Строительная механика

Некоторые особенности вычисления коэффициентов и распреде­ ления изгибающих моментов покажем на примере рамы, изобра­ женной на рис. 9.40,а.

Основная система и положительные направления неизвест­ ных показаны на рис. 9.40,б. Ограничимся рассмотрением эпюр

Естественно,чтотожезначение Гц получитсяпокинематическомуметоду:

Для определения свободных членов уравнений следует использо­ вать распределение усилий в узлах, показанное на рис. 9.40,ж,з, или воспользоваться кинематическим методом. В последнем случае:

где M i, N i - функции изгибающих моментов и продольных сил

от единичных смещений узлов в основной системе ме­ тода перемещений;

M F0 , N F0 - функции изгибающих моментов и продольных сил

от заданной нагрузки в основной системе метода сил.

О влиянии продольных деформаций на распределение усилий в раме можно судить по окончательным эпюрам изгибающих моментов, по-

тех, которые соответствуют варианту расчета с EA ^ да.

331

Заданная

систем а

2

1= 6 м

г)

332

Увеличение податливости стержней на растяжение-сжатие при­ водит к увеличению перемещений узлов, и поэтому расчет таких рам по недеформированной схеме следует рассматривать как при­ ближенный.

ГЛАВА 10

СО ВМ ЕСТН ОЕ П РИ М ЕН ЕН И Е М ЕТОДА СИ Л

ИМ ЕТОДА П ЕРЕМ ЕЩ ЕН И Й . С М ЕШ АННЫЙ М ЕТОД

10.1.Сопоставление метода сил и метода перемещений

Иметод сил, и метод перемещений имеют свои достоинства и недостатки. Каждый из них, с учетом принимаемых в расчете пред­ посылок, является точным. И в том и в другом методе возможен учет влияния, кроме дефоромаций изгиба, продольных и попереч­ ных деформаций. Какой из них следует применять для расчета?

При неавтоматизированных вычислениях поиск лучшего метода расчета заданной системы сводится, в большинстве случаев, к поиску варианта расчета с наименьшими трудозатратами. При этом наиболее часто выбор того или иного метода зависит от количества неизвестных.

Расчет рам, узлы которой не обладают линейной подвижностью, как правило, лучше выполнять методом перемещений. Эпюры уси­ лий строятся легко, имеют локальный характер и, благодаря этому, система канонических уравнений получается разреженной. Однако при учете продольных деформаций количество неизвестных по ме­ тоду перемещений значительно возрастает.

Выбор рациональной основной системы метода сил и построе­ ние эпюр в ней связаны с более сложной логикой понимания струк­ туры системы. Достаточно трудоемкой является и операция по вы­ числению коэффициентов и свободных членов канонических урав­ нений. В методе перемещений эта часть вычислений, выполняемая, например, статическим способом, является менее трудоемкой. Как достоинство метода сил отметим, что степень статической неопре­ делимости заданной системы не зависит от того, учитывается или нет в расчете влияние продольных деформаций.

Приведенные замечания по обсуждаемым методам представляют собой качественную характеристику их. Отметим, кроме того, что в

333

каждом конкретном случае расчетчик вправе выбирать любой из них, руководствуясь собственным уровнем знаний этих методов расчета.

Принятие решения о выборе метода для автоматизированных вы­ числений связывается не столько с вычислительными процедурами по каждому из них, сколько с особенностями получения основной системы. Логика автоматизации процесса выбора основной системы метода перемещений является более простой. Идеи метода переме­ щений нашли широкое применение при разработке программных комплексов расчета и проектирования строительных систем.

10.2.Совместное использование метода сил

иметода перемещений

Глубокое понимание инженером основных положений метода сил и метода перемещений позволяет ему выбирать рациональные методики расчетов. В частности, для расчетов как симметричных, так и несимметричных систем возможно совместное использование названных методов.

Рассмотрим вначале особенности расчета симметричных систем. Нагрузку, действующую на такую систему, всегда можно разложить на симметричную и обратносимметричную (иначе, кососимметрич­ ную) составляющие. Как правило, оказывается, что расчет на симмет­ ричную составляющую удобно выполнять одним методом, например, методом перемещений, а на действие обратносимметричной состав­ ляющей - другим, методом сил. Окончательный результат расчета ра­ мы на заданную нагрузку получается суммированием результатов ее расчета на обе составляющие. Теперь обратимся к примеру.

Рама, изображенная на рис. 10.1,а, имеет четыре неизвестные по ме­ тоду перемещений (основная система и основные неизвестные показаны на рис. 10.1,б) и четыре неизвестные по методу сил (рис. 10.1,в). Симметричная и обратносимметричная составляющие заданной на­ грузки представлены на рис. 10.1,г,д. Расчет на действие симмет­ ричной нагрузки выполним методом перемещений, так как в этом случае единственной неизвестной, не равной нулю, будет неизвест­ ная Z 1 . Для расчета рамы на действие обратносимметричной на­ грузки используем метод сил. Из всех четырех неизвестных не рав­ ной нулю будет только X 3 .

334

чтобы статически неопределимый фрагмент системы удобно рас­ считывался методом перемещений. В этом случае метод сил являет­ ся основным методом расчета, а метод перемещений - вспомога­ тельным. Если же за основной метод принимается метод перемеще­ ний, то кинематически неопределимый фрагмент рассчитывается методом сил (вспомогательный метод).

Указанные особенности расчета поясним на следующих примерах. Для рамы (рис. 10.2,а) за основной метод расчета примем метод перемещений, а основную систему выберем по варианту, показан­ ному на рис. 10.2,б, т.е. заданную раму будем рассчитывать как

дважды кинематически неопределимую систему.

Рис. 10.2

Для построения грузовой и единичных эпюр M необходимо пред­ варительно рассчитать статически неопределимый фрагмент A B C D

на действие заданной нагрузки и поворот опорной связи в точке D на угол Z1 = 1. Рама A B C D является один раз статически неоп­

ределимой (по методу перемещений число неизвестных равно двум), поэтому расчет ее выполняется методом сил, который в этом варианте его использования рассматривается как вспомогательный. Соответствующие окончательные эпюры моментов от упомянутых нагружений приведены на рис. 10.3,а,б.

336

Рис. 10.3

Далее, следуя известному алгоритму расчета рам методом переме­ щений, построим в основной системе грузовую эпюру M р (рис. 10.4,а),

единичные M 1 и M 2 (рис. 10.4,б,в) и, в конечном итоге, - оконча­

тельную эпюру изгибающих моментов (рис. 10.4,г).

а) б) z = 1

Рис. 10.4

Рассмотрим другой пример. Рама, изображенная на рис. 10.5,а, со­ держит семь лишних связей. Однако, расчет ее на действие заданной нагрузки проведем как системы, содержащей три неизвестные.

Основная система метода сил (этот метод здесь является основ­ ным) приведена на рис. 10.5,б. Она включает в себя статически не­ определимый фрагмент A B C и симметричный ему A 'B 'C '. Что­

бы построить эпюры моментов в основной системе метода сил, не­ обходимо предварительно выполнить расчет этих фрагментов на те нагрузки, которые они воспринимают.

337

б)

X3 X 3

Рис. 10.5

Рама A B C содержит одну неизвестную метода перемещений. Эпюры моментов от действия на нее единичной распределенной нагрузки и единичного момента приведены на рис. 10.6,а,б.

Рис. 10.6

С их помощью, используя свойства линейно деформируемых сис­ тем, построим грузовую (рис. 10.7,а) и, как пример, вторую единичную (рис. 10.7,б) эпюру моментов в основной системе метода сил.

Две другие единичные эпюры строятся с учетом распределения моментов на фрагменте A B C от M = 1 (рис. 10.6,б). Дальнейший ход вычислений соответствует алгоритму метода сил.

338

Рис. 10.7

10.3. Смешанный метод

При расчете рамы смешанным методом за основные неизвестные в одной ее части принимаются усилия в лишних связях, а в другой, оставшейся, - перемещения узлов, то есть в ходе расчета обе груп­ пы неизвестных (неизвестные метода сил и неизвестные метода пе­ ремещений) находятся одновременно. Выбор неизвестных, естест­ венно, определяется структурой заданной рамы и, как правило, в той части, где наблюдается малое число лишних связей, вводятся основные неизвестные метода сил, а в другой - основные неизвест­ ные метода перемещений. Система уравнений, из которой опреде­ ляются эти неизвестные, записывается на основании условий, ана­ логичных тем, которые используются для записи канонических уравнений метода сил и метода перемещений.

Более полные пояснения по сути смешанного метода дадим на примере расчета рамы, изображенной на рис. 10.8,а.

339

б)

Рис. 10.8

Фрагмент AD этой рамы (в узле D имеется защемление) со­ держит только две лишние связи, его удобно рассчитывать методом сил; для расчета остальной части рамы (ее узлы расположены в точ­ ках B, C, D, E , G ) удобнее использовать метод перемещений. Ис­ ходя из этих рассуждений, примем основную систему такой, какой она показана на рис. 10.8,б.

Единичные и грузовая эпюры моментов в основной системе показа­ ны на рис. 10.9. Из эпюры M i (рис. 10.9,а) видно, что сила X i = 1 вы­ зывает в третьей дополнительной связи (ее номер соответствует

обозначаются они по разному. Аналогично необходимо понимать и физический смысл реакции Г32 .

340