Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Спецмодуль Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

696.71 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

8.8. Сфера радиуса R содержит растворенное вещество с начальной концентрацией C0 const . Концентрация на поверхности сферы поддерживается посто-

янной, равной C1 C0 . Найти количество абсорбированного вещества в момент времени t 0.

Ответы.

( 1)n

(2n 1)2 2a2

(2n 1) x

8.1.

u(x,t)

sin

2 n 0

(2n 1)2

(2n 1)2 2a2

(2n 1) x

8.2.

u(x,t)

sin

3 n 0

(2n 1)3

n h

sin

n x

8.3.

C(x,t) C

cos

0 l

n 1

Указание. Задача приводится к решению уравнения

при усло-

при 0 x h,

виях

0, C(x,0) 0

при h x l.

x 0

x l

8.4.

n2 2a2

l2 A

2l2 A

n x

u(x,t) At 1

sin

6a2

3a2

n 1

Указание. Решение следует искать в виде суммы u(x,t) u1(x,t) u2(x,t) , где

u1 есть решение уравнения

a2 2u1 ,

удовлетворяющее условиям

u (0,t) At; u (l,t) 0 ,

есть

решение того же уравнения при условиях: u2(0,t) 0; u2(l,t) 0, u2(x,0) u1(x,0) .

l2 A

x 3

x 2

2l2 A

n2 2a2 t

n x

8.5.

u(x,t) At 1

sin

3a2

6a2

n 1

Указание. Решение следует искать в виде суммы u(x,t) u1(x,t) u2(x,t) , где

u1 есть

u1(0,t) At; u2(0,t)

решение уравнения	u1	a2 2u1	, удовлетворяющее условиям
	t	x2

u1(l,t) 0 , а u2 есть решение того же уравнения при условиях:

0; u2(l,t) 0, u2(x,0) u1(x,0) .

n2 2a2 t

n r

8.6.

u(r,t)

sin

()sin

Rr n 1

Указание.

Задача приводится

к решению

уравнения

2 2

где

ru, a

при условиях (0,t) 0, (R,t) 0, (r,t) 0 rf (r) .

R2 r2

( 1)

n2 2a2 t

n r

2QR

8.7.

u(r,t)

sin

3kr n 1 n3

Указание.

Задача

приводится

решению

уравнения

2 u

при условиях

u(0,t)

равно

конечной

величине

u(R,t) 0, u(r,0) 0 .

2dr

R3C0

8.8. Q(t) 4 Cr

(C1 C0 ) 1

n 1 2

2 C

Указание.

Задача приводится к решению уравнения

при условиях C(R,t) C1, C(x,0) C0 . Ввести новую функцию , положив r C

Занятие 9

Метод разделения переменных для эллиптических уравнений второго порядка

Аудиторные задания

9.1. Найти решение уравнения

Лапласа

в прямоугольнике

D : 0 x a, 0 y b , если

оно на

контуре

принимает

заданные

значения

x 0 0 ( y), u

x a 1( y) (0 y b) ,

y 0 0 ( y), u

y b 1(x) (0 x b) ,

причем 0 (0) 0 (0)

0 (b) 1(0) , 1(0) 0 (a) 1(b) 1(a) .

Решить

задачу

для

частного

случая

( y) Ay(b y),

(x) B sin

, ( y)

(x) 0 .

9.2. Найти распределение потенциала электростатического поля u(x, y) внутри прямоугольника ОАСВ (рис.1), у которого вдоль стороны ОВ потенциал равен

u, а три другие стороны заземлены. Электрические заряды внутри прямоугольника отсутствуют.

Рис.1.
9.3. Найти решение уравнения Лапласа в полуполосе		0 x a,			0 y ,
			x
удовлетворяющее краевым условиям u(0, y) 0,	u(x,0)	A 1	x	,	u(x, ) 0
удовлетворяющее краевым условиям u(0, y) 0,	u(x,0)	A 1		,	u(x, ) 0
			a

(0 x a ).

9.4.

Найти

решение

уравнения

Лапласа

прямоугольнике

D : 0 x a,

0 y b ,

удовлетворяющее

краевым

условиям u(0, y) A ,

u(a, y) Ay ,

0 ,

0 .

y 0

y b

Домашние задания

9.5. Найти решение уравнения Пуассона

в прямоугольнике

D : 0 x a, b2 y b2 , если оно на контуре этой области обращается в нуль.

9.6. Найти форму равновесия однородной прямоугольной мембраны ОАСВ (рис.2), закрепленной по краям, если к мембране приложено нормальное давление р на единицу площади.

B		C
O	A	х

Рис.2

9.7.Найти стационарное распределение температуры в проводнике прямоугольного сечения, нагреваемом постоянным током, выделяющим в единице объема тепло Q, считая, что теплоотдача в среду нулевой температуры через поверхность проводника происходит по закону Ньютона.

9.8.Цилиндр, радиус основания которого R и высота h, имеет температуру нижнего основания и боковой поверхности, равную нулю, а температура верхнего основания есть определенная функция от r. Найти стационарную температуру внутренних точек цилиндра.

Ответы.

9.1.

sin

n y

n (a

n y

n x

n y

u(x, y)

0 ( y)sin

dy sh

1( y)sin

n a

b n 1

b 0

sin

n x

n (b y)

n x

n y

0 (x)sin

dx sh

1(x)sin

n x

;

n b

a n 1

a 0

(2n 1)(a x)

sin

(2n 1) y

9.2. u(x, y)

(2n 1)

(2n

1) a

n 0

9.3. Указание. Задача сводится к решению уравнения Лапласа

внутри прямоугольника при краевых условиях u

x 0 u,

x a u

y 0

y b 0 .

nx .

a y sin

9.4. u(x, y)

n 1

(2n 1) y

sin

(2n 1) x

9.5. u(x, y) x(a x)

(2n

(2n 1) b

n 0

Указание. Решение задачи следует в виде суммы u , где

есть реше-

ние уравнения Пуассона, удовлетворяющее условиям: (0, y) 0, (a, y) 0, при-

чем

следует искать в виде

Ax2 Bx C , а есть решение уравнения Лапласа,

принимающее на контуре прямоугольника значения

(0, y) 0, (a, y) 0, (x,

) (x), (x,

) (x).

9.6.

(2n 1) x

(2n 1) (b 2 y)

sin

u(x, y)

x(a x)

(2n 1) b

(2n 1)

n 0

Указание. Задача сводится к решению уравнения Пуассона

при нулевых граничных условиях на контуре прямоугольника.

9.7.

hch

4Qa2

sin

u(x, y)

cos

n 1

sin 2

)

h ch

где n

− положительные корни уравнения tg

, h – коэффициент теплооб-

мена.

Указание.

Задача приводится к решению уравнения

при

краевых условиях

u hu

0, u

x a

x b

n z

0 n

1, 2, , n −

9.8. u(r, z)

f ()J0

d ,

где

J 2

n 1

положительные корни уравнения J0 ( ) 0 .

Указание.

Проинтегрировать уравнение

1 u

при условиях

r r

u(0, z) равно конечной величине u(R, z) 0, u(r,0) 0, u(r,h) f (r).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Тихонов А.Н. Уравнения математической физики: учебной пособие для университетов / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. – 4-е изд., испр.– Москва:

Наука, 1972.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.2: Учебное пособие для втузов, – 13-е изд. – Москва: Наука, 1985.

3.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – 3-е изд. Стереотипное. – Москва, Наука, 1980.

4.Ломовцев Ф.Е. Уравнения математической физики: сборник задач для студентов мех.-мат. фак./ Ф.Е.Ломовцев. – Минск: БГУ, 2009.

5.Марцинкевич В.С. Уравнения математической физики: методическое пособие для студентов машиностроительных специальностей / В.С. Марцинкевич. – Минск: БНТУ, 2008.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]