Строительная механика

На рис. 15.19 показаны начальное и деформированное положе­ ния стержня в местной системе координат.

Рис. 15.19

Удлинение стержня и углы поворота его концевых сечений - это компоненты вектора деформаций:

S =[Al, Арн, Арк] T .

Направление угла поворота Арн не совпадает с положительным

направлением момента M ,поэтому выражение (рн- р) принято

отрицательным. Используя матричную формулу записи, получим:

441

Рк

где z = [ин vHрн ик vKрк]Т - вектор перемещений концов

стержня в местной системе координат.

Как и в случае операции с векторами сил (15.17), преобразование

координат вектора z при повороте осей„ д£• п на угол р по часовой

стрелке производится с помощью матрицы VT. Поэтому можно записать, что:

Следовательно, z =V z .

Тогда в общей системе координат геометрические уравнения, яв­ ляющиеся условиями совместности перемещений узлов (концевых

сечений стержня) и деформаций стержня, можно записать в виде:

Обратимся далее к физическим уравнениям, то есть к уравнени­ ям, описывающим взаимосвязь деформаций стержня с усилиями в нем. Ранее (раздел 15.7) было показано, что для линейно деформи­

руемого стержня эта связь представляется в виде А г-= Dt St (индекс

“i ” соответствует номеру стержня), или в развернутой форме запи­ си для стержня с защемленными концами, не вводя обозначение его

номера, в виде:

442

l

где d- матрица внутренней податливости стержня.

Для стержней с иными условиями закрепления физические зависи­ мости устанавливаются с помощью известных методов определения концевых перемещений. Так, для стержня, шарнирно опертого в нача­

ле и защемленного в конце, взаимосвязь 5 и S получается в виде:

l

адля стержня с защемлением в начале и шарнирной опорой в конце:

Если необходимо физический закон написать в виде S = S (5),

то из представленных выражений следует, что:

где k - матрица внутренней жесткости (реакций) стержня.

Например, для стержня с защемленными концами:

443

EA

Записанные уравнения строительной механики для стержня по­ зволяют автоматизировать процесс формирования матрицы равно­

весия и матрицы внутренней жесткости для плоской стержневой системы.

15.14.Формирование матрицы равновесия

иматрицы внутренней жесткости для стержневой системы

Формат матрицы равновесия стержневой системы определяется числом и типом ее узлов и элементов. Число строк матрицы равно числу уравнений равновесия, то есть числу степеней свободы узлов.

Число столбцов равно количеству неизвестных. Таким образом,

матрица A имеет размеры (m • n ).

В блочной форме структура матрицы A представляется в таком виде. Для каждого жесткого узла предусматриваются три строки, в которых последовательно записываются коэффициенты при неиз­

вестных усилиях из уравнений ^ X =0 , ^ Y =0 и ^ M =0 ;для

каждого шарнирного узла - две строки (записываются коэффициен­

ты при неизвестных из уравнений ^ X =0, ^ Y =0). По другому

направлению, вертикальному, матрица представляется расчленен­ ной на укрупненные полосы, число которых равно числу стержней. Ширина полосы (число столбцов в ней) определяется длиной век­

тора S для каждого стержня.

Пояснения к составлению матрицы равновесия проведем на примере рамы (рис. 15.20).

444

Рис. 15.20

Матрица равновесия A записана в табл. 15.3. Чтобы легче ори­ ентироваться в структуре матрицы, в верхней части таблицы и сле­

ва от нее даны пояснительные записи. Каждому стержню рамы с соответствующим вектором усилий в таблице выделяется набор числовых значений по вертикальному направлению. В этой полосе

располагается матрица а для отдельного стержня. Ранее было по­

казано, что верхняя часть этой матрицы связана с началом стержня,

а нижняя - с его концом. Вследствие особенности приложения на­ грузки на 2-й стержень (в сечении, примыкающем к узлу, приложен

момент M =4 кН •м), матрица а для него имеет размеры 6 •3. Пер­

вые три строки относятся к началу стержня, то есть к узлу 2 (см. в таб­

лице горизонтальное направление), а оставшиеся строки - к узлу 4.

445

Если на один из концов стержня наложены опорные связи (стер­ жень примыкает к опорному узлу) и усилия в этих связях не требу­ ется вычислять (не надо определять опорные реакции), то часть матрицы а ,связанная с соответствующими уравнениями равнове­ сия для опорного узла, в матрицу равновесия A не вписывается (опускается). Так, числовые значения матрицы а для 3-го стержня (5, 6 и 7 столбцы) относятся только ко 2-му узлу. Аналогичное рас­

пределение записей имеет место по 1-му и по 4-му стержням.

Исключение из матрицы A коэффициентов уравнений равнове­ сия опорных узлов позволяет уменьшить ее размеры, что целесооб­

разно с вычислительной точки зрения.

Для более глубокого уяснения физического смысла задачи, а также с целью контроля записей при неавтоматизированной под­ готовке исходных данных следует иногда проверить запись отдель­

ных уравнений равновесия для узлов системы. Так, для той же рамы уравнение Е Y =0 для 2-го узла (рис. 15.21) запишется в виде:

0,2425 •N 1 - 0,2 •MH2 + 0,2 •MK2 + N3 =-20 •103,

где учтена замена

02 = M K2 - M H2

l2

y А

4 к Н - м MH2

Рис. 15.21

Та же структура матрицы A имеет место и для других систем (балки, арки, фермы и др.).

446

Итак, число строк в матрице A равно числу уравнений равнове­ сия узлов системы, число столбцов - числу неизвестных усилий

(компоненты вектора S обозначены в верхней части таблицы, со­

держащей матрицу равновесия).

Возвращаясь к вопросу о степени свободы системы, отметим,

что в нашем примере m =6,n =9. Степень статической неопреде­

лимости к = n- m =3.

Для геометрически неизменяемой стержневой системы ранг мат­ рицы равновесия A равен числу независимых уравнений равнове­ сия для узлов этой системы, то есть r(A) = m. При этом, если m = n ,то исследуемая система относится к статически определи­ мым, а определитель матрицы det A Ф0; если m < n,то система является статически неопределимой.

При соотношении m > n ранг матрицы r(a) < n и, следователь­

но, система относится к геометрически изменяемой.

Как уже отмечалось, число компонент векторов S и А одинаково. В табл. 15.3 векторы S записаны для каждого стержня. Число урав­ нений равновесия, коэффициенты которых записаны в матрице A, соответствует числу определяемых компонент вектора перемеще­

ний z как для отдельного узла, так и для системы в целом. Номер строки в матрице A указывает и на номер соответствующей ком­ поненты вектора z .Например, второму уравнению (Е Y =0) мат­

рицы A в векторе перемещений соответствует вертикальное пере­ мещение узла 2. Общее число неизвестных перемещений для рас­ сматриваемой задачи в принятой постановке равно шести.

Матрица внутренней жесткости отдельного стержня квадратная. Ее размер определяется числом компонент вектора S . Для всей системы K имеет квазидиагональную структуру, для рассматри­ ваемой рамы она представлена в табл. 15.4.

Указанная согласованность матриц в основных уравнениях строи­

тельной механики позволяет составить алгоритм решения математи­

ческой модели задачи поверочного расчета стержневой системы.

447

Автоматизированный расчет стержневой системы предполагает формирование матриц основных уравнений и решение последних на основе исходных данных о системе, к которым относятся:

-количество узлов, в том числе опорных, и их признаки;

-координаты узлов;

-расположение стержней, соединяющих узлы;

-жесткости стержней;

-сведения о нагрузке, действующей на узлы.

Так как элементами матрицы A являются синусы и косинусы

углов наклона стержней к координатным осям, то вычисление их сводится к определению отношений проекций на эти оси (разность координат конца и начала стержня) к длине стержня.

В зависимости от поставленных задач результатами расчета могут быть значения перемещений узлов, усилий в стержнях и их деформа­

ций, матрица внешней жесткости системы, матрицы влияния усилий и перемещений. Эта информация позволяет выявить особенности рабо­ ты системы под нагрузкой и может быть использована для построения эпюр усилий и перемещений, линий влияния усилий и перемещений.

Определим для рассмотренной рамы перемещения узлов, усилия в стержнях и построим эпюры усилий.

Если принять F = [0;- 20; 4; 5;-10; - 4] •103, (размерность со­

448

z= z 2 5^ 2 ^ 2 , z3. z3 , V i\ =

=[0,1910; - 0,4348; 1,2104; 0,3251; - 0,2332; - 2,1982]7•10-4.

Шестая компонента вектора z соответствует углу поворота се­ чения на конце 2-го стержня.

Вектор усилий определен по соотношению S = K A z.

S = [3,58; 4,95;-0,12;-4,00;|

20,09; - 3,88; 2,05; I -10,78; 0,18f •103.

Вертикальные линии разделяют компоненты усилий, относя­ щиеся к конкретным стержням.

Эпюры усилий в раме показаны на рис. 15.22.

Для определения поперечных сил в стержнях использована за­ висимость:

MK - MH

l

449

15.15. Матрицы влияния перемещений и усилий

Из равенства Rz = F следует, что вектор перемещений вычисля-

матрица влияния перемещений. Ее размер (m• m). С помощью этой

матрицы вектор узловых сил преобразуется в вектор узловых пере­ мещений. Элемент (3^ этой матрицы определяет перемещение узла

системы по i -му направлению от Fk =1. Одновременно матрица

влияния перемещений является и матрицей внешней податливости

L =^ =[5,] .

Вектор усилий S в стержневой системе так же может быть вы­ ражен через вектор F .С этой целью запишем его вначале в форме

S = K ATz ,а затем, используя выражение для z ,представим в виде:

S = K A T R _1F = K A t (A K A t )-1F = LS F ,

где LS - матрица влияния усилий.

Ее размер (n• m).Каждый элемент aik этой матрицы определяет i -е усилие (i -й номер в векторе S )от k -й единичной силы (Fk= 1).

Элементы первого столбца ССц матрицы LS суть усилия в стержнях от F1 = 1.С помощью этих чисел можно построить эпюру усилий в стержнях системы от загружения ее силой F1 = 1.Элементы же первой строки a1k показывают значения усилия S1 от последо­

вательного загружения узлов системы единичными силами. Ис­ пользуя эти числа, можно, следовательно, построить линию влия­ ния S1.При этом построении из первой строки необходимо выби­

рать те числа (элементы), которые соответствуют заданному на­

правлению движения единичной силы.

450