Строительная механика

Для неподвижности этих систем по отношению к опорной по­ верхности необходимо шесть опорных связей.

Сетчатые системы являются статически определимыми система­

В то же время, для выпуклого многогранника выполняется соот­ ношение:

Исключив из выражений (а) и (б) число граней Г, получим, что:

3 У - С - 6 = 0,

то есть степень изменяемости сетчатой системы равна нулю. Таким образом, всякая сетчатая система, будучи закрепленной шестью опорными связями, является геометрически неизменяемой и стати­ чески определимой.

Неизменяемость сетчатых ферм (структур) может быть доказана и способом нулевой нагрузки. Если при отсутствии нагрузки, уси­ лия во всех стержнях фермы равны нулю, то система неизменяема. Если же в каком-либо из стержней усилие будет неопределенным, то система мгновенно изменяема. Например, при отсутствии на­ грузки в системе на рис. 14.9,а, последовательно вырезая узлы 1, 3, 2, b, а (способы определения усилий в пространственных фермах рассмотрены в разделе 14.4), получим, что усилия во всех стержнях равны нулю, и, значит, система неизменяема.

14.3.Определение усилий и перемещений

встатически определимых пространственных рамах

Встержнях пространственных рам в общем случае возникает шесть составляющих внутренних сил (усилий): продольная сила (N), действующая вдоль оси стержня (рис. 14.10,а), две поперечные

392

где MFy MFz, MFKp Nf , QFy, QFz- усилия в системе от нагрузки;

M iy, M iz, M ikp, N i , Qiy, Qiz - усилия в системе от дей­

ствия единичной силы, приложенной в сечении, для которого определяется перемещение, в направлении искомого перемещения;

Пу, nz - коэффициенты, учитывающие неравномерность

распределения касательных напряжений по высоте сечений (соответственно в направлениях осей y и zi); EJy , EJz , GJKp , EA , GA - жесткости стержней при изгибе,

кручении, сжатии-растяжении и сдвиге.

Для пространственных ферм формула перемещений сохраняет такой же вид, как и для плоских: в выражении (14.3) сохраняется только четвертое слагаемое.

14.4. Расчет пространственных ферм

Определение усилий в стержнях статически определимых про­ странственных ферм также выполняется методом сечений. Если, в частном случае, отсекается (вырезается) один узел пространствен­ ной фермы, то для определения усилий в стержнях, сходящихся в этом узле, можно составить три независимых уравнения равнове­ сия. В общем случае, при отсечении фрагмента фермы для него со­ ставляются шесть независимых уравнений равновесия.

Применим способ вырезания узлов для нахождения усилий в стержнях 1, 2, 3 пространственной фермы (рис. 14.13).

Вырежем узел 4. Для определения усилия N1 в стержне 1 соста­ вим сумму проекций всех сил в узле на ось z', перпендикулярную к плоскости, в которой лежат стержни 2 и 3 (рис. 14.14,a).

396

б) если в ненагруженном узле все стержни, кроме одного, лежат в одной плоскости, то усилие в стержне, не лежащем в этой плоско­ сти (одиночном), равно нулю; одиночный стержень останется нуле­ вым, если в плоскости остальных стержней будет узловая нагрузка.

При применении метода сечений уравнения равновесия для от­ сеченного фрагмента фермы могут быть составлены в виде уравне­ ний проекций всех сил на координатные оси и в виде сумм момен­ тов всех сил относительно координатных осей. Общее число неза­ висимых уравнений равно шести, как для пространственного блока.

Покажем определение усилий в стержнях 4-9 пространственной фермы (рис. 14.13). Рассечем ферму горизонтальной плоскостью по названным стержням и рассмотрим равновесие верхней части. Уси­ лие в стержне 4 (рис. 4.13) определим из уравнения суммы момен­ тов относительно оси z1(совпадает с направлением стержня 5 —2).

В этом случае моменты силы FI и усилий в стержнях 6, 8 и 9, параллельных оси z1, а в стержнях 5 и 7, которые пересекают эту ось, будут равны нулю. Следовательно, уравнение равновесия примет вид:

£ M z1 = - N 4sin a cos в a - N 4sin a sin в b - F2 a = 0;

Усилие в стержне 5 можно определить из уравнения моментов сил относительно оси z2. Из уравнения суммы моментов сил отно­ сительно оси z следует, что усилие в стержне 7 равно нулю. Анало­ гичным образом из уравнений моментов сил или проекций сил оп­ ределяются усилия в остальных стержнях.

Вычисление усилий в стержнях пространственных ферм опреде­ ленной структуры может выполняться и по способу их разложения на плоские фермы. Это возможно, если боковые грани пространст­ венной фермы являются плоскими, и нет стержней, пересекающих объем фермы, заключенный между боковыми гранями.

При этом внешнюю узловую нагрузку разлагают на составляю­ щие, действующие в плоскостях смежных граней. После этого про-

399