Строительная механика

Эти соотношения показывают, что неизвестные перемещения узлов А1, А2 , р и р («старые» неизвестные) можно выразить

через «новые» неизвестные Z1, Z 2 , Z3 , Z 4 , которые представля­

ют собой групповые перемещения симметрично расположенных уз­ лов. Введение в расчет новых неизвестных приводит к значительным упрощениям в расчете. Единичные эпюры усилий от групповых пе­ ремещений разделяются только на симметричные или обратносим­ метричные. Такие эпюры обладают свойством взаимной ортогональ­ ности, и поэтому система канонических уравнений распадается на две независимые подсистемы уравнений, одна из которых содержит только симметричные неизвестные, а вторая - обратносимметрич­ ные. Изложенный способ расчета рам называют способом группи­ ровки неизвестных перемещений.

Заметим, что если на оси симметрии имеется стержень рамы (положение его совпадает с осью симметрии), то симметричные не­ известные не вызывают в нем изгибающих моментов и, значит, ре­ зультат “перемножения” симметричной эпюры на обратносиммет­ ричную будет равен нулю.

Коэффициенты r% и свободные члены RF в канонических

уравнениях суть обобщенные реакции, вызываемые смещением групповых (парных) неизвестных. Определяются они статическим или кинематическим способом.

П р и м е р 1. Расчетная схема рамы изображена на рис. 9.24,а. Полагая изгибные жесткости всех стержней равными E J , постро­ ить окончательную эпюру изгибающих моментов.

Степень кинематической неопределимости рамы n - ny + nл -

- 2 + 3 - 5. На рис. 9.24,б показаны основная система и положитель­ ные направления групповых неизвестных. Единичные эпюры изги­ бающих моментов и грузовая эпюра представлены на рис. 9.24,в-ж. Эпюры M 1 и M 3 являются симметричными, а эпюры M 2 , M 4 и

M 5 - обратносимметричными. Вследствие их ортогональности,

система из пяти канонических уравнений метода перемещений раз­ деляется на подсистему, содержащую симметричные неизвестные:

311

r11Z1 + r13Z3 + R1F - 0, j

r31Z1 + r33Z3 + R3F - 0,J

и подсистему с обратносимметричными неизвестными:

r22Z 2 + r24Z 4 + r25Z 5 + R2F - 0,

Г42Z 2 + Г44Z4 + Г45Z 5 + R4F - 0,

r52Z 2 + r54Z 4 + r55Z5 + R5F - 0.

После определения единичных и грузовых реакций (советуем читателю найти их) эти подсистемы уравнений будут иметь сле­ дующий вид:

312

Окончательная эпюра изгибающих моментов строится по вы­ ражению:

M - M F + M 1Z 1 + M 2Z 2 + M 3Z 3 + M 4Z4 + M 5Z 5.

Она изображена на рис. 9.24,и.

Рис. 9.24

313

Анализируя записанные в этом примере подсистемы уравнений, можно сделать заключение: если на симметричную раму оказывается симметричное воздействие, то свободные члены в системе с обратно­ симметричными неизвестными будут равны нулю и, значит, обратно­ симметричные неизвестные будут равны нулю (из решения системы однородных уравнений); если же внешнее воздействие будет обратно­ симметричным, то нулевыми становятся симметричные неизвестные.

Как следствие способа группировки неизвестных, отметим, что рас­ чет симметричной системы на симметричную или обратносимметрич­ ную нагрузки можно выполнять для одной половины расчетной схемы. В зависимости от воздействия на второй половине схемы распределение усилий будет симметричным по отношению к первой или обратносим­ метричным. В частности, если ось симметрии пересекает некоторый стержень, то при расчете на действие симметричной нагрузки в этом сечении необходимо поставить подвижное защемление. Например, для рамы, показанной на рис. 9.22,а, соответствующая “полурама” пред­ ставлена на рис. 9.25,а. При действии обратносимметричной нагрузки в этом сечении изогнутая ось стержня имеет перегиб и, кроме того, пере­ мещение сечения по вертикали (по направлению, перпендикулярному оси стержня) равно нулю. Поэтому на расчетной схеме “полурамы” в указанном сечении ставится шарнирно-подвижная опора (рис. 9.25,б).

Рис. 9.25

9.9. Расчет рам на тепловое воздействие

Расчет ведется на изменение температуры системы по отношению к температуре ее начального состояния. Принимая линейный закон изменения температуры по высоте сечения стержня, тепловое воздей­ ствие, как и силовое, можно представить в виде суммы симметрич­ ной и обратносимметричной составляющих этого воздействия.

314

Пусть, например, для стержня, имеющего симметричное попе­ речное сечение высотой d (рис. 9.26,а), 11 > ?2 , то есть верхние во­

локна стержня являются “холодными”, нижние - “теплыми”. Разложим это загружение на симметричное (рис. 9.26,б), при ко­

тором температура верхнего и нижнего волокон будет одинаковой и

t '

него —. При обратносимметричном нагреве температура по оси

стержня равна нулю. Стержень от такого воздействия не удлиняет­ ся, а только искривляется. Значение перемещения любой его точки определяется по правилам, изложенным в разделе 7.8.

Рис. 9.26

Аналогичное разложение теплового воздействия можно сделать и для стержней с условиями закрепления его концов, соответствующими закреплениям стержней в основной системе метода перемещений.

315

r22

Рис. 9.29

Эпюра изображена на рис. 9.30. В скобках указаны значения ор­

68,77EJa

23,23EJa (49,51)

(16,73)

...Т ТТТгштптг^

93,70EJa

(67,46)

72,24EJa

(52,01)

Рис. 9.30

319