Строительная механика

Рис. 10.9

На рис. 10.9,в показана эпюра M 3 . Перемещение точки приложе­ ния силы X i по ее направлению, вызываемое перемещением Z3 = 1, обозначено через *13. Как и в случае с обозначениями реакций, в написании *13 штрихом подчеркивается отличие этого перемещения от перемещения *13, вызываемого силой X 3 = 1 (см. метод сил).

В соответствии с теоремой о взаимности реакций и перемещений (9.8)

^31 = -*13. Действительно, из уравнения равновесия узла D

(рис. 10.9,а) следует, что ^ = 3,0, а по рис. 10.9,в видно, что переме­ щение *13 направлено в сторону, противоположную силе X 1 = 1.

Найти значение * 3 можно также и по правилам определения перемещений, вызываемых смещением опор.

341

Запишем теперь канонические уравнения смешанного метода:

Г41X 1 + Г42X 2 + r43Z3 + Г44Z4 + R4F = 0.

Первое уравнение из этой системы выражает условие равенства ну­ лю перемещения точки приложения силы X 1 по ее направлению, при этом первое и второе слагаемые - это перемещения, вызываемые си­ лами X 1 и X 2, третье и четвертое - перемещения, вызываемые пово­

ротами узлов на углы Z 3 и Z 4 , а пятое - перемещение от нагрузки.

Смысл второго уравнения раскрывается аналогично.

Третье и четвертое уравнения имеют смысл уравнений метода пе­ ремещений: суммарные реакции в третьей и четвертой дополнитель­ ных связях, вызываемые единичными силами X 1 , X 2 и единичными

перемещениями Z 1 , Z 2, а также нагрузкой, равны нулю.

собами, применяемыми в методе перемещений. Например, из урав-

E J

нения равновесия сил в узле D (рис. 10.9,г) найдем Г34 = —— .

Из уравнения равновесия моментов в этом же узле на грузовой эпюре получим R3F = -123,27.

Коэффициенты rk и *'ц, как уже отмечалось, связаны соотно­ шением:

rik = - *ki

342

Решение системы:

X 1 =-16,165 кН;X 2 = -5,476 кН;

Окончательная эпюра моментов строится по формуле:

M.r = M f + M.r1X 1 + M.r2X 2+ M.r3Z 3 + M.r4Z 4 .

Она показана на рис. 10.10.

7,69 24,12

Рис. 10.10

343

Г Л А В А 11

РА С ЧЕТ Н ЕРАЗРЕЗНЫ Х БА Л О К

11.1. Общие сведения

Неразрезной балкой называют балку, которая перекрывает два или более пролетов, не прерываясь по своей длине шарнирами.

Степень статической неопределимости неразрезных балок может быть определена по общим правилам (раздел 8.2). Поскольку балка представляет собой один диск, перекрывающий несколько проле­ тов, то формула (8.2) преобразуется к виду:

Балки, показанные на рис. 11.1,а,б, содержат соответственно две и три лишние связи.

Рис. 11.1

Читатель уже знаком с методами расчета статически неопре­ делимых рам на различные виды внешних воздействий (см. гла­ вы 8, 9, 10). Особенности применения их к расчету неразрезных балок рассматриваются в следующем параграфе.

11.2.Примеры расчета неразрезной балки

Пр и м е р 1. Используя метод сил, построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для неразрезной балки (рис. 11.2,а).

344

Обратим внимание на то, что при указанном способе выбора ос­ новной системы для неразрезной балки первое и последнее уравне­ ния получаются двухчленными, а все промежуточные - трехчлен­ ными (i -е уравнение содержит неизвестные X t- 1, X t, X t+1).

Решив систему уравнений, найдем:

Окончательная эпюра изгибающих моментов (рис. 11.2,ж) строится по выражению:

M.м—M р + M.м1X 1 + M.м2X 2+ M.м3X 3.

Аналитическое выражение для определения изгибающего мо­ мента в сечении, расположенном между опорными точками балки, можно получить по формуле (8.16).

Кинематическая проверка правильности эпюры M состоит в проверке перемещений по направлениям основных неизвестных и выполняется по формуле (8.23).

Эпюра поперечных сил показана на рис. 11.2,з.

Для определения реакции в опоре с номером n (рис. 11.4) выре­ жем двумя сечениями, расположенными по обе стороны от опоры, бесконечно малый участок балки и покажем в этих сечениях попе­ речные силы. Из уравнения ^ Y —0 следует, что:

R n Qn+1 Qn.

В частности, в защемлении (рис. 11.5) и первой промежуточной опоре (рис. 11.6) вертикальные реакции равны соответственно 12,625 кН и 45,155 кН (рис. 11.6).

17,375

'27,78

R= 45,155 к H

347

П р и м е р 2. Рассчитать ту же балку (рис. 11.2,а) методом пере­ мещений.

Степень кинематической неопределимости неразрезной балки является переменной характеристикой. Действительно, любое сечение балки можно объявить узлом, в котором стыкуются два стержня. Такой узел, в общем случае, будет иметь две степени свободы: перемещение по вертикали и угол поворота (перемеще­ ние вдоль оси балки по принятым допущениям для линейно де­ формируемой системы не учитывается). В основной системе ме­ тода перемещений такой узел необходимо закреплять двумя до­ полнительными связями. Как следствие этого, размерность зада­ чи расчета балки увеличивается.

С целью уменьшения размерности задачи целесообразно рас­ сматривать только опорные узлы. Каждое надопорное сечение бал­ ки имеет только одну степень свободы - угол поворота.

Для заданной балки (рис. 11.2,а) выберем основную систему ме­ тода перемещений, показанную на рис. 11.7,а. Основными неиз­ вестными являются углы поворота надопорных сечений балки.

На рис. 11.7,б—г показаны единичные эпюры моментов, а на рис. 11.7,д —грузовая эпюра.

Вычислив по известным правилам коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, получим систему уравнений в сле­

24

-E J Z 2 + - E J Z 3 +10 —0.

3 2 3 3

Решив ее, найдем:

348