Строительная механика

Свободный член R3F можно определить из уравнения равнове­

сия для фрагмента (рис. 9.18,к), полученного из рис. 9.18,г:

X X = 0; R3F +15,0 = 0, R3F = -15,0 .

В численном виде система канонических уравнений запишется так:

Окончательная эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.18,л.

П р и м е р 2. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 9.19,а.

Для определения степени линейной подвижности узлов исполь­ зуем шарнирно-стержневую систему (рис. 9.19,б). Общее количест­ во неизвестных равно n = nу + nл = 2 +1 = 3. Основная система

метода перемещений и положительные направления основных не­ известных показаны на рис. 9.19,в. Грузовая и единичная эпюры изгибающих моментов изображены на рис. 9.19,г-ж.

Система канонических уравнений в численной форме записи

302

Окончательная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 9.19,з.

Г

31

Рис. 9.19

303

9.7.Расчет рам с наклонными элементами

Врамах с наклонными элементами смещение линейной связи ка­ кого-нибудь узла на заданное, например, единичное значение, вызы­ вает линейные смещения и других узлов, зависящие не только от за­ данного смещения, но и от геометрии рамы (расположения ее эле­ ментов). Поэтому для построения эпюр изгибающих моментов в

основной системе необходимо, прежде всего, найти взаимные пе­ ремещения концов стержней, образующих раму. Значения переме­ щений находятся из анализа перемещений шарнирно-стержневой системы, соответствующей заданной раме.

При построении какой-либо единичной эпюры рассматривается смещение одной связи при неподвижных остальных. Поэтому шар­ нирно-стержневая система в этом случае представляет собой кинема­ тический механизм с одной степенью свободы. При известном смеще­ нии одного узла смещения остальных можно определить из диаграм­ мы перемещений механизма. Поясним это на следующих примерах.

Рассмотрим раму с одной наклонной стойкой (рис. 9.20,а). Степень кинематической неопределимости ее равна n = 2. Связь,

препятствующую линейному перемещению узлов, расположим перпендикулярно к стержню 2-3 (рис. 9.20,б). Для определения вза­ имных перемещений концов стержней рамы при Z1= 1 придадим

шарнирно-стержневой системе возможное по условиям ее закрепле­ ния положение 0-1'-2'-3 (рис. 9.20,в). Из прямоугольного треуголь­ ника 2-k-2' следует, что взаимное смещение концов стержня 1-2 равно cos а , стержня 0-1 - sin а , стержня 2-3 равно 1.

Те же значения перемещений получаются из диаграммы пере­ мещений (рис. 9.20,г). Поясним ее построение.

Опорные узлы 0 и 3 являются неподвижными. Соответствующую им на диаграмме точку называют полюсом. Из этой точки проведем лучи перпендикулярно к стержням 0-1 и 2-3, узлы (0, 3) которых совпадают с полюсом, то есть по направлениям возможных переме­ щений узлов 1 и 2 (дуги, описываемые точками 1 и 2 при повороте стержней вокруг опорных точек 0 и 3, заменяются касательными к ним в этих точках). На луче, перпендикулярном к стержню 2-3, на расстоянии, равном единице, будет лежать точка 2 .

304

Для определения положения точки 1' необходимо провести из точки 2 линию, перпендикулярную стержню 1-2. Отрезки 1 -2 и 1 -0 на диаграмме равны взаимным смещениям концов стержней 1-2 и 0-1 при Z1= 1.

П р и м е р 1. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 9.20,а, полагая изгибные жесткости всех стерж­

ней равными, а = 600 . Длина стержня 2-3 равна I 2 _3 = 8 /V 3 м.

Для построения единичной эпюры M 1 (рис. 9.20,д) используем найденные ранее значения взаимных линейных смещений концов

стержней. Эпюры M 2 и M F показаны на рис. 9.20,е,ж.

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений оп­ ределяются статическим или кинематическим методами. Покажем, например, определение Гц и :

+ -

Это же значение Гц можно получить статическим методом из уравнения равновесия узла 2 (рис. 9.20,з). Поперечную и продоль­ ную силы в стержне 1-2 получим из уравнения равновесия для узла 1. Множитель E J в обозначениях на рисунке поперечных и продольных сил опущен:

305

(рис. 9.20,к) найдем то же значение R F .

Запишем канонические уравнения в численном виде.

Окончательная эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.20,л.

П р и м е р 2. Расчетная схема рамы изображена на рис. 9.21,а. Построить эпюры M , Q и N , полагая жесткости всех стержней на изгиб равными. Как и в предыдущих примерах, жесткости стержней на растяжение-сжатие EA ^ да (продольные деформации стержней не учитываются).

Степень кинематической неопределимости рамы равна трем. Основная система показана на рис. 9.21,б. Грузовая и единичные эпюры изгибающих моментов M 1, M 2 показаны на рис. 9.21,д-ж.

Чтобы построить эпюру M 3 , необходимо определить взаимные смещения концов стержней.

307