 1nZ n+R 1F —0 ,

rn1Z 1+r n2Z 2+... +r nnZ n+RnF —0.

Для нелинейно деформируемых систем уравнения (16.19) будут нелинейными относительно Z i .

Вследствие особенностей уравнений (16.18) для континуальных систем, из (16.19) можно найти только приближенные значения Z i .

В этом случае уравнения (16.19) называют уравнениями метода Ритца, который, как отмечалось ранее, относится к прямым методам вариационного исчисления.

16.8. Принцип вариации напряжений или внутренних сил

Для любой статически неопределимой системы существует множе­ ство функций распределения усилий в ее элементах, удовлетворяю­ щих условиям равновесия, то есть каждая из них является статически допустимой. Среди этого множества находятся и истинные функции.

Пусть в стержне, элементы которого испытывают только растяже­ ние-сжатие, истинные функции нормальных усилий N (x) и соответ­ ствующих им нормальных напряжений <г(x) получили прираще­ ние 5 N (x) и 5<г(x) , а вариация нагрузки 5F(x) —0 . Считаем, что на вариациях 5 о перемещения непрерывны и выполняются условия со­ вместности деформаций, то есть деформация системы согласована с

496

налож енными на нее связями. П редположим, что полученные новые функции N + 5 N и а + 5 а являю тся статически допустимыми.

В соответстви и с прин ц и п ом возм ож н ы х п ерем ещ ен и й д л я си с­

тем ы , находящ ей ся в равн овеси и , работа всех си л на возм ож н ы х

п ерем ещ ен и ях р авн а нулю . В озм ож н ая раб о та сам оуравн овеш ен н ой

Рис. 16.11

Н еслож но показать, что п ри веден н ы й ход рассуж ден и й не и зм е ­

формаций), в которы х действую т по их направлениям силовые ф акто­ ры S j , дополнительная возм ож ная работа определится по выражению :

П — t S i 5 v j .

У чи ты вая потен ц и ал и эти х сил, окончательно у слови е равен ства нулю работы сам оуравн овеш ен н ы х си л (оно ж е у слови е совм естн о ­ сти деф орм ац и й ) получим в следую щ ей ф орме:

497

где

U доп — Ц |и 0допd V .

V

Э то равен ство п ред ставляет собой ф орм альн ую зап и сь принци­ па вариации напряженного состояния. Ф орм ули ровка принципа: из всех статически возможных напряжений и усилий в системе истинными являются те, которые удовлетворяют условию ста­

ционарности функционала U доп + П . В ы р а ж е н и е д л я э то го ф у н к ц и о н а л а д о л ж н о б ы ть за п и с а н о ч е р е з в н у т р е н н и е си л ы . Э т о т п р и н ц и п н а зы в а ю т в а р и а ц и о н н ы м п р и н ц и п о м К а с т и л и а - но (1 8 4 7 -1 8 8 4 ) .

п ред ставляет соб ой формальную запись принципа минимума потенциальной энергии деформации упругой системы.

16.9.Применение принципа вариации внутренних сил

красчету упругих систем

Запиш ем вы раж ение потенциальной энергии деф орм ации ли н ей ­ но-упругой статически неопределим ой систем ы в виде квадратичной

нагрузка. П олагая обобщ енны е силы независим ы м и, получим:

498

В арьи руем ы м и п ерем ен н ы м и в этом вы раж ен и и являю тся н еи з­

вы раж ен и я следует, что:

521 X 1 + 522 X 2 +... + 52n X n + A2F —0,

5n1 X 1 + 5n2 X 2 + ... + 5nn X n + A nF —0.

499

Матрица коэффициентов 5 j при неизвестных X j - это матрица

внешней податливости A основной системы. Элементы матрицы мо­ гут вычисляться через вторые производные от потенциальной энергии:

д2U

5 и —-

3 dXjdX j

Для физически нелинейной системы равенства необходимо записывать в виде:

Получаемые уравнения будут нелинейными относительно X j .

16.10. Сущность метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) является эффективным числен­ ным методом решения прикладных задач и широко используется для расчета разнообразных сооружений. Этот метод хорошо адаптирован к реализации на ЭВМ. По единой методике рассчитываются стержневые, пластинчатые и комбинированные системы. Сущность его сводится к следующему. Исследуемая система мысленно расчленяется на множе­ ство конечных элементов (непересекающихся областей), то есть произ­ водится переход от заданной расчетной схемы к дискретной.

500