Строительная механика

VA1 = —2X 1/ L; VB1 = 2X 1/L .

Основное неизвестное X 2 в основной системе опорных реакций

не вызывает. Основное неизвестное X 3 вызывает в основной сис­

теме только горизонтальную опорную реакцию H A3 = X 3. Следо­

вательно, для вычисления внутренних сил в произвольном сечении x бесшарнирной арки будем иметь следующие формулы:

x = М ° + X 1(1 —2x / L) + X 2 —yxX 3 ;

Qx = (Q° —2X 1/ L)cos P x —X 3 sin Px;

^x = —( Q —2X 1/ L) sln Px —X 3 cos Px .

13.5.Применение метода перемещений

красчету статически неопределимых арок

Основная система метода перемещений должна представлять со­ бой набор прямолинейных стержней постоянного сечения. Поэтому криволинейную арку (рис.13.7,а) необходимо заменить ломаным стержнем, разбив арку на ряд прямолинейных участков (рис.13.7,б).

,) ШПгл 1__ )6 ППтт I

Узлы ломаного стержня располагаются на оси арки. Для каждого участка вычисляется его длина и углы наклона к координатным осям. Жесткости каждого участка усредняются и принимаются по­ стоянными по длине участка.

В результате арка превращается в раму с наклонными стержня­ ми. При шести участках по длине арки полученная рама имеет пять

381

неизвестных углов поворота и при неучете продольных деформаций четыре линейных смещения. Однако при линейном смещении в ос­ новной системе одного из узлов перекосы (взаимные смещения уз­ лов стержня поперек его оси) получают не только стержни, приле­ гающие к смещенному узлу, но и целая цепочка других стержней. Количество стержней в такой цепочке зависит от расположения до­ полнительных опорных связей, устраняющих линейные смещения узлов. Определение перекосов всех сместившихся стержней пред­ ставляет чрезвычайно громоздкую процедуру. Поэтому расчет ло­ маных стержней методом перемещений ведут с учетом продольных деформаций. Число неизвестных метода перемещений при этом возрастает. Каждый промежуточный узел основной системы будет иметь по три перемещения: угловое и два линейных. Но в этом слу­ чае при линейном смещении одного узла будут деформироваться только прилегающие стержни. В данном примере (рис. 13.7,б) при учете продольных деформаций порядок системы канонических урав­ нений метода перемещений возрастает до пятнадцати. На практике для обеспечения достаточной точности число участков по длине арки приходится брать гораздо большим. Количество неизвестных возрас­ тает. Следовательно, расчет арок методом перемещений следует вес­ ти на основе компьютерных технологий. Для этого применяют об­ щие уравнения строительной механики (глава 15), метод конечных элементов (глава 16) и проектно-вычислительные комплексы.

13.6. Понятие о расчете комбинированных и висячих систем

Напомним, что комбинированными системами называют расчет­ ные схемы сооружений, у которых часть стержней работает на изгиб, а остальные только на сжатие-растяжение. Стержни, работающие на изгиб, обычно имеют более мощное поперечное сечение, и их назы­ вают жесткими элементами. Стержни, воспринимающие только сжимающие или растягивающие усилия, являются более легкими. Их называют гибкими элементами. Рассмотренные в шестой главе шпренгельная балка с промежуточным шарниром в середине пролета и цепь с балкой жесткости, также имеющей промежуточный шарнир, являются основными представителями статически определимых комбинированных систем. Виды статически неопределимых комби­ нированных систем практически необозримы.

382

Все виды арок с затяжками можно отнести к комбинированным системам. Сама арка представляет собой жесткий элемент. Элемен­ ты затяжки являются гибкими. Примеры других статически неопре­ делимых комбинированных систем показаны на рис. 13.8.

Рис. 13.8

Висячими называют такие системы, основные несущие элементы которых работают на растяжение. К висячим системам относятся висячие арки (рис. 13.9,а), разнообразные вантовые (тросовые) сис­ темы (рис. 13.9,б,в,г), некоторые виды комбинированных систем (рис. 13.8,б,в).

Расчет висячей (растянутой) двухшарнирной арки (рис. 13.9,а) отли­ чается от расчета обыкновенной (сжатой) двухшарнирной арки толь­ ко тем, что распор висячей арки направлен наружу от пролета. Если висячая арка выполнена из гибких элементов (тросов, канатов), то она превращается в гибкую нить (рис. 13.9,в). Расчет гибких нитей, как и других висячих, вантовых и комбинированных систем боль­ ших пролетов, ведется в нелинейной постановке по деформирован­ ной схеме. Особенности расчета сооружений по деформированной схеме будут рассмотрены в главах 23 и 25. В данном разделе рас­ смотрим особенности расчета некоторых комбинированных систем (в том числе и висячих) в классической постановке по недеформированной расчетной схеме.

Шпренгельная балка (рис. 13.8,а) и балка с многостоечным шпренгелем (рис. 13.8,в) являются примерами комбинированных систем с одной лишней связью. Висячая система в виде цепи с не­ разрезной балкой жесткости и распором цепи, переданным на балку (рис. 13.8,б), является трижды статически неопределимой. Ферма с неразрезным верхним поясом (рис. 13.8,г) содержит четыре лишних

383

связи. Вантовая комбинированная система (рис. 13.9,б) с неразрез­ ной балкой и двумя оттяжками один раз статически неопределима при условии, что оттяжки из работы не выключаются. Вантовая ферма (рис. 13.9,г) трижды статически неопределима. Такие фермы подвергают предварительному натяжению так, чтобы все их элемен­ ты не выключались из работы. При таком условии расчет вантовых ферм не отличается от расчета обычных статически неопределимых ферм, рассмотренных выше.

Расчет кобинированных систем малых и средних пролетов при небольшом количестве лишних связей может быть выполнен по недеформированной расчетной схеме методом сил. Основную сис­ тему метода сил для комбинированных систем рекомендуется вы­ бирать такой, чтобы от заданной нагрузки в ней возникали усилия только в жестких элементах. Это возможно, если вся нагрузка при­ ложена к жестким элементам. На рис. 13.10 для двух комбиниро­ ванных систем приведены варианты основных систем метода сил, построены грузовые и характерные единичные эпюры изгибающих моментов в жестких элементах. Единичные основные неизвестные вызывают также усилия в гибких элементах. Усилий от нагрузки в гибких элементах не будет.

384

а)

Мр

М1

Рис. 13.10

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены канониче­ ских уравнений метода сил в комбинированных системах вычисля­ ют по двучленным формулам Максвелла-Мора:

E J EA

Практически из-за большой разницы в площадях поперечных се­ чений гибких и жестких элементов суммирование во втором сла­ гаемом приведенных формул распространяется только на гибкие элементы: поправки к перемещениям за счет продольных деформа­ ций жестких элементов получаются незначительными.

Количество неизвестных метода перемещений в комбинированных

ивантовых системах, как правило, оказывается значительным. Поэто­ му метод перемещений применяют при автоматизированном расчете комбинированных систем на компьютерах, с обязательным учетом продольных деформаций. Иногда комбинированные системы рассмат­ ривают как рамы со всеми жесткими узлами. Используются при этом общие уравнения строительной механики, метод конечных элементов

иуниверсальные проектно-вычислительные комплексы.

385

относительно двух осей (My, Mz), крутящий момент относительно оси стержня (Мкр= Мх), поперечные силы по направлениям двух осей (Qz, Qy) и продольная сила (N = Nx).

Стержни пространственных ферм при узловых нагрузках работают на растяжение-сжатие, в них возникают только продольные силы.

14.2. Опоры пространственных стержневых систем. Кинематический анализ

Пространственные системы, как и плоские, должны быть гео­ метрически неизменяемыми. Рассуждения о неизменяемости, из­ меняемости и мгновенной изменяемости систем, изложенные ра­ нее для плоских стержневых систем, принципиально справедливы и для пространственных систем. Всякую геометрически неизме­ няемую пространственную систему можно отождествить с про­ странственным «диском», точнее, блоком. Каждый пространст­ венный блок имеет шесть степеней свободы. Соединение блоков между собой в пространственные системы может осуществляться жестко или шарнирно. Всякая заведомо геометрически неизме­ няемая пространственная система (блок) должна иметь как мини­ мум шесть опорных связей.

Различают следующие основные типы опор пространственных систем. 1. Защемляющая опора (заделка). Такая опора эквивалентна шес­

ти связям первого вида. На расчетных схемах заделка изображается так же, как и для плоских систем (рис. 14.1,а). Реакция защемляю­ щей опоры может быть представлена в виде трех реактивных сил (Rx, Ry , R z) и трех реактивных моментов (М x, М y , М z).

2. Неподвижная шаровая опора. Эта опора может быть представ­ лена (рис. 14.2,а) как шар 1, вложенный в сферические углубления двух балансиров 2, 3, один из которых присоединяется жестко к со­ оружению 5, а второй - к опорной поверхности 4. Опора допускает три степени свободы, так как позволяет поворачиваться присоеди­ ненному блоку относительно трех осей x, y, z. На расчетных схемах эта опора может изображаться в трех вариантах, представленных на рис. 14.2,б. Реакция шаровой опоры проходит через центр опорного шарнира и может быть представлена в виде трех составляющих (рис. 14.2,в).

387

В формуле (14.1) учтено, что каждый диск в пространстве имеет шесть степеней свободы, каждое жесткое соединение дисков отни­ мает шесть степеней свободы, каждый шаровой шарнир, соеди­ няющий диски, отнимает три степени свободы, а каждый цилинд­ рический шарнир —пять степеней свободы.

Число степеней свободы для пространственных ферм может быть определено по формуле:

где У - число шаровых узлов в ферме; С - число стержней; С0- число опорных связей.

Степень изменяемости V пространственной фермы, отсоединен­ ной от опор, вычисляется по формуле:

V = 3 У —С —6.

Как и в плоских стержневых системах условие W > 0 означает, что система изменяема. Условия же W = 0 и W < 0 необходимы, но недостаточны для утверждения, что система геометрически неизме­ няема и соответственно статически определима или статически не­ определима. Для окончательного решения этого вопроса необходи­ мо выполнять анализ структуры сооружения.

Рассмотрим некоторые случаи образования явно геометрически неизменяемых пространственных систем.

1. Шарнирно-стержневая пирамида (рис. 14.6), все грани которой об­ разуют треугольники, а в узлах стержни соединены шаровыми шарни­ рами, неизменяема (V = 0 ), то есть является диском (блоком).

2. Если шарнирный узел присоединен к пространственному диску тремя не лежащими в одной плоскости стержнями, которые к диску прикрепляются шаровыми шарнирами (рис. 14.7), то полученная систе­ ма в целом неизменяема (V = 0 ) и является диском (блоком).

3. Два пространственных диска, соединенных между собой ше­ стью стержнями с шаровыми шарнирами по концам (шестью связя­ ми первого вида) образуют новый диск, если соединяющие стержни расположены так, что (рис. 14.8):

а) три стержня, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке А (образуя как бы шаровую неподвижную опору);

390