Строительная механика

Матрицы влияния LS и Lz являются очень важными характери­

стиками рассчитываемой (исследуемой) системы. Изменение в сис­

теме какого-либо параметра обязательно повлечет за собой измене­ ние этих матриц.

Физический смысл элементов матриц влияния указывает и на то, что для их составления можно использовать эпюры усилий или ли­ нии влияния усилий. Такие способы вычислений обычно использу­ ются для простых (с небольшим числом стержней) систем. В других случаях целесообразно применить указанную математическую

формализацию этого процесса с использованием матрицы равнове­ сия A и матрицы жесткости K .

Между матрицами LS и Lz существует взаимосвязь. Действи-

тельно, так как

Ls = KA T Lz .

Матрица внешней жесткости R = A K AT и матрица внешней

податливости A = R 1 широко используются в динамике и устой-

чивости сооружений.

П р и м е р . Покажем использование основных уравнений для расчета неразрезной балки. Расчетная схема балки изображена на

рис. 15.23,а. Балка имеет постоянное сечение.

A =61,2 •10-4 м2,I =0,895 • Ю -4 м4, Е =2,1 • Ю 5 МПа.

Размерность сил - кН, моментов - кН^м, длин - м.

Общее число узлов - 9.

В квадратиках указаны номера элементов балки.

Матрица A формируется по стержням с использованием 5-го

варианта табл. 15.2.

Матрица внутренней жесткости K является квазидиагональной:

diagK = [K1K 1K 1K j K 2K 2K 2K 2]•18,795 • Ю 3,

451

т

Решение системы A K A z = F дает матрицу перемещений z .

Линейные перемещения измеряются в метрах, углы поворота - в радианах.

Первому загружению балки соответствует эпюра перемещений, показанная на рис. 15.23,б.

Матрица усилий S вычислялась по выражению S = K A т z .

С ее помощью построены эпюры изгибающих моментов для ка­ ждого загружения (рис. 15.23,в,г,д).

Для построения линий влияния усилий использовалась матрица влияния усилий Ls , вычисляемая по выражению

Ls = K A T(A K A T)-1 .

Элементы 2, 4, 6, 9, 11, 13 столбцов суть усилия в балке от вер­ тикальной сосредоточенной единичной силы, приложенной соот­ ветственно в точках 2, 3, 4, 6, 7, 8; в столбцах 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14 содержится информация об усилиях от сосредоточенного единич­ ного момента, приложенного в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

В строках матрицы L s содержатся значения ординат линий влияния

усилий в соответствующем сечении балки. Так, с помощью элементов 5-й строки построена л.вл. M 3 . Усилие M 3 - это M н 3 (момент

в начале третьего элемента), или за M 3 можно принять M K 2 (момент

в конце второго элемента). Значения ординат M к 2 имеются в 4-й

строке в столбцах 2, 4, 6, 9, 11, 13. Л.вл. M 3 показана на рис. 15.23,е.

Для построения л. вл. Mg (рис. 15.23,ж) использованы значения

ординат из 15-й строки Ls .

Для согласования графиков, показанных на рис. 15.23,г-ж, по знакам усилий в матрице Ls знаки изменены на обратные.

452

3-е загружение

2-е загружение

1-е загружение

э п - Z Берт.' 1 0 , м

е)

©

0,096

Рис. 15.23

453

15.16. Пространственные фермы

Координаты узлов пространственной фермы будем считать извест­ ными. Для стержня P1P2 (P - узел в начале, Р2 - узел на конце

——

стержня) как для направленного отрезка Р1Р2 найдем направляю­

щие косинусы cosa x,cosay ,cosa z по выражениям:

где

l = V(x2 - x1)2 + ((2 - У1)2 + (z2 - z1)2 .

—

Направляющие косинусы направленного отрезка Р2Р1 суть

- co sax, - co say , - co saz .

Как и ранее,растягивающую продольную силу в стержне будем считать положительной.В концевых сечениях стержня она имеет противоположные направления. Эти направления соответствуют

——

направлениям отрезков Р1Р2 и Р2Р1 .

—

Проекции направленного отрезка Р1Р2 на оси O X , OY и OZ

равны соответственно:

lx = x2 - x1 = l cosax ,ly = У2 - У1 = l cosay ,

lz = У2 - У1 = l cosaz .

Следовательно, проекции продольной силы N , приложенной

в точке Р 2, на те же оси равны:

454

N cosax, N cosay , N cosaz,

а проекции силы N ,приложенной в точке Р1,должны быть запи­ саны с противоположным знаком:

- N cosax,- N cosay ,- N cosaz .

Нумерация узлов фермы определяет и нумерацию узлов Р1 и Р2,

соединяемых стержнем. При этом за начало стержня, то есть за точ­ куР1,принимается узел с меньшим номером.

В матрице равновесия A с каждым свободным узлом простран­ ственной фермы связаны три строки, в которых записываются ко­

эффициенты при усилиях N в стержнях, примыкающих к этому

узлу. Эти коэффициенты являются множителями (направляющими

косинусами) при N в уравнениях ^ X = 0, ^ Y = 0, ^ Z = 0.

В практических задачах матрицу A удобнее формировать не по строкам, а по столбцам. Еще раз напомним, что направляющие ко­ синусы стержня Р1Р2 в уравнениях, относящихся к узлам Р1 и Р2,

будут иметь противоположные знаки. При формировании матрицы A по столбцам следует использовать для каждого стержня вектор-

шаблон а :

а = [-cosax,- cosay,- cosaz,cosax,cosay,cosaz].

Первые три элемента вектора относятся к началу стержня (узел Р1),

оставшиеся три - к концу его (узел Р2).

Основные уравнения строительной механики для пространствен­

ной фермы имеют ту же форму записи, что и для плоской системы. Замечание- В случае плоских ферм матрицу равновесия также мож­

но формировать через направляющие косинусы с помощью приведен­

ного выше вектора а,исключив в нем компоненты: - cosaz,cosaz.

П р и м е р . Определить усилия в стержнях пространственной фермы, показанной на рис. 15.24. Жесткости EA всех стержней принять равными.

455

Рис. 15.24

Матрица равновесия фермы приведена в табл. 15.5.

В этом примере задача определения опорных реакций не стави­ лась. Поэтому в матрице A отсутствуют строки, соответствующие уравнениям проекций усилий в стержнях, примыкающих к опор­

ным узлам, по направлениям опорных связей.

Матрица жесткости K фермы является диагональной:

K = diag{0,2;0,2; 0,125;0,2;0,2;0,125;0,2; 0,2;0,125; 0,15617;

0,15617; 0,15617; 0,15617; 0,25;0,25; 0,25;0,25;0,25; 0,25}-EA.

Примем вектор нагрузки в виде:

F = [0;|0;0;|0;|0;|0;0;|0;|- 5,0; 5,0;- 50,0;|

- 5,0;5,0;-100,0;| - 5,0; 5,0;- 50,0,f кН *.

* В ертикальны е линии разделяю т компоненты нагрузки, относящ иеся

к конкретны м узлам.

456

Решение системы уравнений R z = F дает:

zT = [-382,96; |-254,51;14,27;|14,27;|25,73;|173,99;25,73;|382,96;| - 236,14;114,66;- 569,03;|-79,32;120,39;- 828,69;|158,01;

126,12;- 621,12]• — ,м*.

EA

* В ертикальны е линии разделяю т компоненты перемещ ений, относя­

щ иеся к конкретны м узлам .

457

Усилия в стержнях фермы определяем по выражению N = K A z

N = [- 44,79;- 30,50;47,87;- 71,41;- 58,91;53,56;- 49,25;

-38,54; 47,87 ;-19,27;5,71;-10,30;-27,27;3,57; 0;0;

-6,43; 1,43;1,43]T ,кН.

15.17. Пространственные рамы

Для каждого стержня рамы ориентацию осей местной системы ко­ ординат (в дальнейшем они обозначаются малыми буквами x, y, z )

будем считать известной. Ось ox направлена от узла Р к узлу Р2

(отузла с меньшим номером к узлу с большим номером). Оси oy и oz

правой декартовой системы координат располагаются в плоскости,

перпендикулярной ox и проходящей через точку .Так как положе­

ние сечения стержня рамы принимается заранее определенным, то тем самым устанавливается и положение осей oy и oz . Расположение

осей по каждому стержню должно быть зафиксировано однозначно.

Пусть относительно осей глобальной системы координат OXYZ:

C помощью матрицы T совершаются преобразования декарто­ вых прямоугольных координат при повороте осей.

458

Определим векторы усилий и деформаций в стержне простран­ ственной рамы в следующем виде:

Усилия в концевых сечениях стержня, ориентированные по осям

местной системы координат, выражаются через S с помощью мат-

рицы равновесия а* : r * = a * S . Компоненты вектора

-»•* |

показаны на рис. 15.25. Положительные направления компонент

вектора S показаны на рис. 15.26.

m z , K &

I m „ K

На этих рисунках использовано векторное изображение момен­ тов. Момент, действующий относительно некоторой оси по ходу часовой стрелки (если смотреть с точки, соответствующей концу координатной оси), изображается вектором, направленным в поло­ жительном направлении оси. На рис. 15.25 приняты обозначения:

459

mx н, mx K - крутящие моменты в начале и в конце стержня;

my н, my K - изгибающие моменты в начале и в конце стержня

относительно оси у ;

mz н, mz K - изгибающие моменты в начале и в конце стержня

относительно оси z .

Условия равновесия для стержня позволяют получить следую­

Положительные направления концевых усилий (рис. 15.26) сов­ падают с направлениями осей местной системы координат. Поэто­ му для проектирования этих усилий на оси глобальной системы ко­ ординат используем матрицу T :

RX ,H = ^11 ■rx ,н + ^12 ■ry ,н + ^13 ■rz ,н ;

RY ,H = ^21 ■rx ,н + ^22 ■ry ,н + f23 ■rz ,н ;

RZ,H = ^31 ■rx ,н + f32 ■ry ,н + ^33 ■rz ,н ;

M X ,H = ^11 ■mx ,н + ^12 ■my ,н + % ■mz ,н ;

M Y,H = ^21 ■mx ,н + ^22 ■my ,н + ^23 ■mz ,н ;

M Z ,H = ^31 ■mx ,н + ^32 ■my ,н + ^33 ■mz ,н .

460