Строительная механика

Как и в примере 3 о расчете балки на смещение опор, перемеще­ ние А1с можно найти, например, с помощью формулы (7.13):

А1с = - £ Rc = - ( - 1 А) = А .

Опорная реакция в точке B , равная X,, найдется как

‘*11 Г

Эпюра M и значения опорных реакций показаны на рис. 9.11,б,в.

а)

А

Рис. 9.11

П р и м е р 5. В качестве внешнего воздействия на балку рас­ смотрим тепловое воздействие (рис. 9.12,а).

Каноническое уравнение метода сил для расчета на изменение температуры имеет вид:

*11X 1 + Ат, = 0. 1/

281

Полагая t1 > t2 , изобразим деформированное состояние основ­

ной системы на рис. 9.12,б.

Значение А^ найдем по формуле (7.12). Для изгибаемого стержня:

где t = t1 - 12.

Решение канонического уравнения дает:

3EJ a t' X 1 =■

2 h l

Эпюра изгибающих моментов и опорные реакции показаны на рис. 9.12,в,г.

Рис. 9.12

282

П р и м е р 6. Покажем расчет дважды статически неопределимой балки на поворот защемления в точке A на угол р (рис. 9.13,а).

Основная система, изображенная на рис. 9.13,б, является симмет­ ричной. На рис. 9.13,в,г представлены единичные эпюры изгибаю­ щих моментов, а на рис. 9.13,д - состояние основной системы, вы­

званной поворотом защемления на угол р . Так как *12 = *21 = 0 , то канонические уравнения для определения основных неизвестных представляются в виде:

*11Х 1 + А1с = 0 ,

*22X 2 + А2с = 0 .

Коэффициенты при неизвестных равны:

Вычислим свободные члены уравнений:

А1с = - Е Rc = - | - 2 р 1 = 2 р ,

А2с = - Е Rc = -(1- р ) = - Р.

Эпюры M и опорные реакции балки показаны на рис. 9.13,е,ж.

283

. А. А,,

Результаты расчетов рассмотренных и других балок на различ­ ные виды воздействий приведены в табл. 9.1. Эта таблица будет ис­ пользоваться при расчете рам методом перемещений.

________________________________________________ Таблица 9.1

284

285

286

Продолжение табл. 9.1

287

9.3. Канонические уравнения

Исследуем изменение усилий в дополнительных связях основ­ ной системы при переводе ее в положение, соответствующее де­ формированному состоянию заданной системы. От заданного воз­ действия в них возникают реакции. Если каждой угловой и линей­ ной связи дать перемещение, равное перемещению заданной систе­ мы по соответствующему направлению, то реакции в дополнитель­ ных связях окажутся равными нулю. Следовательно, реакции в свя­ зях являются функциями узловых перемещений Z i и нагрузки F , а

условие статической эквивалентности основной и заданной систем

где Ri - полная реакция в i -й дополнительной связи, вызванная

перемещениями Z i и нагрузкой F .

Число таких уравнений равно, естественно, общему числу неиз­ вестных метода перемещений.

На основании принципа независимости действия сил функцио­

288

rn1 rn2 ’" rm

нических уравнений (матрица жесткости системы по направлениям дополнительных связей);

Z - [ , Z 2, • • •, Z n ] ] - матрица (при расчете на одно за-

гружение - вектор) неизвестных;

RF - [/?1F , R2F , " ', RnF ] ^ - матрица (при расчете на од­

но загружение - вектор) свободных членов канони­ ческих уравнений (грузовых реакций).

9.4.Статический способ определения коэффициентов

исвободных членов канонических уравнений

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений суть реакции в дополнительных связях. Для определения их необ­ ходимо знать распределение усилий в основной системе от единич­ ных перемещений этих связей и от нагрузки.

Построение эпюр изгибающих моментов от указанных воздейст­ вий покажем на примере рамы, изображенной на рис. 9.14,а. При­ мем EJ\ - 2E J, E J 2 - E J .

На этом же рисунке показано и возможное деформированное со­ стояние рамы, что позволяет визуально определить число основных неизвестных. Найдем, однако, число неизвестных по общим прави­ лам. В раме имеется один жесткий узел, следовательно, ny - 1 . Как

следует из кинематического анализа шарнирно-стержневой системы (рис. 9.14,б), степень линейной подвижности ее узлов тоже равна единице. Возможное направление перемещения узлов на рис. 9.14,б показано стрелкой -о-. Общее число неизвестных равно n - ny + пл - 1 +1 - 2. Основная система показана на рис. 9.14,в.

290