Строительная механика

Пространственную силу F можно разложить на три составляю­ щие: F x, Fy, Fz . Как видно из рисунка, составляющие F x, Fy ле­

жат в плоскости рамы. Расчет рамы на действие этих двух сил ве­ дется как плоской системы. Основная система метода сил для этого загружения показана на рис. 14.16,б. Для расчета рамы на состав­ ляющую Fz основная система показана на рис. 14.16,в. Эпюры уси­

лий от группы неизвестных X x, X 2, X 3и группы X 4, X 5, X 6 и

Fz взаимно ортогональны. Соответствующие побочные коэффи­ циенты при неизвестных и свободные члены канонических урав­ нений равны нулю. Следовательно, основные неизвестные X j , X 2 , X 3 равны нулю.

Построим эпюры изгибающих и крутящих моментов в раме, показанной на рис. 14.17,а. Жесткости стержней при изгибе и кручении примем одинаковыми (EJy = GJKp = EJ). Основная сис­ тема метода сил представлена на рис. 14.17,б. При симметричном нагружении неизвестные X1 и X2 , являющиеся кососимметрич­ ными, равны нулю. Каноническое уравнение метода сил для оп­ ределения X3 (рис. 14.17,в) примет вид:

Х33 X 3 + А 3F = 0 .

Единичные и грузовые эпюры изгибающих и крутящих момен­

402

ГЛ А В А 15

ОБЩ И Е УРАВН ЕН И Я СТРО И ТЕЛ ЬН О Й М ЕХАНИКИ

СТЕРЖ НЕВЫ Х СИ СТЕМ

15.1. Понятие о дискретной физической модели

Расчетные схемы стержневых систем, используемые в классиче­ ских методах расчета их, обладают явно выраженным свойством непрерывности. Они представляются в виде взаимосвязанных од­ номерных элементов (стержней), при этом узел трактуется как точ­ ка, в которой стыкуются стержни или на которую накладываются связи. В результате расчета системы на заданное воздействие уста­ навливаются зависимости, описывающие характер изменения уси­ лий и перемещений вдоль оси каждого стержня. Для практических задач информация в таком виде о напряженно-деформированном состоянии системы является избыточной. В ходе вычислений дос­ таточно найти усилия или перемещения в ряде характерных расчет­ ных сечений, а затем, если это необходимо, можно найти усилия или перемещения и в любом промежуточном сечении стержня.

Расчетные сечения обычно назначаются в местах примыкания стержней к узлам; они отделяют стержни от узлов. Вследствие это­ го расчетная схема исследуемого объекта представляется состав­ ленной из стержней и узлов. Эту схему называют дискретной физи­ ческой моделью стержневой конструкции. Например, для расчетной схемы рамы, показанной на рис. 15.1,а, ее дискретная модель изо­ бражена на рис. 15.1,б.

Каждый жесткий узел дискретной модели плоской конструкции имеет три степени свободы (линейные перемещения вдоль координат­ ных осей и угол поворота), каждый шарнирный - две (линейные пере­ мещения вдоль тех же осей). Положение узлов системы определяет и положение ее стержней. Поэтому судить о степени свободы некоторой системы можно по числу степеней свободы всех ее узлов.

В данной главе степень свободы системы будем обозначать через m . Именно такое число независимых уравнений равновесия можно составить для всех узлов системы.

404

Рис. 15.1

Для плоских ферм m равно удвоенному числу узлов за вычетом числа опорных связей, а число неизвестных усилий n равно числу стержней. Используя введенные обозначения, степень статической неопределимости системы к можно вычислить по выражению

Ранее, в главе 8, степень статической неопределимости системы обо­ значалась через Л (число лишних связей), в главе 9 степень кинемати­ ческой неопределимости (она же и степень свободы) системы - через n .

В этой главе степень статической неопределимости обозначена через к , а степень кинематической неопределимости - через m . Через n обозначается число неизвестных усилий.

Степень свободы узла конструкции определяет и размерность вектора перемещений этого узла. Суммарное число компонент век­ тора перемещений z всех узлов соответствует степени кинемати­ ческой неопределимости системы. Поэтому последнее соотношение

405

можно рассматривать как зависимость между степенью статической неопределимости к и степенью кинематической неопределимости m системы.

Так как любая точка, в которой стыкуются два и более стержней, может быть объявлена узлом, то, следовательно, для одной и той же системы, например рамы, можно принять несколько вариантов ее дискретной модели. Это значит, что степень свободы дискретной модели, в общем случае, является переменной характеристикой. Однако и в этом случае соотношение (15.1) позволяет правильно найти степень статической неопределимости системы, поскольку число неизвестных усилий в каждом дополнительном сечении сов­ падает с числом независимых уравнений равновесия, которые мож­ но составить для узла, располагаемого в этом сечении.

15.2.Нагрузки и перемещения

Сцелью упрощения вычислительных процедур рассматривается расчет системы на узловые силовые воздействия.

Приемы сведения расчета конструкций с распределенной на­ грузкой к расчету на узловое нагружение достаточно известны. Суть преобразования сводится к следующему.

Вначале каждый элемент, расположенный между двумя смеж­ ными узлами, рассматривается как стержень с концевыми (опорны­ ми) связями, соответствующими виду узла (жесткий или шарнир­

ный). Рассчитав его на местную нагрузку, определим реакции в опорных связях и построим эпюры усилий в нем. Для определе­ ния реакций в опорных связях однопролетных балок можно исполь­ зовать табл. 9.1.

В дальнейшем, загрузив узлы расчетной схемы силами, равными по значению и противоположными по направлению реакциям в опорных связях для отдельных стержней, проведем расчет систе­ мы на узловую нагрузку.

Окончательные эпюры усилий получаются суммированием соответ­ ствующих эпюр из расчета отдельных элементов и системы в целом.

На рис. 15.2 показан (символически) переход от схемы с распре­ деленной нагрузкой к схеме с сосредоточенной нагрузкой.

406

у

3 м

Рис. 15.2

Внешние силы, действующие на жесткий узел i плоской систе­ мы, задаются вектором нагрузки в виде:

F = Fix, Fiy , mi т

где Fix, Fiy - составляющие внешней нагрузки вдоль осей x и у ;

mt - сосредоточенный момент в i -м узле.

Правило знаков для нагрузки: внешние силы считаются положи­ тельными, если их направления совпадают с направлениями соот­ ветствующих осей координат; положительные моменты направля­ ются против хода часовой стрелки.

Полный вектор нагрузки образуется последовательной стыков­ кой соответствующих векторов для каждого узла системы:

F = F iT, F2T, F3T,...,F pT T

Через p обозначается число узлов системы.

Под действием нагрузки система занимает новое (деформиро­ ванное) положение. Узлы рамы испытывают в общем случае ли­ нейные и угловые перемещения.

Перемещение жесткого узла i характеризуется вектором:

407

T

\z i , zi , <Pi

шарнирного - вектором:

x У T z j = Zj , Zj

Полный вектор перемещений узлов представляется в виде:

Вектор обобщенных перемещений должен соответствовать векто­

ру обобщенной нагрузки. Размерности векторов F и Z совпадают. Скалярное произведение этих векторов определяет работу внешних сил. Такие векторы называют двойственными.

15.3.Усилия и деформации

Вобщем случае в сечении стержня возникают изгибающий мо­ мент М , поперечная сила Q и продольная сила N . В совокупно­

сти они образуют вектор усилий в сечении:

S = [M , Q, N ] T.

Компоненты этого вектора необходимо определить.

В частных случаях этот вектор может содержать две компонен­ ты, например:

S = [М, Q] T или S = [М, N ] T.

В первом случае в число неизвестных не включается продольная сила, а во втором - поперечная сила.

Не исключается ситуация, когда неизвестным фактором в сече­ нии может быть только изгибающий момент. Тогда:

S = [м ].

408

При действии на систему узловой нагрузки напряженное состояние i -го стержня можно характеризовать вектором:

S = [N i , M Hi, M K i , Qi ] T ,

где N i - продольная сила в стержне;

M H i - изгибающий момент в начале стержня;

M K i - изгибающий момент в конце стержня;

Qi - поперечная сила в стержне.

Так как непосредственно на стержень нагрузка не действует, то по­ перечная сила по его длине не меняется и, как известно (8.17), вычис-

первые компоненты, запишем его в виде:

S =[N i , M Hi, М K i ] T .

Каждому виду усилий соответствует определенная деформация. Продольная сила вызывает удлинение или укорочение элемента, изгибающие моменты - повороты сечений, поперечные силы - вза­ имные сдвиги сечений.

Вектор деформаций Аг-, соответствующий вектору Si , будет

иметь вид:

Аi = [Ali , A p H i , A p K i ] T ,

где Ali - линейная деформация элемента;

А р H i , A p K i - углы поворота сечений в начале и в конце

стержня относительно их положений, в котором узлы де­ формированной конструкции соединяются прямой линией.

Векторы усилий S и деформаций A для всей системы, как и

векторы F и Z , формируются последовательной стыковкой векто­ ров усилий и деформаций для отдельных стержней.

409

Векторы S и A являются двойственными, их скалярное произ­ ведение дает работу внутренних сил.

Для пространственной системы вектор усилий в сечении являет­ ся, как правило, шестимерным.

15.4. Уравнения равновесия

Рассмотрим произвольную, например, статически неопределимую раму (рис. 15.1,а), находящуюся в равновесии под действием задан­ ной нагрузки. Соответствующая ей дискретная модель в виде сово­ купности узлов и стержней показана на рис. 15.1,б.

Составим уравнения равновесия для 2-го узла рамы:

Записанные три уравнения содержат шесть неизвестных усилий. Рассмотрим равновесие стержней рамы. Каждый из них находится

под действием концевых усилий, показанных на том же рисунке. Составляя три уравнения равновесия для первого стержня, получим:

Еx = 0, N H 1 = N K 1= N 1;

Еу = 0 q H 1 = QK1 = Q1;

X M H = 0, QK11+ M H 1—M K 1= 0, Q1 = M k1 —M H 1. l1

Аналогичн^ге соотношения можно получить и для второго стерж­ ня, то есть:

410