Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Спецмодуль Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

696.71 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

в) u(x, y) C1( y 2x) C2 ( y 2x)e y2 ;

г) u(x, y) C1( y 3x) C2 ( y 3x)e 2 y / 3 .

3.3. а) u(x, y) Re f ( y 2x xi) , где f (z)

функция;

б) u(x, y) Re f ( y x 2xi) ;

в) u(x, y) Re f ( y x 2xi) ;

г) u(x, y) Re f ( y x 3xi) .

3.4.а) u(x, y) C1( y 3x) C2 ( y x) ; б) u(x, y) C1( y 5x) C2( y x) ; в) u(x, y) C1( y 2x) C2( y 4x) ; г) u(x, y) C1( y 7x) C2 ( y 3x) .

3.5.а) u(x, y) C1( y 3x) C2 ( y 3x)e2 y / 3 ;

б) u(x, y) C1( y x) C2 ( y x)ey ;

в) u(x, y) C1( y 4x) C2 ( y 4x)e 3y / 4 г) u(x, y) C1( y 4x) C2 ( y 4x)e y / 4 .

3.6.а) u(x, y) Re f ( y x 5xi) ; б) u(x, y) Re f ( y 2x 2xi) , в) u(x, y) Re f ( y 3x 2xi) , г) u(x, y) Re f ( y 3x 3xi) .

− произвольная аналитическая

;

Занятие 4

Решение задачи Коши для гиперболических уравнений второго порядка

Аудиторные задания

4.1. Решить задачу Коши для гиперболического уравнения второго порядка:

а)	2u	4 2u	, t (0, ), x ( , ) ,							удовлетворяющую начальным
	t2	x2
условиям u(x,0) e x2 , u(x,0)					1		;
условиям u(x,0) e x2 , u(x,0)				1 x2			;
			t	1 x2
б)	2u	2u ,	u(x,0)	1		,		u(x,0)	0	;
б)	2u	2u ,	u(x,0)	1 x2		,			0	;
	t2	x2		1 x2				t

в)

г)

2u(x,0) 3			2u	,	u(x,0) e x2 ,	u(x,0)	0 ;
t2			x2			t
2u 2	2u	,	u(x,0) arctgx arctg(x 1),					u(x,0)	0 .
t2	x2							t

Домашние задания

4.2. Решить задачу Коши для гиперболического уравнения второго порядка:

а)

u(x,0) 0,

u(x,0)

;

ch x

б)

u(x,0) 0,

u(x,0)

x e x2

2 ,

в)

2u ,

u(x,0) e x2 ,

u(x,0)

x e x2 2 ;

г)

u(x,0)

, u(x,0)

1 x2

Ответы:

4.1.а) u(x,t) 12 e (x 2t)2 14 arctg(x 2t) C1 12 e (x 2t)2

14 arctg(x 2t) C2;

б) u(x,t)		1				1			C			1		1					C			;
б) u(x,t)									C										C			;
			2 1 (x t)2						1			2 1 (x t)2								2
			2 1 (x t)2									2 1 (x t)2
			1		e (x			t)2 C			1		e (x					t)2 C
в) u(x,t)			1				3				1						3			;
в) u(x,t)							3										3			;
2									1		2								2
2											2
	1									t) C					1	arctg(x					t)		1	arctg(x 1
г) u(x,t)	1			arctg(x					2						1					2			1		2t)
г) u(x,t)				arctg(x					2											2					2t)
2											1			2								2
2														2								2

12 arctg(x 1 2t) C2 .

4.2.а) u(x,t) 13 arctgex 3t 13 arctgex 3t ;

		2			(x		t)2 / 2					2		(x					t)2 / 2
б) u(x,t)		2		e	(x	2	t)2 / 2					2	e	(x				2	t)2 / 2	;
б) u(x,t)	4			e							4		e							;
	4										4
в) u(x,t)	1	e	(x t)2					1	e	(x t)2					1	e	(x t)2			/ 2	1	e	(x t)2 / 2	;
в) u(x,t)	2	e						2	e						2	e					2	e		;
	2							2							2						2

г) u(x,t)	1	1	1	1		2	arctg(x		t)3
								2

	2 1 (x 2t)2		2 1 (x 2t)2		12

122 arctg(x 2t)3 .

Занятие 5

Решение задачи Коши для параболических уравнений второго порядка

Аудиторные задания

5.1. Решить задачу Коши для параболического уравнения второго порядка:

а) u 2u , x ( , ), t (0, ), u(x,0) e x , x ( , ) ;t x2

б)	u	2	2u	,	x ( , ), t (0, ), u(x,0) e x2 2x ;
	t		x2
в)	u	3	2u	,	x ( , ), t (0, ), u(x,0) e 2x2	x ;
	t		x2
г)	u	4	2u	,	x ( , ), t (0, ), u(x,0) e 4x2	3x .
	t		x2

Домашние задания

5.2. Решить задачу Коши для параболического уравнения второго порядка:

а)

2u ,

x ( , ), t (0, ), u(x,0) e 2x2 5x ;

б)

x ( , ), t (0, ), u(x,0) e x2 3x ;

в)

x ( , ), t (0, ), u(x,0) e 3x2 x ;

г)

x ( , ), t (0, ), u(x,0) e 4x2 x .

Ответы:

5.1. а) u(x,t) et x ;

t(2x 2)2

б) u(x,t)

e 1 4t

;

1 4t

t(2x 2)2

x2 2x

в) u(x,t)

e 1 4t

;

24t

4t(8x 3)2

4x2 3x

г) u(x,t)

e 1 64t

64t

t(4x 5)2

2x2 5x

5.2. а) u(x,t)

e 1 8t

;

3t(2x 3)2

x2 3x

б) u(x,t)

e 1 12t

;

12t

5t(6x 1)2

3x2 x

в) u(x,t)

e 1 60t

;

60t

2t(8x 1)2

г) u(x,t)

e 1 32t

32t

Занятие 6

Задача Штурма-Лиувилля

Аудиторные задания

6.1.Решить задачу Штурма-Лиувилля уравнения, удовлетворяющего

однородным краевым условиям:
а) y y 0, y(0) y(l) 0 ;	б) y y 0,	y (0) y (l) 0 ;

в) y 2y y,						y (0) y(0) 0,		y (1) y(1) 0 ;
г) В прямоугольнике решить задачу Штурма-Лиувилля
	2u		2u
		2			u,		0 x a, 0	y b,	u(0,0) u(a,b) 0 .
	x		y	2

Домашние задания

6.2.Решить задачу Штурма-Лиувилля уравнения, удовлетворяющего

однородным краевым условиям:

а) y y 0, y(0) y (0) 0;

б) y y 0, y (0) y(l) 0 ;

в)	y (r)	1	y (r) 2 y(r) 0, y(R) 0	;

		r

г) в круге решить задачу Штурма-Лиувилля

2u 2u u 0,

x2 y2

r2,

(1);

u(x , y ) 0,

x12 y12 r2

(2) .

Ответы:

k x

6.1. а) k

yk (x) sin

N ;

k 2

k x

б) 0

y0 (x) 1,

, yk (x) cos

k N

;

в) – если 2 , то двум действительным различным характеристическим корням 1,2 2 соответствует действительное общее решение


y(x) C e	2 x C e	2 x ,		C ,C R ;
1	2			1	2
–	если 2 , то одному корню 1 2 0 кратности 2						соответствует
действительное общее решение y(x) C1x C2,						C1,C2 R ;
– если 2 , то двум комплексно-сопряженным корням 1,2 i 2
соответствует			действительное			общее	решение

y(x) C1 cos

2 x C2 sin 2x,

C1,C2 R ;

г) собственные

значения

k a 2,

k 1,2,...

из общего решения

(x) C1 cos

x C2 sin

C1,C2 R при C1 0, C1 1 находим собствен-

ные

функции:

x (x) sin

k 1,2,...

задачи

Штурма-Лиувилля

(0) (a) 0,

Y (0) Y (b) 0. Собственные значения и собственные функции

для

задачи

Штурма-Лиувилля

– Y ( y) Y ( y),

0 y b, Y (0) Y (b) .

Собственные значения и собственные функции для задачи Штурма-Лиувилля

Y ( y) Y ( y) 0,

0 y b,

Y (0) Y (b) 0

являются

( m b)2 и

Y ( y) sin

m 1,2,.... Следовательно, собственные значения и собственные

функции

исходной

задачи

Штурма-Лиувилля

равны

и u

k,m

sin

x sin

y, k, m N .

k1m

2k 1 2

(2k 1) x

6.2. а) k

yk (x) sin

k N ;

2k 1

(2k 1) x

б) k

yk (x) cos

k N ;

(0) 2

(0)

в)

(r) J

где

(r)

– функция

Бесселя

(0) 0 ;

порядка нуль, а (0) ,

k N – ее нули, т.е.

г)

– при 0 характеристические корни

1,2

дают общее

решение

( ) C e

n C e n ,

C ,C R

для

которого

выполняется

условие периодичности только при C1 C2

0 , т.е.

0 и нет собственных зна-

чений и собственных функций;

– при 0

имеем общее решение ( ) C1 C2

C1C2 R , удовле-

творяющее условию ( ) ( 2 )

R при C1 0

и любом C2 R . Таким

образом, 0

– собственное значение и собственная функция 0 ( ) 1;

– при 0

характеристическим корням 1,2

соответствует дей-

ствительное общее решение ( ) C1 cos n C2 sin

n ,

C1,C2 R , которое

будет периодической функцией с периодом 2 только тогда, когда sin

0 ,

т.е.

k 2,

k 1,2,... Этому каждому собственному значению

k 2

соответ-

ствуют две собственные функции:

cosk и

sin k

k 1,2,.... В итоге решениями

исходной задачи Штурма-Лиувилля (1),

(2)

являются

собственные

значения

(k )

r 2

, k 1,2,..., m 1,2,...

соответствующие

им

функции

k,m

(1)

m(k ) r cos ,

(2)

m(k )

sin 1,

k 1,2,..., m 1,2,...

k,m

Занятие 7

Метод разделения переменных для гиперболических уравнений второго порядка

Аудиторные задания

7.1. Найти отклонение u(x,t) от положения равновесия закрепленной на кон-

це x 0 однородной горизонтальной струны, правый конец которой при x l перемещается так, что касательная к струне остается постоянно горизонтальной. В

начальный момент времени струна имела форму 151 sin 112lx cos 42lx , начальные

скорости отсутствовали.

7.2. Труба, открытая с одного конца, движется поступательно в направлении своей оси с постоянной скоростью v . В момент времени t 0 труба мгновенно останавливается. Определить смещение воздуха внутри трубы на расстоянии x от закрытого конца трубы.

7.3. Один конец стержня закреплен упруго, а другой свободен. Найти произвольные колебания стержня при произвольных начальных данных.

7.4. Найти колебания однородной струны 0 x l					с закрепленными концами
и сосредоточенной массой М, прикрепленной в точке					x c струны, вызванные
начальным смещением
		x	при 0 x c,
	h
u(x,0) (x)		c

	h	l x		при 0 x l,

		l c

где h – малое число. Начальные скорости точек струны равны нулю.

Домашние задания

7.5. Однородная струна длиной l, закрепленная на обоих концах, находится в прямолинейном положении равновесия. В некоторый момент времени, принимаемый за начальный, она получает в точке x c удар от молоточка, который сообщает этой точке постоянную скорость v0 . Найти отклонение u(x,t) струны для

любого момента времени. Рассмотреть два случая:

а) Струна возбуждается начальной скоростью

x c

u(x,0)

, если

если

x c

Этот случай соответствует плоскому жесткому молоточку, имеющему

ширину

и ударяющему в точке x c .

б) Струна возбуждается начальной скоростью

u(x,0)

v0 cosh(x c), если

x c

если

x c

Этот случай соответствует жесткому выпуклому молоточку шириной h . Та-

кой молоточек в центре интервала возбуждает наибольшую скорость.

7.6.Один конец стержня закреплен, а на второй действует сила Q. Найти продольные колебания стержня, если в начальный момент сила перестает действовать.

7.7.Найти свободные продольные колебания однородного цилиндрического стержня длиной l, у которого оба конца свободны.

7.8.Крутильными колебаниями стержня называются такие колебания, при которых его поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого, вращаясь при этом около оси стержня. Вывести уравнение малых крутильных ко-

лебаний однородного цилиндрического стержня и проинтегрировать его при условии, что один из концов стержня заделан, а на другой прикреплен диск.

Ответы.

	u(x,t)	1		7at		7x	cos	15at		15x
7.1.			cos		sin				sin		;
7.1.			cos		sin				sin		;
		30		2l		2l		2l		2l

8vl

(2n 1) at

(2n 1) x

7.2. u(x,t)

sin

2 n 0

(2n 1)2

7.3. u(x,t)

cos

an cos

n 1

0 (x)cos

dx,

1(x)cos

dx,

a n n2 2 0

где 1, 2, 3, , n − положительные корни уравнения tg

( hl) .

sin n x

(0 x c),

8vl

7.4. u(x,t)

an n (x)cosa nt , где n(x)

sin nc

2 n 1

sin n (l x)

(c x l).

sin

(l c)

где − корни уравнения ctg c ctg(l c)

sin n x

u(x,t) a

(x) cosa t,

(x)

(0 x c),

7.5.

где

sin c

n 1

sin (l x) (c x l),

где − корни уравнения ctgc ctg(l c)

8Ql

(2n 1) at

(2n 1) x

7.6. u(x,t)

( 1)n cos

sin

n 0

где – площадь поперечного сечения.

1 l

n at

n x

7.7. a

(

(x) t (x))dx

cos

b sin

cos

l l

n 1

	2 l			n x
где an		(0 (x)cos			dx,		bn
где an	l	(0 (x)cos		l	dx,		bn
	l	0		l
						n	at
7.8. u(x,t)							at
7.8. u(x,t)			an cos
		n 1				l

	2	l				n x
		(1(x)cos							dx.
	n a	(1(x)cos				l			dx.
	n a	0				l
		0
bn sin			n	at	sin		n	x		,
bn sin			n		sin		n			,
			l				l

n x

где an

(x) cos

dx, bn

(x)cos

dx,

2 n

a n (2 n sin 2 n )

sin 2 n 0

1, 2, 3,...– положительные корни трансцендентного уравнения

k – момент инерции части стержня, имеющей единицу длины; k1 – момент инерции диска относительно оси вала;

I – полярный момент инерции поперечного сечения; u – угол поворота сечения с абсциссой х.

Занятие 8

Метод разделения переменных для параболических уравнений второго порядка

Аудиторные задания
8.1. Найти решение уравнения		u	a	2 2u
8.1. Найти решение уравнения		t	a	x2
		t		x2
ющее условиям u(0,t) u(l,t) 0	t 0 и u(x,0)

(0 x l, t 0) , удовлетворя-

x при 0 x 2l ,l

l-x при 2 x l.

8.2. Дан тонкий однородный стержень длиной l, изолированный от внешнего

пространства, начальная температура которого равна f (x) Cx(l x) . Концы l2

стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент времени t 0.

8.3. Растворенное вещество с начальной концентрацией C0 const диффун-

дирует из раствора, заключенного между плоскостями x 0 и x h , в растворитель, ограниченный плоскостями x h и x l . Определить процесс выравнивания концентрации, предполагая, что границы x 0 и x l непроницаемы для вещества.

8.4. Дан тонкий однородный стержень длиной l, начальная температура которого равна нулю. На конце x l температура поддерживается равной нулю, а на конце x 0 она растет линейно со временем, так что u(0,t) At , где А – постоян-

ная. Найти распределение температур вдоль стержня при t 0.

Домашние задания

8.5. Решить задачу об остывании однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура u(x,0) (x) , считая,

что один конец теплоизолирован, а другой поддерживается при постоянной температуре u0 .

8.6.Дан однородный шар радиуса R, центр которого расположен в начале координат. Известно, что начальная температура любой точки шара зависит только от расстояния r этой точки от центра шара. Во все время наблюдения внешняя по-

верхность шара поддерживается при нулевой температуре. Определить температуру любой точки внутри сферы в момент времени t 0.

8.7.Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса R, внутри которого, начиная с момента времени t 0, действует источник тепла с постоянной плотностью Q, а поверхность поддерживается при температуре, равной нулю. Начальная температура шара равна нулю.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]