Строительная механика

Для построения, например, линии влияния Ы к в статически не­ определимой балке (рис. 8.24,а) необходимо ввести в сечении к шарнир и загрузить балку моментами X 1 (рис. 8.26). Эпюра верти­ кальных перемещений точек балки будет подобна л. вл. Ы 6 .

Рис. 8.26

Для построения линии влияния Ыб в раме (рис. 8.25) введем в

6-м сечении шарнир и загрузим раму моментами X 1 = 1 (рис. 8.27). Эпюра вертикальных перемещений грузовой линии от данного загружения будет подобна линии влияния Ыб . Ординаты S f 1 эпюры

перемещений, если нужно, могут быть вычислены по правилам, из­ ложенным в разделе 8.9.

/- Г

\

Рис. 8.27

271

Г Л А В А 9

МЕТО Д П ЕРЕМ ЕЩ ЕН И Й И ЕГО П РИ М ЕН ЕН И Е

КРА С ЧЕТУ П ЛО СКИ Х РАМ

9.1. Степень кинематической неопределимости. Основные неизвестные

Положения концов стержня, входящего в состав рамы или дру­ гой системы, испытывающей заданное воздействие, полностью ха­ рактеризуют его деформированное состояние. При этом, если стер­ жень примыкает к узлу жестко, то положение его конца для пло­ ской системы определяется тремя параметрами: углом поворота торцевого сечения и двумя компонентами линейных перемещений, если шарнирно - то только линейными. В стержневых системах со­ ответствующие перемещения концов нескольких стержней, соеди­ ненных в узле, равны между собой, однако они, как правило, неиз­ вестны. Поэтому системы, содержащие такие узлы, являются кине­ матически неопределимыми. Общее число неизвестных перемеще­ ний узлов называют степенью кинематической неопределимости системы. Например, рама, показанная на рис. 9.1, является четыре раза кинематически неопределимой: перемещение узла 2 характе­ ризуется тремя компонентами (Z 1, Z 2, Z 3), узла 3 - одним (Z 4).

Кинематически неопределимыми системами являются не только статически неопределимые. К ним, в общем случае, относятся и статически определимые.

1

Рис. 9.1

272

Например, балку, показанную на рис. 9.2, можно рассматривать как два раза кинематически неопределимую (считаем, что на конце консоли расположен не закрепленный связями узел), а статически определимую раму (рис. 9.3) - как четыре раза кинематически не­ определимую.

Если бы каким-либо методом удалось найти перемещения кон­ цевых сечений стержня, то последующая задача определения уси­ лий в его сечениях решалась бы достаточно просто, так как для ли­ нейно деформируемых систем существует однозначная зависимость между усилиями, перемещениями узлов и нагрузкой.

Именно с помощью метода перемещений, суть которого излага­ ется далее, и определяются вначале перемещения узлов, которые являются основными неизвестными этого метода расчета, а затем и усилия в стержнях (в методе сил сначала определялись усилия, а потом - перемещения).

Ранее, в первой главе, указывались основные допущения, при­ нимаемые при определении линейно деформируемой системы. До­ полнительно к ним, при расчете рам методом перемещений вводят­ ся следующие:

1)деформации стержней, вызываемые поперечными силами, не учитываются;

2)не учитывается влияние продольных сил на деформации (расчет рам с учетом продольных деформаций будет рассмотрен в разделе 9.12);

3)первоначальная длина прямого стержня полагается равной длине хорды, стягивающей его концы после деформации.

273

Эти допущения позволяют существенно уменьшить число основ­ ных неизвестных метода перемещений. Так, для рамы (рис. 9.1) пере­ мещение узла 2 можно характеризовать уже только двумя компонен­ тами: углом поворота Z1 и горизонтальным перемещением Z2 . По­

скольку продольные деформации стержня 1-2 не учитываются, то перемещение Z3 = 0. В деформированном состоянии положение

узла 2 следует показывать на линии 2-3 (дуга, описываемая из цен­ тра 1 радиусом r = / ^ 2 , заменяется касательной к ней в точке 2).

Горизонтальное перемещение узла 3, вследствие третьего допуще­ ния, необходимо принять равным Z 2 . Следовательно, рассматри­

ваемая рама является два раза кинематически неопределимой. Из­ мененная с учетом принятых допущений деформированная схема рамы и основные неизвестные показаны на рис. 9.4,а.

Рис. 9.4

Из приведенных рассуждений к изображению деформированного состояния рамы следует, что общее число неизвестных n метода пере­

мещений определяется как сумма неизвестных углов поворота nу же­

стких узлов и независимых линейных перемещений nл узлов, то есть:

n = ny + пл .

Число ny называют степенью угловой подвижности, а nл - степе­

нью линейной подвижности узлов. При этом, если определение ny

274

2) поворотом левого конца стержня (и правого, если стержень защемлен по двум концам) на угол Z A , равный истинному значе­

нию угла поворота узла A ;

3) взаимным линейным перемещением AAB концов стержней по

направлению, перпендикулярному к его оси.

Рис. 9.7

Вспомогательными величинами при расчете рам методом пере­ мещений служат опорные реакции, возникающие в статически неоп­ ределимой балке постоянной жесткости при различных воздействиях на нее. Их значения могут быть найдены методом сил. Покажем это.

П р и м е р 1. Определим реакции в опорных связях и построим эпюру изгибающих моментов в балке, загруженной равномерно рас­ пределенной нагрузкой q (рис. 9.8,а). Приняв основную систему ме­

тода сил в виде консольной балки (рис. 9.8,б), построим единичную (рис. 9.8,в) и грузовую (рис. 9.8,г) эпюры изгибающих моментов.

а)

в)

Рис. 9.8

277

Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

Окончательная эпюра изгибающих моментов, построенная по выражению M = M F +X 1, показана на рис. 9.8,д, а на рис. 9.8,е приведены значения опорных реакций.

П р и м е р 2. Рассмотрим загружение балки сосредоточенной си­ лой F (рис. 9.9,а), где и и v - дробные числа, сумма которых рав­ на единице. Используя основную систему из примера 1, построим эпюру M F (рис. 9.9,б).

Вычислим свободный член канонического уравнения:

Окончательная эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.9,в; на рис. 9.9,г даны значения опорных реакций.

278

а) IF

?B

Рис. 9.9

П р и м е р 3. Построим эпюру изгибающих моментов от поворо­ та защемленного конца балки на угол р (рис. 9.10,а).

Каноническое уравнение метода сил запишем в виде:

Sn X 1 + A1C= ° .

Свободный член можно вычислить по выражению:

A1c = - lLRici ,

где, как известно из (7.13), Rt - реакции в связях основной сис­

темы, вызванные силой X 1 = 1 (показаны на рис. 9.10,б).

A1c = - (l р) = - l р .

279