Строительная механика

Единичные эпюры изгибающих моментов изображены на рис. 9.32,а,б.

Рис. 9.32

На рис 9.33,а,б,в показаны грузовые эпюры моментов, вызывае­ мые смещениями опорных связей соответственно на C1, C2 и C3 .

Построение их, также как и единичных, выполняется с помощью данных табл. 9.1. Эпюра M C (в этом примере не показана) строится по выражению:

322

Канонические уравнения имеют вид:

r11Z1 + r12Z2 + R1c = 0, j r21Z1 + r22Z 2 + R 2 C = 0,J

где

R1c = R1c 1 + R1c 2 + R1c 3 , R 2C = R 2 C 1 + R 2C 2 + R 2C 3 .

После определения значений коэффициентов и свободных чле­ нов решим систему уравнений и найдем:

Z 1= 0,00905 рад; Z 2=-0,01675 рад.

Окончательная эпюра моментов показана на рис. 9.34.

9.11. Построение линий влияния усилий

Методология построения линий влияния усилий в статически неопределимых системах сводится к реализации формул, по кото­ рым они вычисляются. При расчете рам методом перемещений уси­ лия вычисляются по формуле:

S k = SkF + lL Ski Z i .

i=1

323

В этом выражении справа от знака равенства переменными вели­ чинами, зависящими от положения силы F = 1, являются SkF и Z i, а

Ski - это усилие в сечении k основной системы, вызываемое смеще­

нием i -й связи на единицу. Следовательно, применительно к задаче о построении линий влияния эту запись можно представить в виде:

Построение ее особых трудностей не вызывает. Действительно, в основной системе концы каждого стержня в узлах защемлены или шарнирно оперты и поэтому нагрузка, расположенная на нем, не влияет на усилия в смежных стержнях. Как следствие, линия влия­ ния S kF будет иметь ординаты, не равные нулю, только на том

стержне, к которому относится сечение k . Определив Sk по данным

табл. 9.1 при различных положениях силы F = 1, построим л. вл. S ^ . Более сложной, в общем случае, является задача о построении л.вл. Z i. Построение их на основе статического метода сводится к определению значений основных неизвестных при положениях

груза F = 1 в различных характерных сечениях.

Рассмотрим следующий пример. Рама, изображенная на рис. 9.35,а, является один раз кинематически неопределимой. Каноническое уравнение r^Z! + R ^ = 0 при F = 1 может быть переписано в виде

ruZ 1 + r_F = 0. Следовательно, ^1 = — . r11

Эпюра M 1 в основной системе показана на рис. 9.35,б. Из урав-

11EJ нения равновесия ^ M в = 0 следует, что Гц = -

l

324

Рассмотрим грузовые состояния основной системы. При поло­ жениях F = 1 левее узла B (рис. 9.35,в):

± Г

44EJ

Соответствующий угол поворота Z 1 будет определяться по вы­

ражению:

325

По определению, S к - усилие в i -м сечении конструкции, вы­

зываемое единичной силой, приложенной в сечении к . Элементы i -й строки матрицы L дают значения ординат линии влияния, уси­ лия. Чтобы найти элементы к -го столбца матрицы влияния, необ­ ходимо рассчитать заданную конструкцию на загружение ее силой

Fk = 1. Число таких единичных загружений равно n .

Особенности расчета и построения линии влияния усилий с по­ мощью матрицы LS поясним на следующем примере.

Расчетная схема рамы показана на рис. 9.39,а. Форму любой линии влияния на участке между смежными узлами можно представить по значениям ординат усилий в трех равноотстоящих сечениях. Поэтому выполним расчет рамы на загружение ее силами F = 1, приложенны­ ми последовательно в каждом характерном сечении между узлами, и составим, например, матрицу влияния изгибающих моментов.

(рис. 9.39,б) и л.вл. M 5 (рис. 9.39,в). Так как в этом расчете жесткости

стержней на растяжение-сжатие EA ^ да (продольные деформации пренебрегаются), то в точках, соответствующих узлам B и C , орди­ наты линий влияния равны нулю.

Разумеется, расчеты таких и более сложных систем на множество загружений целесообразно выполнять с помощью программных ком­ плексов, имеющихся в проектно-конструкторских организациях.

Таким же образом можно было бы составить матрицы влияния поперечных и продольных сил и построить необходимые линия влияния этих усилий. На рис. 9.39,г показана линия влияния Q5 .

328

Результаты расчетов позволяют получить и матрицы влияния перемещений. Обратим внимание на линию влияния вертикального перемещения сечения 2 (рис. 9.39,д) и линию влияния угла поворо­ та узла В (рис. 9.39,е). Очертание их согласуется с рекомендациями раздела 7.11: для получения первой следует в сечении 2 приложить силу F = 1; во втором случае - в точке В прикладывается момент М = 1 (направлен против хода часовой стрелки). Численные значе­ ния ординат соответствуют EJ = 13,5 МН • м2.

9.12. Расчет рам с учетом продольных деформаций стержней

Как отмечалось в разделе 9.1, каждый жесткий узел плоской ра­ мы имеет три степени свободы, каждый шарнирный - две. По этой причине степень кинематической неопределимости рам, при расче­ те которых учитываются продольные деформации стержней, значи­ тельно выше, чем рам, при расчете которых продольными деформа­ циями пренебрегают.

Основная система образуется из заданной посредством наложения на каждый жесткий узел трех связей, на каждый шарнирный - двух линей­ ных связей. Для определения коэффициентов при неизвестных и сво­ бодных членов канонических уравнений необходимо построить в ос­ новной системе эпюры изгибающих моментов и продольных сил, вызы­ ваемые единичными смещениями связей и заданным воздействием.

При использовании статического метода значения коэффициен­ тов и свободных членов находятся из уравнений равновесия узлов основной системы.

Определение коэффициентов канонических уравнений метода перемещений кинематическим способом сводится к вычислению их по формуле:

N iN kdx

Второе слагаемое в этом выражении вычисляется теми же спо­ собами, что и первое, в частности, например, “перемножением” со­ ответствующих эпюр усилий.

Влияние же этого слагаемого на значение rik как следует из приве­ денного выражения, возрастает с уменьшением жесткостей стержней на растяжение-сжатие.

330