Строительная механика

В формуле (16.8) матрица внешней жесткости системы

d U

~d F

Э то вы раж ен и е п редставляет зап и сь теорем ы К астилиано (1875):

производная от потенциальной энергии деформации по силе равна перемещению точки приложения этой силы по ее на­ правлению.

481

Продифференцировав выражение (16.9) по переменной A1 и учи­

тывая равенство rik = rki (симметрия матрицы R ), получим:

Полученное выражение представляет запись теоремы Лагранжа: в положении равновесия производная от потенциальной энер­ гии деформации по перемещению равна соответствующей силе.

16.4.Полная энергия деформируемой системы

Сэнергетической точки зрения явление деформирования тела - это процесс обмена энергиями двух систем сил (полей сил): внут­ ренних и внешних.

Поэтому для полной энергетической характеристики тела в де­ формированном состоянии недостаточно рассматривать только

энергию деформации U , т. к. она представляет часть энергии взаи­ модействующих полей сил.

Будем рассматривать только консервативные внешние силы. Работа их зависит только от начального и конечного состояния и не зави­ сит от пути перехода из одного положения в другое. К ним относят­ ся силы тяжести.

Если принять энергию системы в начальном (недеформированном) состоянии равной нулю, то потенциал сил Э в деформирован­ ном состоянии будет измеряться величиной работы, которую могут совершить эти силы при переводе системы из данного состояния в начальное.

Полная энергия нагруженного тела принимается равной:

482

где U - потенциальная энергия деформации (упругий потенци­ ал или, иначе, энергия сил упругости, потенциал внут­ ренних сил);

П —энергия внешних сил (потенциал внешних сил).

Внешние силы - это силы тяжести. При относительно малом из­ менении расстояния между телами в околоземном пространстве гравитационные силы практически не изменяются. Поэтому силы тяжести образуют однородное силовое поле, то есть поле, в кото­ ром значение каждой силы постоянно, не зависит от перемещений точек их приложения. Их работа вычисляется как работа неизмен­ ных сил при переводе системы из данного положения в начальное.

Для центрально растянутого стержня (рис. 16.4)

П= - F Аl ,

адля изогнутого стержня, нагруженного распределенной нагрузкой (рис. 16.5):

l

П = - J q (х) y (х) d x .

0

а) б)

483

Таким образом, полная энергия системы может быть выражена или через функции перемещений или через дискретные параметры.

Для последнего примера:

1 l l

Э = U + П = — J E J y "2 d x - J q(x) y d x . 2 0 0

Как видно, величина Э зависит от функции y (x ), то есть явля­

ется функционалом (функция от функции) Э = Э(y ) .

Для дискретной линейно-упругой системы потенциал внутрен­ них сил равен (см. формулу (16.9)):

1 n П

Тогда выражение для полной энергии системы представляет­ ся в виде:

484

16.5. Принцип вариации перемещений

Этот принцип выражает условие равновесия деформируемой системы, записанное через ее перемещения, с помощью введенного понятия полной энергии Э .

Для растянутого стержня (рис. 16.4) u(x) является функцией, определяющей продольные перемещения сечений; u(x) - это ис­ тинные перемещения, при которых устанавливается равновесие между внешними и внутренними силами.

В деформированном состоянии полная энергия стержня равна работе внутренних и внешних сил на перемещениях (—u ):

Э (и) = U + П = —(А внутр + Wвнешн )-

Сообщим точкам системы дополнительные бесконечно малые перемещения Su = Su (x ); Su - это произвольная функция с беско­

нечно малыми ординатами. Ее называют вариацией функции u(x ) . В состоянии u + Su энергия будет равна:

Вычитая из последнего равенства выражение Э (ы), получим бесконечно малое изменение энергии S 3 (первая вариация энер­ гии), вызванное вариацией функции S u :

S 3 = ^ + S u) —^ u) = ~{ЗАвнутр + SW внешн ).

Для системы, находящейся в равновесии при перемещениях u (x) , правая часть в последнем равенстве равна нулю, так как в соответствии с принципом возможных перемещений (см. раздел 7.4) работа всех сил системы на возможных перемеще­ ниях S u должна быть равна нулю:

485

S A — 8 А в н у т р + S W в н е ш — 0 ,

зн ач и т,

(16.14)

Э то есть ф орм альн ая зап и сь принципа вариации перемещений (п ри н ц ип а Л агранж а): из всех перемещений, допускаемых связя­ ми системы, истинные перемещения обладают тем свойст­

вом, что полная энергия системы при этих перемещениях имеет стационарное значение. Т акое свойство эн ерги и будет н аб лю дать ­ ся тогда, когд а о н а и м еет экстрем альн ое зн ачен ие для и сти н н ы х п ерем ещ ен и й по сравн ен и ю со всем и ближ айш им и.

Рассм отри м схем у, изображ ен н ую н а рис. 16.6.

y (x ) Ук —k y

Рис. 16.6

П усть нам и звестн а точ н ая ф ункция п роги бов y — y ( x ) о си бал ­ ки и соответствую щ ая ей эп ю р а и зги баю щ и х м ом ентов. Т огда п о л ­ н ая п отен ц и альн ая эн ерги я и зги ба балки зап и ш ется в виде:

F А —1 F A — F A

2

или

Э —U (y )+ П —2 X I E J y"2dx —F А —2 FA —FA .

486

ф орм ац и и и дей стви тельн ой р аб оты вн еш н и х сил.

И сследуем и зм енение п олн ой эн ерги и си стем ы в зави си м ости от

Э = — E j E J у "2d x - k F А = — F A - k F A = F A

Э н ерги я п ред ставлен а ф ун кц и ей второй степ ен и от к . Граф иче-

Э

ская и ллю страц и я за в и с и м о с т и (к ) п о казан а н а рис. 16.7.

В этом п рим ере м ож но бы ло бы варьи ровать не у равн ен и е и зо ­ гн утой о си балки, а соответствую щ ую ем у ф ункцию изги баю щ и х м ом ентов, то есть н апряж енное состояние.

Р езультат вы числений, естественно, п олучи лся бы тем же.

П риведем второй пример. В дискретной линейно деф орм ируем ой систем е при одн оп арам етри ческом н агруж ен и и все обобщ енны е

487

перемещения взаимосвязаны линейно. Поэтому, используя пара­ метр обобщенного перемещения Z , полную энергию запишем в виде:

1 n n _ _ n _

Э = - Z 2 E E ri j z i z j + z E R i F Z i , 2 i=1j =1 i=1

где Z i, Z j - компоненты базисного вектора перемещений сис­

то выражение для энергии можно представить в такой форме записи:

Э Z 2

-= Z--- Z , Л 2

где л = E E rij Z i Z j . i=1 j=1

Функция л (Z ) имеет минимум в точке (1,0; -0,5).

Увеличим перемещения Z в к раз. Тогда, учитывая, что для ко­ нечного значения нагрузки параметры F и Z фиксированы, и вы­ ражая U через действительную работу внешних сил, получим:

488

Э

Зави си м ость ------( к ) и м еет то т ж е вид, что и д л я балки. О тсю да

F Z y '

следует вы вод о том , что из всех возм ож н ы х д еф орм и рован н ы х со ­

о качестве р авн овеси я систем ы . П .Г .Л . Д и ри хле (н ем ец ки й м ате ­ м атик, 1805 -1859) доказал, что:

В задачах стати ки сооруж ен и й изучаю тся м етоды расчета у сто й ­

К задаче о поиске y ( x ) п осредством реш ен и я ди ф ф ерен ц и аль ­ ного ур авн ен и я о бращ аю тся в тех случаях, когда дл я и сследуем ого стерж н я (объекта) эн ерги ю м ож но зап и сать в виде ф ункции, зави ­ сящ ей о т п ерем ещ ений, их первы х, вторы х и более вы сокого п о р яд ­ ка производны х. Н еобходи м ое у слови е м и н и м ум а определенного интеграла:

489

Э = jI Фф (у , у ', у - , . .. , у (к ))d x ,

В качестве п ри м ера покаж ем реш ение зад ач и об изгибе кон соль ­

ной балки на уп ругом ви н клеровском о сн ован и и (рис. 16.8).

q (x)

p(x) =к (x)у (x)

У

Рис. 16.8

О пределим п олную эн ерги ю взаи м одей ствую щ и х сил:

Л l

490