Строительная механика

шести. Симметричная основная система может быть принята по варианту, показанному на рис. 8.16,б. Однако в этом случае при загружении ее силами X t = 1 ни одна из эпюр изгибающих моментов не получится симметричной или обратносимметричной, а значит, все побочные коэффициенты 5iK будут отличными от нуля.

Чтобы получить симметричные и обратносимметричные эпюры усилий необходимо вместо традиционных неизвестных X t ввести

новые (будем обозначать их Z i ), представляющие собой группы

сил. Переход от старых неизвестных к новым, и наоборот, должен быть однозначным.

На рис. 8.16,в показана та же основная система с новыми неиз­ вестными. Сопоставляя расположение неизвестных на рис. 8.16,б,в, находим правила преобразования их: каждой паре симметрично расположенных неизвестных X i соответствует операция сложения

или вычитания симметричных и обратносимметричных групповых неизвестных Z i .

Эпюры усилий от групповых неизвестных показаны на рис. 8.16,г-и. Вследствие взаимной ортогональности симметричных и обратносимметричных эпюр система канонических уравнений рас­ падается на две независимые: в одну из них войдут только симмет­ ричные неизвестные Z 1, Z 3 , Z 5 , а в другую - обратносимметрич­

ные ( Z 2 , Z 4 , Z 6 ).

251

Рис. 8.16

252

3. Преобразование нагрузки. Дальнейшие упрощения в расчете симметричных систем (рис. 8.17,а) связаны с разложением нагрузки на симметричную и обратносимметричную составляющие.

Используя свойство взаимной ортогональности эпюр, несложно показать, что при действии на систему симметричной нагрузки об­ ратносимметричные неизвестные обращаются в нуль, а при дейст­ вии обратносимметричной нагрузки оказываются равными нулю симметричные неизвестные. Применительно к расчетной схеме ра­ мы, показанной на рис. 8.17,б, это означает, что расчет ее надо вы­ полнять как системы с неизвестными X i, X 2 , X 4 (основная сис­

тема изображена на рис. 8.15,б), а расчет рамы на действие обрат­ носимметричной нагрузки (рис. 8.17,в) - как системы с одной неиз­ вестной X з .

4. Расчленение многопролетных рам. Этот способ применяет­ ся как для симметричных, так и для несимметричных рам. Меньшая вычислительная работа по определению 5iK будет в том случае,

если эпюры усилий в основной системе будут распространяться на небольшие фрагменты рамы, то есть будут “локализованы” в окре­ стности действия нагрузки.

Для рамы (рис. 8.18,а) с четырьмя неизвестными на рис. 8.18,б,в представлены два варианта основной системы. Анализируя распре­ деление моментов от X i = 1 в раме, показанной на рис. 8.18,б, убе­

димся в том, что ни один из коэффициентов SiK не равен нулю.

253

а)

б)

-О

О

*\*

Xu X, X3 , X4 ,

В системе же, показанной на рис. 8.18,в, эпюры изгибающих мо­ ментов имеют место только на стойках, непосредственно воспри­

нимающих действие X i = 1. Поэтому 813 = 831 = 0 , 814 = 841 = 0 ,

с>24 = 842 = 0 , следовательно, основная система является рацио­

нальной.

8.9.Определение перемещений

встатически неопределимых системах

Для определения перемещений с помощью формулы Мора необ­ ходимо, следуя изложенному в разделе 7.6, построить эпюры изги­ бающих моментов для заданного нагружения системы (рис. 8.19,а) и для вспомогательного (рис. 8.19,б). Тогда искомое перемещение будет вычисляться по формуле:

254

Fk= 1

Рис. 8.19

Однако такой способ вычисления не совсем удобен, так как по­ требуется дважды рассчитать статически неопределимую систему.

Более простой способ вычисления можно получить из следую­ щих рассуждений. Если загрузить основную систему заданной на­ грузкой и основными неизвестными, которые определены из кано­ нических уравнений, то эпюра моментов в этой статически опреде­ лимой системе (рис. 8.19,в) будет полностью совпадать с оконча­ тельной эпюрой моментов (рис. 8.19,а). Следовательно, рассматривая состояние рамы на рис. 8.19,в как исходное, можно для определения перемещения точки k во вспомогательном состоянии принимать статически определимую систему (рис. 8.19,г). В этом случае:

255

(8.25)

где M k - изгибающие моменты в статически определимой сис­ теме, возникающие от Fk = 1 .

Для вычисления перемещения можно применить и другой спо­ соб: эпюру моментов от заданной нагрузки можно строить в основ­ ной системе, а эпюру от Fk = 1 - в заданной статически неопреде­

лимой системе. Покажем это.

Применяя к состояниям рамы, изображенным на рис. 8.19,а,б, теорему о взаимности работ, получим:

F k A k F = F A F k , (8.26)

где Fk = 1 ;

F- силы, действующие в состоянии а (на рис. 8.19,а этой силой является равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q );

AFk - перемещение по направлению силы F , возникаю­ щее от Fk = 1 (в этом примере - площадь эпюры верти­

кальных перемещений горизонтального стержня).

Так как эпюры моментов в состояниях а (рис. 8.19,а) и в (рис. 8.19,в) полностью совпадают, то выражение (8.26) приме­ нимо к состояниям рамы б (рис. 8.19,б) и в . В этом случае под F на рис. 8.19,в надо понимать распределенную нагрузку и ос­ новные неизвестные X 1 и X 2 . Но работа основных неизвестных на перемещениях рамы в состоянии б равна нулю. Поэтому:

то есть в правой части выражения (8.27) записана работа внешних сил, приложенных к основной системе, на перемещениях статиче­ ски неопределимой системы в состоянии k .

Заметим, что в приведенных пояснениях на выбор основной сис­ темы никаких ограничений не накладывалось.

256

Записывая выражение (8.27) через работу изгибающих момен­ тов, получим:

Таким образом, при определении перемещений в статически не­ определимых системах можно одну из “перемножаемых” эпюр стро­ ить в заданной статически неопределимой системе, а вторую - в лю­ бой статически определимой, полученной из заданной системы.

Обратимся к вычислениям. На рис. 8.20,а показана эпюра изги­ бающих моментов в статически неопределимой раме от заданной на­

На рис. 8.20,в показана эпюра моментов в статически определи­ мой раме (основной системе) от Fk —1, а на рис. 8.20,г - эпюра

моментов в основной системе от заданной нагрузки. По формуле (8.25) получим:

257

б)

3l

Fk = 1

@

Понятно, что вычисления перемещений по формулам (8.25) или (8.28) оказываются более простыми, чем по формуле (8.24).

8.10. Расчет рам на действие температуры и смещение опор

При расчете рам на тепловое воздействие канонические уравне­ ния метода сил записываются в виде:

Su X 1 + 5U X 2 + S13X 3 + — + 5u X n +A 1t = 0; 821X 1 + 822X 2 + 823X 3 + + $2nX n +A 2t = 0;

8n1X 1 + 8 n2X 2 + 8n3X 3 + ••• + $nnX n +A nt = 0.

258

Для вычисления свободных членов уравнений применяется формула (7.12).

В статически определимых системах от действия температуры усилий не возникает. Поэтому окончательная эпюра изгибающих моментов в заданной раме строится посредством суммирования единичных эпюр моментов, умноженных на найденные из уравне­ ний соответствующие значения неизвестных:

Кинематическая проверка ее сводится к проверке перемещений рамы по направлениям отброшенных связей, то есть состоит в про­ верке выполнения условия:

M M s dx n

(8.30)

E J

При расчете рам на смещение опор канонические уравнения за­ писываются в виде:

Su X 1 + 5UX 2 + ^13X 3 + • • • + ^1nX n +A1c —0;

821X 1 + 822X 2 + 823X 3 + ■" + $2nX n +A2c—0;

8n1X 1 + 8 n2X 2 + 8 n3X 3 + ” • + ^nnX n +A nc—0.

Свободные члены уравнений вычисляются, в общем случае, по формуле (7.13).

стержня CD - ^2 —0,4 м. Коэффициент теплового линейного рас­ ширения материала а —1,2 -10— 5 м/град, E J —60 МН-м .2

259

Основная система в исходном и деформированном состояниях изображена на рис. 8.21,б. При определении коэффициентов кано­ нических уравнений будем учитывать влияние только изгибающих

моментов. Используя эпюры M 1 и M 2 (рис. 8.21,д,ж), получим:

Для удобства вычислений свободных членов Д^ и A2t (соот­

ветствующие отрезки показаны на рис. 8.21,б) по формуле (7.12) значения используемых расчетных параметров запишем в табл. 8.1.

Таблица 8 .1

Напомним, что при вычислениях по формуле (7.12) каждое сла­ гаемое в ней принимается положительным в том случае, когда со­ ответствующие направления деформации стержней, вызываемые единичными силами и тепловым воздействием, совпадают.

260